Vlastnosti rovnoramenného trojúhelníku, vzorec a plocha, výpočet



A rovnoramenný trojúhelník Jedná se o třístranný mnohoúhelník, kde dvě z nich mají stejné měření a třetí strana jiné měření. Tato poslední strana se nazývá základna. Kvůli této charakteristice to bylo dané toto jméno, který v řečtině znamená “rovné nohy” \ t

Trojúhelníky jsou polygony považované za nejjednodušší v geometrii, protože jsou tvořeny třemi stranami, třemi úhly a třemi vrcholy. Jsou to ty, které mají nejmenší počet stran a úhlů vzhledem k ostatním polygonům, avšak jeho použití je velmi rozsáhlé.

Index

  • 1 Charakteristika rovnoramenných trojúhelníků
    • 1.1 Komponenty
  • 2 Vlastnosti
    • 2.1 Vnitřní úhly
    • 2.2 Součet stran
    • 2.3 Shodné strany
    • 2.4 Souběžné úhly
    • 2.5 Výška, medián, bisector a bisector jsou shodné
    • 2.6 Relativní výšky
    • 2.7 Orthocenter, barycenter, incenter a circumcenter se shodují
  • 3 Jak vypočítat obvod?
  • 4 Jak vypočítat výšku?
  • 5 Jak vypočítat plochu?
  • 6 Jak vypočítat základnu trojúhelníku?
  • 7 Cvičení
    • 7.1 První cvičení
    • 7.2 Druhé cvičení
    • 7.3 Třetí cvičení
  • 8 Odkazy

Charakteristika rovnoramenných trojúhelníků

Rovnoramenný trojúhelník byl klasifikován pomocí míry jeho stran jako parametr, protože dvě jeho strany jsou shodné (mají stejnou délku).

Podle amplitudy vnitřních úhlů jsou rovnoramenné trojúhelníky klasifikovány jako:

  • Obdélníkový rovnoramenný trojúhelníkdvě strany jsou si rovny. Jeden z jeho úhlů je rovný (90 °)o) a ostatní jsou stejné (45)o každý z nich)
  • Isosceles tupý úhel trojúhelníkudvě strany jsou si rovny. Jeden z jeho úhlů je tupý (> 90 °)o).
  • Isosceles akutní úhlový trojúhelníkdvě strany jsou si rovny. Všechny jeho úhly jsou ostré (< 90o), kde dvě mají stejné opatření.

Komponenty

  • Střední: je čára, která odchází ze středu jedné strany a dosahuje opačného vrcholu. Tři mediáni se shodují v bodě zvaném centroid nebo centroid.
  • Sektor: je paprsek, který rozděluje úhel každého vrcholu na dva úhly stejné velikosti. Proto je známa jako osa symetrie a tento typ trojúhelníků má pouze jeden.
  • Mediatrix: je segment kolmý na stranu trojúhelníku, který vzniká uprostřed tohoto trojúhelníku. V trojúhelníku jsou tři mediatrie, které se shodují v bodě zvaném circuncentro.
  • Výška: je čára, která vede od vrcholu k straně, která je opačná, a také tato čára je kolmá na tuto stranu. Všechny trojúhelníky mají tři výšky, které se shodují v bodě zvaném orthocenter.

Vlastnosti

Isosceles trojúhelníky jsou definovány nebo identifikovány, protože mají několik vlastností, které představují, pochází z vět navržených velkými matematiky:

Vnitřní úhly

Součet vnitřních úhlů je vždy roven 180o.

Součet stran

Součet opatření dvou stran musí být vždy větší než míra třetí strany, a + b> c.

Shodné strany

Isosceles trojúhelníky mají dvě strany se stejným měřítkem nebo délkou; to je, oni jsou shodní a třetí strana je odlišná od nich.

Souběžné úhly

Isosceles trojúhelníky jsou také známé jako iso-úhlové trojúhelníky také, protože oni mají dva úhly, které mají stejnou míru (congruents). Ty jsou umístěny na základně trojúhelníku, naproti stranám, které mají stejnou délku.

Kvůli tomu teorém, který stanoví, že:

"Pokud má trojúhelník dvě kongruentní strany, úhly naproti těmto stranám budou také shodné." Proto, jestliže trojúhelník je rovnoramenné, úhly jeho základů jsou shodné.

Příklad:

Následující obrázek ukazuje trojúhelník ABC. Trasováním jeho bisectoru od vrcholu úhlu B k základně, trojúhelník je rozdělen do dvou trojúhelníků se rovnat BDA a BDC: \ t

Úhel vrcholu B byl také rozdělen do dvou stejných úhlů. Bisector je nyní strana (BD) obyčejný mezi těmi dvěma novými trojúhelníky, zatímco strany AB a BC jsou shodné strany. Takže máte případ kongruence, úhlu, strany (LAL).

S tím, že ukazují, že úhly vrcholy A a C mají stejnou míru, stejně jako může být prokázána jako BDA a BDC trojúhelníky jsou shodné se strany AD a DC jsou také.

Výška, medián, bisector a bisector jsou shodné

Linka je odebírán z vrcholu protilehlé základny k středu spodní části rovnoramenného trojúhelníka, je jak na výšku, střední a sečna, stejně jako sečna na opačné rohu základny.

Všechny tyto segmenty se shodují v těch, které je reprezentují.

Příklad:

Následující obrázek ukazuje trojúhelník ABC se středem M, který rozděluje základnu na dva segmenty BM a CM.

Když nakreslíte segment z bodu M do opačného vrcholu, podle definice získáte střední hodnotu AM, která je relativní k vrcholu A a straně BC.

Jako segment AM rozděluje trojúhelník na dvě stejné trojúhelníky ABC a AMB AMC, to znamená, že v případě shoda boční straně úhlu, a proto bude také sečna AM BAC.

To znamená, že bisector bude vždy roven střední a naopak.

Segment AM tvoří úhly, které mají stejné měřítko pro trojúhelníky AMB a AMC; to znamená, že jsou doplňkové takovým způsobem, že míra každého z nich bude:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180o

2 * Med. (AMC) = 180o

Med. (AMC) = 180o ÷ 2

Med. (AMC) = 90o

Může být známo, že úhly tvořené segmentem AM vzhledem k základně trojúhelníku jsou rovné, což naznačuje, že tento segment je zcela kolmý k základně..

Proto reprezentuje výšku a bisector, s vědomím, že M je střed.

Proto přímka AM:

  • Představuje výšku BC.
  • Je střední.
  • Je obsažen v mediatrix BC.
  • Je to osa úhlu vrcholu Â

Relativní výšky

Výšky, které jsou vztaženy k rovným stranám, mají stejné měřítko.

Protože rovnoramenný trojúhelník má dvě stejné strany, jejich dvě příslušné výšky budou také stejné.

Orthocenter, barycenter, incenter a circumcenter se shodují

Jak výška, střední sečna půlením a na základně, jsou zastoupeny jak jeden segment, orthocenter a těžiště incentro circumcenter být kolineární body, tj byly ve stejné linii:

Jak vypočítat obvod?

Obvod polygonu se vypočítá součtem stran.

Stejně jako v tomto případě má rovnoramenný trojúhelník dvě strany se stejným měřítkem, jeho obvod je vypočítán následujícím vzorcem:

P = 2*(strana a) + (strana b).

Jak vypočítat výšku?

Výška je čára kolmá k základně, rozdělí trojúhelník na dvě stejné části tím, že se rozšíří k opačnému vrcholu.

Výška představuje protilehlou nohu (a), polovinu základny (b / 2) k přilehlé noze a stranu „a“ představuje odtok.

Pomocí Pythagoreanovy věty můžete určit hodnotu výšky:

a2 + b2 = c2

Kde:

a2 = výška (h).

b2 = b / 2.

c2 = strana a.

Nahrazení těchto hodnot v Pythagorově teorémě a vymazání výšky, kterou máme:

h2 + (b / 2)2 = a2

h2 + b2 / 4 = a2

h2 = a2 - b2 / 4

h = √ (a2 - b2 / 4).

Je-li znám úhel tvořený shodnými stranami, může být výška vypočtena podle následujícího vzorce:

Jak vypočítat plochu?

Plocha trojúhelníků se vždy počítá se stejným vzorcem, vynásobením základny výškou a dělením dvěma:

Existují případy, kdy jsou známy pouze měření dvou stran trojúhelníku a úhel mezi nimi. V tomto případě je pro určení plochy nutné použít goniometrické poměry:

Jak vypočítat základnu trojúhelníku?

Jelikož rovnoramenný trojúhelník má dvě stejné strany, pro určení hodnoty jeho základny je třeba znát alespoň míru výšky nebo jednoho z jejích úhlů..

Vědět výšku Pythagorean teorém je používán: \ t

a2 + b2 = c2

Kde:

a2 = výška (h).

c2 = strana a.

b2 = b / 2, není známo.

Vyčistili jsme b2 vzorce a musíme:

b2 = a2 - c2

b = √ a2 - c2

Protože tato hodnota odpovídá polovině základny, musí být vynásobena dvěma, aby se získala úplná míra základny rovnoramenného trojúhelníku:

b = 2 * (√ a2 - c2)

V případě, že je znám pouze hodnoty rovné strany a úhel mezi nimi, trigonometrie se nanáší vyznačením čáry od vrcholu k základně, která rozděluje rovnoramenný trojúhelník na dva pravoúhlé trojúhelníky.

Tímto způsobem se vypočte polovina základny pomocí:

Je také možné, že je známa pouze hodnota výšky a úhlu vrcholu, který je opačný k základně. V tomto případě může být pomocí trigonometrie stanovena báze:

Cvičení

První cvičení

Najděte oblast rovnoramenného trojúhelníku ABC s vědomím, že dvě jeho strany měří 10 cm a třetí strana měří 12 cm..

Řešení

Pro nalezení oblasti trojúhelníku je nutné vypočítat výšku pomocí vzorce oblasti, která je vztažena k Pythagorově teorému, protože hodnota úhlu mezi rovnými stranami není známa..

Máme následující data rovnoramenného trojúhelníku:

  • Stejné strany (a) = 10 cm.
  • Base (b) = 12 cm.

Hodnoty ve vzorci jsou nahrazeny:

Druhé cvičení

Délka dvou stejných stran rovnoramenného trojúhelníku měří 42 cm, přičemž spojení těchto stran tvoří úhel 130 mmo. Určete hodnotu třetí strany, oblast tohoto trojúhelníku a obvod.

Řešení

V tomto případě je známo měření stran a úhel mezi nimi.

Pro pochopení hodnotu chybějící strany, tj základna trojúhelníku, linie kolmé k tomu je znázorněna tak, že se úhel na dvě stejné části, jedna pro každou pravoúhlého trojúhelníku tvořeného.

  • Stejné strany (a) = 42 cm.
  • Úhel (Ɵ) = 130o

Nyní pomocí trigonometrie se vypočte hodnota poloviny základny, která odpovídá polovině přepětí:

Pro výpočet plochy je nutné znát výšku tohoto trojúhelníku, kterou lze vypočítat pomocí trigonometrie nebo Pythagorovy věty, nyní, když již byla stanovena hodnota základny.

Trigonometrií bude:

Obvod se vypočítá:

P = 2*(strana a) + (strana b).

P = 2* (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Třetí cvičení

Vypočítejte vnitřní úhly rovnoramenného trojúhelníku s vědomím, že úhel základny je  = 55o

Řešení

Pro nalezení dvou chybějících úhlů (Ê a Ô) je třeba si pamatovat dvě vlastnosti trojúhelníků:

  • Součet vnitřních úhlů každého trojúhelníku bude vždy = 180o:

 + Ê + Ô = 180 o

  • V rovnoramenném trojúhelníku jsou úhly základny vždy shodné, tj. Mají stejné měřítko, proto:

 = Ô

= 55o

Chcete-li určit hodnotu úhlu Ê, nahraďte hodnoty ostatních úhlů v prvním pravidle a zrušte Ê:

55o + 55o + Ô = 180 o

110 o + Ô = 180 o

Ô = 180 o - 110 o

Ô = 70 o.

Odkazy

  1. Álvarez, E. (2003). Prvky geometrie: s četnými cvičeními a geometrií kompasu. Univerzita Medellin.
  2. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Technický výkres: aktivity poznámkového bloku.
  3. Angel, A. R. (2007). Základní algebra Pearson Education.
  4. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra a trigonometrie s analytickou geometrií. Pearson Education.
  5. Baldor, A. (1941). Algebra Havana: Kultura.
  6. José Jiménez, L. J. (2006). Matematika 2.
  7. Tuma, J. (1998). Inženýrská matematická příručka. Wolfram MathWorld.