Trojice tvaru x ^ 2 + bx + c (s příklady)

Než se naučíte řešit trojice tvaru x ^ 2 + bx + c, a ještě před poznáním konceptu trinomie je důležité znát dva základní pojmy; konkrétně pojmy monomial a polynomial. Monomial je výraz typu a * xⁿ, kde a je racionální číslo, n je přirozené číslo a x je proměnná.

Polynom je lineární kombinace monomialů formy a_n* xⁿ+a_n-1* x^n-1+... + a₂* x²+a₁* x + a₀, kde každý a_i, s i = 0, ..., n, je racionální číslo, n je přirozené číslo a a_n je nenulové číslo. V tomto případě se říká, že stupeň polynomu je n.

Polynomial tvořený součtem jen dvou termínů (dva monomials) různého stupně, je známý jak binomial.

Index

• 1 Trinomials
  • 1.1 Perfektní čtvercová trojice
• 2 Charakteristika trinomií 2. stupně
  • 2.1 Perfektní náměstí
  • 2.2 Vzorec rozpouštědel
  • 2.3 Geometrická interpretace
  • 2.4 Faktoring trinomií
• 3 Příklady
  • 3.1 Příklad 1
  • 3.2 Příklad 2
• 4 Odkazy

Trinomie

Polynomial tvořený součtem jen tří termínů (tři monomials) různého stupně je znán jak trinomial. Příklady trinomií jsou následující:

• x³+x²+5x
• 2x⁴-x³+5
• x²+6x + 3

Existuje několik typů trinomial. Z těchto vrcholů je dokonalý čtvercový trojúhelník.

Perfektní náměstí trinomial

Dokonalý čtvercový trojúhelník je výsledkem vzestupu binomického čtverce. Například:

• (3x-2)²= 9x²-12x + 4
• (2x³+y)²= 4x⁶+4x³y + y²
• (4x²-2y⁴)²= 16x⁴-16x²a⁴+4y⁸
• 1 / 16x²a⁸-1 / 2xy⁴z + z²= (1 / 4xy⁴)²-2 (1 / 4xy⁴) z + z²= (1 / 4xy⁴-z)²

Charakteristika trinomií 2. stupně

Perfektní náměstí

Obecně se jedná o trojzubec tvaru sek²+bx + c je perfektní čtverec, pokud je jeho diskriminační roven nule; to znamená, pokud b²-4ac = 0, protože v tomto případě bude mít pouze jeden kořen a může být vyjádřen ve tvaru a (x-d)²= (√a (x-d))², kde d je již zmíněný kořen.

Kořen polynomu je číslo ve kterém polynomial stane se nula; jinými slovy, číslo, které tím, že nahradí to v x ve výrazu polynomial, vyústí v nulu.

Solventní vzorec

Obecný vzorec pro výpočet kořenů polynomu druhého stupně tvaru ax²+bx + c je vzorec resolveru, který uvádí, že tyto kořeny jsou dány (-b ± √ (b²-4ac)) / 2a, kde b²-4ac je znám jako diskriminační a je obvykle označován Δ. Z tohoto vzorce vyplývá, že sekera²+bx + c má:

- Dva různé skutečné kořeny, pokud Δ> 0.

- Jeden reálný kořen, pokud Δ = 0.

- Nemá žádný skutečný kořen, pokud Δ<0.

V následujícím textu budeme uvažovat pouze o trinomiích tvaru x²+bx + c, kde jasně c musí být nenulové číslo (jinak by to bylo binomické). Tento typ trinomial má určité výhody při faktoringu a provozu s nimi.

Geometrická interpretace

Geometricky trinomiální x²+bx + c je parabola, která se otevírá nahoru a má vrchol v bodě (-b / 2, -b²/ 4 + c) kartézské roviny, protože x²+bx + c = (x + b / 2)²-b²/ 4 + c.

Tato parabola řeže osu Y v bodě (0, c) a ose X v bodech (d₁,0) a (d)₂,0); pak, d₁ ad₂ jsou kořeny trojice. Může se stát, že trojice má jeden kořen d, v tomto případě by jediný řez s osou X byl (d, 0).

Mohlo by se také stát, že trinomie nemá žádné skutečné kořeny, v takovém případě by v žádném bodě neřízla osu X.

Například x²+6x + 9 = (x + 3)²-9 + 9 = (x + 3)² je parabola s vrcholem v (-3,0), která řezá osu Y v (0,9) a ose X v (-3,0).

Trinomiální faktorizace

Velmi užitečným nástrojem při práci s polynomy je faktoring, který má vyjádřit polynom jako součin faktorů. Obecně řečeno, vzhledem k trojici tvaru x²+bx + c, pokud má dva různé kořeny d₁ ad₂, může být zohledněn jako (x-d)₁) (x-d)₂).

Máte-li pouze jeden kořen d, můžete jej zařadit jako (x-d) (x-d) = (x-d)², a pokud nemá žádné skutečné kořeny, je ponechána stejná; v tomto případě nepodporuje faktorizaci jako součin jiných faktorů než je samotný.

To znamená, že pozná-li kořeny trojzubce již zavedené formy, jeho faktorizace může být snadno vyjádřena, a jak již bylo zmíněno, tyto kořeny lze vždy určit pomocí resolventu..

Existuje však značné množství tohoto typu trinomií, které lze fakticky započítat, aniž byste museli znát své kořeny předem, což práci zjednodušuje..

Kořeny mohou být stanoveny přímo z faktorizace bez nutnosti použití vzorce resolveru; jedná se o polynomy tvaru x² +(a + b) x + ab. V tomto případě máte:

x²+(a + b) x + ab = x²+ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

Odtud se snadno zjistí, že kořeny jsou -a a -b.

Jinými slovy, daný triinomální x²+bx + c, pokud existují dvě čísla u a v tak, že c = uv a b = u + v, pak x²+bx + c = (x + u) (x + v).

To znamená, že je dána trojice x²+bx + c nejprve ověřte, zda existují dvě čísla, která vynásobí nezávislý termín (c) a přidají (nebo odečtou, v závislosti na případu), uvedeme termín, který doprovází x (b).

Ne se všemi trinomiemi tímto způsobem lze tuto metodu použít; tam, kde nemůžete, jdete do resolventu a aplikujete výše uvedené.

Příklady

Příklad 1

K faktoru následující trinomiální x²+3x + 2 postupujeme následovně:

Musíte najít dvě čísla tak, že když je přidáte, výsledek je 3, a když je vynásobíte, výsledek je 2.

Po provedení inspekce lze vyvodit, že hledaná čísla jsou: 2 a 1. Proto x²+3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

Příklad 2

K faktoru trojzubce x²-5x + 6 hledáme dvě čísla, jejichž součet je -5 a jeho produkt je 6. Čísla, která splňují tyto dvě podmínky, jsou -3 a -2. Proto faktorizace daného trinomia je x²-5x + 6 = (x-3) (x-2).

Odkazy

1. Zdroje, A. (2016). ZÁKLADNÍ MATEMATIKA. Úvod do výpočtu. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematika: kvadratické rovnice: Jak řešit kvadratickou rovnici. Marilù Garo.
3. Haeussler, E. F., & Paul, R. S. (2003). Matematika pro správu a ekonomii. Pearson Education.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematika 1 ŠVP. Prahová hodnota.
5. Preciado, C. T. (2005). Matematický kurz 3o. Editorial Progreso.
6. Rock, N. M. (2006). Algebra I je snadné! Tak snadné. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra a trigonometrie. Pearson Education.