Funkce měřítka trojúhelníku, vzorec a oblasti, výpočet



A trojúhelníkový trojúhelník Jedná se o třístranný mnohoúhelník, kde každý má různá měření nebo délky; z tohoto důvodu je dáno jméno scalene, což v latině znamená lezení.

Trojúhelníky jsou polygony považované za nejjednodušší v geometrii, protože jsou tvořeny třemi stranami, třemi úhly a třemi vrcholy. V případě skalnatého trojúhelníku, protože má všechny různé strany, to znamená, že jeho tři úhly budou také odlišné..

Index

  • 1 Charakteristika trojúhelníkových trojúhelníků
    • 1.1 Komponenty
  • 2 Vlastnosti
    • 2.1 Vnitřní úhly
    • 2.2 Součet stran
    • 2.3 Nekonzistentní strany
    • 2.4 Neshodné úhly
    • 2.5 Výška, medián, bisector a bisector nejsou shodné
    • 2.6 Orthocenter, barycenter, incenter a circumcenter nejsou shodné
    • 2.7 Relativní výšky
  • 3 Jak vypočítat obvod?
  • 4 Jak vypočítat plochu?
  • 5 Jak vypočítat výšku?
  • 6 Jak vypočítat strany?
  • 7 Cvičení
    • 7.1 První cvičení
    • 7.2 Druhé cvičení
    • 7.3 Třetí cvičení
  • 8 Odkazy

Charakteristiky skalních trojúhelníků

Měřítkové trojúhelníky jsou jednoduché mnohoúhelníky, protože žádná z jejich stran nebo úhlů nemá stejné měřítko, na rozdíl od rovnoramenných a rovnostranných trojúhelníků.

Protože všechny jeho strany a úhly mají různá měření, tyto trojúhelníky jsou považovány za nepravidelné konvexní polygony.

Podle amplitudy vnitřních úhlů jsou skalnaté trojúhelníky klasifikovány jako:

  • Měřítko obdélník trojúhelníkvšechny strany jsou jiné. Jeden z jeho úhlů je rovný (90 °)o) a ostatní jsou ostré as různými opatřeními.
  • Měřítko tupý úhel trojúhelníku: všechny jeho strany jsou odlišné a jeden z jeho úhlů je tupý (> 90o).
  • Měřítko akutní trojúhelníkvšechny strany jsou jiné. Všechny jeho úhly jsou ostré (< 90o), s různými opatřeními.

Další charakteristika trojúhelníkových trojúhelníků spočívá v tom, že vzhledem k nesouladu jejich stran a úhlů nemají osu symetrie.

Komponenty

Střední: je čára, která odchází ze středu jedné strany a dosahuje opačného vrcholu. Tři mediáni se shodují v bodě zvaném centroid nebo centroid.

Sektor: je paprsek, který rozděluje každý úhel na dva úhly stejné velikosti. Bisectors trojúhelníku se shodují v bodě zvaném incentro.

Mediatrix: je segment kolmý na stranu trojúhelníku, který vzniká uprostřed tohoto trojúhelníku. Existují tři mediatrices v trojúhelníku a soustředit se v bodě zvaném circumcenter.

Výška: je čára, která vede od vrcholu k straně, která je opačná, a také tato čára je kolmá na tuto stranu. Všechny trojúhelníky mají tři výšky, které se shodují v bodě zvaném orthocenter.

Vlastnosti

Měřítkové trojúhelníky jsou definovány nebo identifikovány, protože mají několik vlastností, které je reprezentují, pocházejí z vět, které navrhli velcí matematici. Jsou to:

Vnitřní úhly

Součet vnitřních úhlů je vždy roven 180o.

Součet stran

Součet opatření dvou stran musí být vždy větší než míra třetí strany, a + b> c.

Nekonzistentní strany

Všechny strany trojúhelníkových trojúhelníků mají různá měřítka nebo délky; to znamená, že jsou neslučitelné.

Nekonzistentní úhly

Vzhledem k tomu, že všechny strany trojúhelníkového trojúhelníku jsou odlišné, jejich úhly budou také odlišné. Součet vnitřních úhlů však bude vždy roven 180 ° a v některých případech jeden z jeho úhlů může být tupý nebo rovný, zatímco v jiných budou všechny jeho úhly akutní.

Výška, medián, bisector a bisector nejsou shodné

Stejně jako jakýkoli trojúhelník má i skaleno několik segmentů přímek, které ho skládají, jako například: výška, střední, bisector a bisector.

Kvůli zvláštnosti jeho stran, v tomto typu trojúhelníku žádná z těchto linek bude shodovat se v jednom.

Orthocenter, barycenter, incenter a circumcenter nejsou shodné

Vzhledem k tomu, že výška, medián, bisector a bisector jsou reprezentovány různými segmenty přímek, v trojúhelníkovém trojúhelníku se body setkání - ortocent, centrocenter, pobídka a circumcenter - nacházejí v různých bodech (neshodují se).

V závislosti na tom, zda je trojúhelník akutní, obdélníkový nebo skalnatý, má orthocenter různá umístění:

a. Pokud je trojúhelník akutní, bude ortocentr uvnitř trojúhelníku.

b. Pokud je trojúhelník obdélník, ortocentr se bude shodovat s vrcholem rovné strany.

c. Pokud je trojúhelník tupý, bude ortocentr na vnější straně trojúhelníku.

Relativní výšky

Výšky jsou vztaženy ke stranám.

V případě skalnatého trojúhelníku budou tyto výšky mít různá měření. Každý trojúhelník má tři relativní výšky a pro výpočet je použit vzorec Heron.

Jak vypočítat obvod?

Obvod polygonu se vypočítá součtem stran.

Stejně jako v tomto případě má skalnatý trojúhelník všechny své strany s různým měřítkem, jeho obvod bude:

P = strana a + strana b + strana c.

Jak vypočítat plochu?

Plocha trojúhelníků se vždy počítá se stejným vzorcem, vynásobením základny výškou a dělením dvěma:

Plocha = (základna * h) ÷ 2

V některých případech výška scalene trojúhelníku není známá, ale tam je vzorec, který byl navrhován matematikem Heron, vypočítat oblast znát měření tří stran trojúhelníku..

Kde:

  • a, b a c představují strany trojúhelníku.
  • sp, odpovídá semiperimetru trojúhelníku, tj. polovině obvodu:

sp = (a + b + c) 2

V případě, že máte pouze měření dvou ze stran trojúhelníku a úhlu, který je mezi nimi vytvořen, lze plochu vypočítat použitím trigonometrických poměrů. Takže musíte:

Plocha = (strana * h) ÷ 2

Kde výška (h) je součinem jedné strany sinusem opačného úhlu. Například pro každou stranu bude oblast:

  • Plocha = (b * c * sen A) ÷ 2
  • Plocha = (a * c * sen B) ÷ 2.
  • Plocha = (a * b * sen C) ÷ 2

Jak vypočítat výšku?

Vzhledem k tomu, že všechny strany trojúhelníkového trojúhelníku jsou odlišné, není možné vypočítat výšku pomocí Pythagoreanovy věty..

Od vzorce Heron, který je založený na měření tří stran trojúhelníku, oblast může být vypočtena.

Výška může být zrušena podle obecného vzorce oblasti:

Strana je nahrazena měřením strany a, b nebo c.

Jiným způsobem, jak vypočítat výšku, když je známa hodnota jednoho z úhlů, je použití trigonometrických poměrů, kde výška bude představovat nohu trojúhelníku..

Například, když je znám opačný úhel k výšce, bude určen sinusem:

Jak vypočítat strany?

Když máte míru dvou stran a úhel opačný k těmto, je možné určit třetí stranu použitím věty kosinusů.

Například v trojúhelníku AB je vynesena relativní výška vzhledem k segmentu AC. Tímto způsobem je trojúhelník rozdělen na dva pravé trojúhelníky.

Pro výpočet c-strany (segment AB) se pro každý trojúhelník použije Pythagorova věta:

  • Pro modrý trojúhelník musíte:

c2 = h2 + m2

Jako m = b - n se nahrazuje:

c2 = h2 + b2 (b - n)2

c2 = h2 + b2 - 2bn + n2.

  • Pro růžový trojúhelník musíte:

h2 = a2 - n2

Je nahrazen předchozí rovnicí:

c2 = a2 - n2 + b2 - 2bn + n2

c2 = a2 + b2 - 2bn.

Víme, že n = a * cos C, je nahrazena v předchozí rovnici a hodnota strany c je získána:

c2 = a2 + b2 - 2b* a * cos C.

Zákonem kosinusů lze strany vypočítat jako:

  • a2 = b2 + c2 - 2b* c * cos A.
  • b2 = a2 + c2 - 2a* c * cos B.
  • c2 = a2 + b2 - 2b* a * cos C.

Existují případy, kdy měření stran trojúhelníku nejsou známa, ale jejich výška a úhly, které jsou vytvořeny ve vrcholech. Pro určení plochy v těchto případech je nutné použít goniometrické poměry.

Znát úhel jednoho ze svých vrcholů, nohy jsou identifikovány a odpovídající trigonometrický poměr je používán:

Například, katétr AB bude opačný pro úhel C, ale sousedí s úhlem A. V závislosti na straně nebo katétru odpovídající výšce, druhá strana je vyčištěna pro získání hodnoty tohoto..

Cvičení

První cvičení

Vypočítejte plochu a výšku trojúhelníkového trojúhelníku ABC s vědomím, že jeho strany jsou:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm.

Řešení

Data jsou dána měřením tří stran trojúhelníkového trojúhelníku.

Protože nemáte hodnotu výšky, můžete určit oblast pomocí vzorce Heron.

Nejprve se vypočte semiperimetr:

sp = (a + b + c) 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) ÷ 2

sp = 36 cm2

sp = 18 cm.

Nyní jsou hodnoty ve vzorci Heron nahrazeny:

Znát oblast lze vypočítat relativní výšku na straně b. Z obecného vzorce:

Plocha = (strana * h) ÷ 2

46, 47 cm2 = (12 cm * h) ÷ 2

h = (2) * 46,47 cm2) ÷ 12 cm

h = 92,94 cm2 ÷ 12 cm

h = 7,75 cm.

Druhé cvičení

Vzhledem k širokému trojúhelníku ABC, jehož opatření jsou:

  • Segment AB = 25 m.
  • Segment BC = 15 m.

Na vrcholu B se vytvoří úhel 50 °. Vypočtěte relativní výšku na stranu c, obvod a plochu tohoto trojúhelníku.

Řešení

V tomto případě máte opatření dvou stran. Pro určení výšky je nutné vypočítat měření třetí strany.

Vzhledem k tomu, že úhel opačný k daným stranám je uveden, je možné použít k určení měření strany AC (b) zákon kosinů:

b2 = a2 + c2 - 2a*c * cos B

Kde:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50o.

Data jsou nahrazena:

b2 = (15)2 + (25)2 - 2*(15)*(25) * cos 50

b2 = (225) + (625) - (750) * 0,6427

b2 = (225) + (625) - (482,025)

b2 = 367,985

b = √367,985

b = 19,18 m.

Jak již máte hodnotu tří stran, vypočítejte obvod tohoto trojúhelníku:

P = strana a + strana b + strana c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Nyní je možné určit oblast pomocí Heronovy rovnice, ale nejprve musí být vypočítán semiperimetr:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 m-2

sp = 29,59 m.

Měření stran a semiperimetr jsou nahrazeny Heronovým vzorcem:

Konečně, s vědomím oblasti, lze vypočítat relativní výšku na straně c. Z obecného vzorce je nutné:

Plocha = (strana * h) ÷ 2

143,63 m2 = (25 m.) * h) ÷ 2

h = (2) * 143,63 m2) ÷ 25 m

h = 287,3 m2 ÷ 25 m

h = 11,5 m.

Třetí cvičení

V trojúhelníkovém trojúhelníku ABC strana b měří 40 cm, strana c měří 22 cm a ve vrcholu A je vytvořen úhel 90 °o. Vypočítejte plochu tohoto trojúhelníku.

Řešení

V tomto případě jsou uvedena měření dvou stran trojúhelníkového trojúhelníku ABC a úhel, který je vytvořen ve vrcholu A.

Pro určení plochy není nutné vypočítat míru strany a, protože pomocí goniometrických poměrů se tento úhel používá k jeho nalezení.

Protože je znám opačný úhel k výšce, bude to určeno výrobkem na jedné straně a sinusem úhlu.

Nahrazení ve vzorci oblasti musíte:

  • Plocha = (strana * h) ÷ 2
  • h = c * sen A

Plocha = (b * c * sen A) ÷ 2

Plocha = (40 cm) * 22 cm * sen 90) ÷ 2

Plocha = (40 cm) * 22 cm * 1) ÷ 2

Plocha = 880 cm2 ÷ 2

Plocha = 440 cm2.

Odkazy

  1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Technický výkres: aktivity poznámkového bloku.
  2. Ángel Ruiz, H. B. (2006). Geometrie Technologie ČR, .
  3. Angel, A. R. (2007). Základní algebra Pearson Education,.
  4. Baldor, A. (1941). Algebra Havana: Kultura.
  5. Barbosa, J. L. (2006). Plochá euklidovská geometrie. Rio de Janeiro,.
  6. Coxeter, H. (1971). Základy geometrie Mexiko: Limusa-Wiley.
  7. Daniel C. Alexander, G. M. (2014). Základní geometrie pro vysokoškolské studenty. Cengage učení.
  8. Harpe, P. d. (2000). Témata v teorii geometrické skupiny. Univerzita Chicaga Tisk.