Vlastnosti rovnostranného trojúhelníku, vlastnosti, vzorce a plocha



A rovnostranného trojúhelníku je to mnohoúhelník se třemi stranami, kde všechny jsou stejné; to znamená, že mají stejné měřítko. Pro tuto charakteristiku byl uveden název rovnostranných (rovných stran).

Trojúhelníky jsou polygony považované za nejjednodušší v geometrii, protože jsou tvořeny třemi stranami, třemi úhly a třemi vrcholy. V případě rovnostranného trojúhelníku, tím, že má stejné strany, to znamená, že jeho tři úhly budou také.

Index

  • 1 Charakteristika rovnostranných trojúhelníků
    • 1.1
    • 1.2 Komponenty
  • 2 Vlastnosti
    • 2.1 Vnitřní úhly
    • 2.2 Vnější úhly
    • 2.3 Součet stran
    • 2.4 Shodné strany
    • 2.5 Souběžné úhly
    • 2.6 Sektor, medián a mediatrix jsou shodné
    • 2.7 Šířka a výška jsou shodné
    • 2.8 Orthocenter, barycenter, incenter a circumcenter se shodují
  • 3 Jak vypočítat obvod?
  • 4 Jak vypočítat výšku?
  • 5 Jak vypočítat strany?
  • 6 Jak vypočítat plochu?
  • 7 Cvičení
    • 7.1 První cvičení
    • 7.2 Druhé cvičení
    • 7.3 Třetí cvičení
  • 8 Odkazy

Charakteristika rovnostranných trojúhelníků

Stejné strany

Rovnostranné trojúhelníky jsou ploché a uzavřené postavy, složené ze tří segmentů přímek. Trojúhelníky jsou rozděleny podle jejich vlastností, ve vztahu k jejich stranám a úhlům; rovnostranný byl klasifikován pomocí míry jeho stran jako parametr, protože tyto jsou přesně stejné, to znamená, že jsou shodné.

Rovnostranný trojúhelník je zvláštní případ rovnoramenného trojúhelníku, protože dvě jeho strany jsou shodné. Proto jsou všechny rovnostranné trojúhelníky také rovnoramenné, ale ne všechny rovnoramenné trojúhelníky budou rovnostranné.

Tímto způsobem mají rovnostranné trojúhelníky stejné vlastnosti rovnoramenného trojúhelníku.

Rovnostranné trojúhelníky mohou být také klasifikovány amplitudou jejich vnitřních úhlů jako rovnostranný úhlový trojúhelník, který má tři strany a tři vnitřní úhly se stejným měřítkem. Úhly budou ostré, to znamená, že budou menší než 90 °o.

Komponenty

Trojúhelníky obecně mají několik řádků a bodů, které jej tvoří. Používají se pro výpočet plochy, stran, úhlů, mediánu, osy, kolmice a výšky.

  • Střední: je čára, která odchází ze středu jedné strany a dosahuje opačného vrcholu. Tři mediáni se shodují v bodě zvaném centroid nebo centroid.
  • Sektor: je paprsek, který rozděluje úhel vrcholů na dva úhly stejné velikosti, proto je znám jako osa symetrie. Rovnostranný trojúhelník má tři osy symetrie.

V rovnostranném trojúhelníku je osa nakreslena od vrcholu úhlu k jeho protilehlé straně, stříhat to u jeho středu. Tyto body se označují jako pobídka.

  • Mediatrix: je segment kolmý na stranu trojúhelníku, který vzniká ve středu tohoto trojúhelníku. V trojúhelníku jsou tři mediatrie, které se shodují v bodě zvaném circuncentro.
  • Výška: je čára, která vede od vrcholu k straně, která je opačná, a také tato čára je kolmá na tuto stranu. Všechny trojúhelníky mají tři výšky, které se shodují v bodě zvaném orthocenter.

Vlastnosti

Hlavní vlastnost rovnostranných trojúhelníků je že oni budou vždy být rovnoramenné trojúhelníky, protože isosceles je tvořen dvěma shodnými stranami a rovnostranný trojice..

Tímto způsobem rovnostranné trojúhelníky zdědily všechny vlastnosti rovnoramenného trojúhelníku:

Vnitřní úhly

Součet vnitřních úhlů je vždy roven 180o, a protože všechny jeho úhly jsou shodné, pak každý z nich bude měřit 60o.

Vnější úhly

Součet vnějších úhlů bude vždy roven 360o, proto každý vnější úhel měří 120o. Je to proto, že vnitřní a vnější úhly jsou doplňkové, to znamená, že jejich přidání bude vždy rovno 180o.

Součet stran

Součet opatření dvou stran musí být vždy větší než míra třetí strany, tj. A + b> c, kde a, b ac jsou rozměry každé strany.

Shodné strany

Rovnostranné trojúhelníky mají své tři strany se stejným měřítkem nebo délkou; to znamená, že jsou shodné. Proto v předchozí položce máme a = b = c.

Souběžné úhly

Rovnostranné trojúhelníky jsou také známé jako trojúhelníkové trojúhelníky, protože jejich tři vnitřní úhly jsou vzájemně shodné. Je to proto, že všechny jeho strany mají také stejné měřítko.

Bisector, medián a mediatrix jsou shodné

Osa rozděluje stranu trojúhelníku na dvě části. V rovnostranných trojúhelnících bude tato strana rozdělena na dvě přesně stejné části, to znamená, že trojúhelník bude rozdělen do dvou pravoúhlých pravoúhlých trojúhelníků..

Tak, osa nakreslená od nějakého úhlu rovnostranného trojúhelníku se shoduje s mediánem a bisector protější strany toho úhlu \ t.

Příklad:

Následující obrázek ukazuje trojúhelník ABC se středem D, který rozděluje jednu ze stran na dva segmenty AD a BD.

Když nakreslíte čáru z bodu D do opačného vrcholu, podle definice získáte střední CD, které je relativní k vrcholu C a straně AB.

Vzhledem k tomu, že segment CD rozděluje trojúhelník ABC na dva trojúhelníky rovné CDB a CDA, znamená to, že budeme mít případ kongruence: side, angle, side, a proto bude CD také bisector BCD.

Při kreslení segmentu CD rozdělte vrcholový úhel do dvou stejných úhlů 30o, úhel vrcholu A pokračuje k měření 60o a rovné CD tvoří úhel 90 °o s ohledem na střed D.

Segmentové CD tvoří úhly, které mají stejné měření pro trojúhelníky ADC a BDC, tj. Jsou doplňkové tak, aby měření každého z nich bylo:

Med. (ADB) + Med. (ADC) = 180o

2 * Med. (ADC) = 180o

Med. (ADC) = 180o ÷ 2

Med. (ADC) = 90o.

A tak, že CD segment je také bisector strany AB.

Oblouk a výška jsou shodné

Když nakreslíte bod od vrcholu úhlu k středu protější strany, rozdělí rovnostranný trojúhelník na dva shodné trojúhelníky.

Tímto způsobem se vytvoří úhel 90 °o (rovně). To znamená, že tento segment čáry je zcela kolmý na tuto stranu a podle definice by tato čára měla být výška.

Tímto způsobem se osa libovolného úhlu rovnostranného trojúhelníku shoduje s relativní výškou na opačné straně tohoto úhlu.

Orthocenter, barycenter, incenter a circumcenter se shodují

Vzhledem k tomu, že výška, medián, bisector a bisector jsou současně reprezentovány stejným segmentem, v rovnostranném trojúhelníku budou body setkávání těchto segmentů - ortocentra, barycentra, motivátoru a circumcenteru - ve stejném bodě:

Jak vypočítat obvod?

Obvod polygonu se vypočítá součtem stran. Protože v tomto případě má rovnostranný trojúhelník všechny své strany se stejným měřítkem, jeho obvod se vypočítá podle následujícího vzorce:

P = 3 * straně.

Jak vypočítat výšku?

Vzhledem k tomu, že výška je přímka kolmá k základně, rozděluje ji na dvě stejné části tím, že se rozprostírá k opačnému vrcholu. Tak se vytvoří dva stejné pravé trojúhelníky.

Výška (h) představuje opačnou stranu (a), polovina strany AC k přilehlé straně (b) a strana BC představuje odtok (c).

Pomocí Pythagoreanovy věty můžete určit hodnotu výšky:

a2 + b2= c2

Kde:

a2 = výška (h).

b2 = strana b / 2.

c2 = strana a.

Nahrazení těchto hodnot v Pythagorově teorémě a vymazání výšky, kterou máme:

h2 + ( l / 2)2 = Já2

h2 +  Já2/ 4 = Já2

h2 = Já2  -  Já2/ 4

h2 = (4)*Já2 -  Já2) / 4

h2 =  3*Já2/4

√h2 = √ (3*Já2/4)

Je-li znám úhel, který tvoří kongruentní strany, lze výšku (reprezentovanou nohou) vypočítat použitím trigonometrických poměrů.

Nohy se nazývají protilehlé nebo sousední v závislosti na úhlu, který se bere jako reference.

Například, v předchozím obrázku katetus h bude opačný pro úhel C, ale přilehlý k úhlu B: \ t

Výšku lze tedy vypočítat pomocí:

Jak vypočítat strany?

Existují případy, kdy rozměry stran trojúhelníku nejsou známy, ale jejich výška a úhly, které jsou vytvořeny ve vrcholech.

Pro určení plochy v těchto případech je nutné použít goniometrické poměry.

Znát úhel jednoho ze svých vrcholů, nohy jsou identifikovány a odpovídající trigonometrický poměr je používán:

Noha AB tedy bude opačná pro úhel C, ale sousedí s úhlem A. V závislosti na straně nebo noze odpovídající výšce, druhá strana je vyčištěna, aby získala tuto hodnotu, s vědomím, že v rovnostranném trojúhelníku jsou tři strany budou mít vždy stejnou velikost.

Jak vypočítat plochu?

Plocha trojúhelníků se vždy počítá se stejným vzorcem, vynásobením základny výškou a dělením dvěma:

Plocha = (b * h) ÷ 2

Víme, že výška je dána vzorcem:

Cvičení

První cvičení

Strany rovnostranného trojúhelníku ABC měří 20 cm. Vypočítejte výšku a plochu polygonu.

Řešení

Pro určení plochy tohoto rovnostranného trojúhelníku je nutné vypočítat výšku, s vědomím, že při kreslení je trojúhelník rozdělen do dvou stejných pravoúhlých trojúhelníků..

Tímto způsobem lze Pythagoreanův teorém použít k jeho nalezení:

a2 + b2= c2

Kde:

a = 20/2 = 10 cm.

b = výška.

c = 20 cm.

Data ve větě jsou nahrazena:

102 + b2 = 202

100 cm + b2 = 400 cm

b2 = (400 - 100) cm

b2 = 300 cm

b = √ 300 cm

b = 17,32 cm.

To znamená, že výška trojúhelníku je 17,32 cm. Nyní je možné vypočítat plochu daného trojúhelníku ve vzorci:

Plocha = (b * h) ÷ 2

Plocha = (20 cm) * 17,32 cm) ÷ 2

Plocha = 346,40 cm2 ÷ 2

Plocha = 173,20 cm2.

Dalším jednodušším způsobem řešení je nahradit data v přímém vzorci oblasti, kde hodnota výšky je také implicitně:

Druhé cvičení

V zemi, která má tvar rovnostranného trojúhelníku, budou květiny vysazeny. Pokud je obvod této půdy 450 m, vypočítejte počet čtverečních metrů obsazených květinami.

Řešení

Vědět, že obvod trojúhelníku odpovídá součtu jeho tří stran a jak terén má tvar rovnostranného trojúhelníku, tři strany tohoto trojúhelníku budou mít stejnou míru nebo délku: \ t

P = strana + strana + strana = 3 * Já

3 * Já = 450 m.

l = 450 m ÷ 3

l = 150 m.

Nyní je nutné vypočítat pouze výšku tohoto trojúhelníku.

Výška rozděluje trojúhelník do dvou pravoúhlých pravoúhlých trojúhelníků, kde jedna z nohou představuje výšku a druhá polovina základny. Pythagorean teorém, výška může být určena: \ t

a2 + b2= c2

Kde:

a = 150 m 2 = 75 m.

c = 150 m.

b = výška

Data ve větě jsou nahrazena:

(75 m)2+ b2 = (150 m)2

5,625 m + b2 = 22,500 m

b2 = 22 500 m - 5 625 m

b2 = 16,875 m

b = √16,875 m

b = 129,90 m.

Tak oblast, která bude zabírat květiny bude:

Plocha = b * h ÷ 2

Plocha = (150 m.) * 129,9 m) ÷ 2

Plocha = (19,485 m.)2) ÷ 2

Plocha = 9 742,5 m2

Třetí cvičení

Rovnostranný trojúhelník ABC se dělí úsečkou, která vede z jejího vrcholu C do středu D, umístěného na opačné straně (AB). Tento segment měří 62 metrů. Vypočítejte plochu a obvod rovnostranného trojúhelníku.

Řešení

Vědět, že rovnostranný trojúhelník je rozdělen liniovým segmentem, který odpovídá výšce, tak tvořit dva shodné pravé trojúhelníky, toto podle pořadí také dělí úhel vrcholu C do dvou úhlů se stejnou mírou, 30 \ to každý.

Výška tvoří úhel 90 °o vzhledem k segmentu AB a úhel vrcholu A bude potom měřit 60o.

Pak se použije jako referenční úhel 30o, výška CD je vytvořena jako noha vedle úhlu a BC jako přepona.

Z těchto dat lze určit hodnotu jedné ze stran trojúhelníku pomocí trigonometrických poměrů:

Jak v rovnostranném trojúhelníku všechny strany mají přesně stejnou míru nebo délku, to znamená, že každá strana rovnostranného trojúhelníku ABC je rovna 71,6 metru. S vědomím, že je možné určit vaši oblast:

Plocha = b * h ÷ 2

Plocha = (71,6 m.) * 62 m) ÷ 2

Plocha = 4,438,6 m2 ÷ 2

Plocha = 2,219,3 m2

Obvod je dán součtem jeho tří stran:

P = strana + strana + strana = 3 * Já

P = 3*Já

P = 3 * 71,6 m

P = 214,8 m.

Odkazy

  1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Technický výkres: aktivity poznámkového bloku.
  2. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra a trigonometrie s analytickou geometrií. Pearson Education.
  3. Baldor, A. (1941). Algebra Havana: Kultura.
  4. BARBOSA, J. L. (2006). Plochá euklidovská geometrie. SBM. Rio de Janeiro, .
  5. Coxford, A. (1971). Geometrie Transformační přístup. USA: Laidlaw Brothers.
  6. Euclid, R. P. (1886). Euclidovy prvky geometrie.
  7. Héctor Trejo, J. S. (2006). Geometrie a trigonometrie.
  8. León Fernández, G. S. (2007). Integrovaná geometrie Metropolitní technologický institut.
  9. Sullivan, J. (2006). Algebra a trigonometrie Pearson Education.