Charakteristiky a typy akutních úhlových trojúhelníků

trojúhelníky trojúhelníky jsou ti, jejichž tři vnitřní úhly jsou akutní úhly; to znamená, že měření každého z těchto úhlů je menší než 90 stupňů. Bez pravého úhlu máme, že Pythagorova věta není pro tento geometrický obrazec splněna.

Pokud tedy chceme mít nějaký druh informací na kterékoliv z jeho stran nebo úhlů, je nutné využít dalších vět, které nám umožňují přístup k uvedeným údajům. Ty, které můžeme použít, jsou sineova věta a kosinová věta.

Index

• 1 Charakteristika
  • 1.1 Věta o sinu
  • 1.2 Věta o kosínku
• 2 Typy
  • 2.1 Rovnostranné trojúhelníkové trojúhelníky
  • 2.2 Akutní trojúhelníky
  • 2.3 Škálovité trojúhelníkové trojúhelníky
• 3 Rozlišení akutních trojúhelníků
  • 3.1 Příklad 1
  • 3.2 Příklad 2

Vlastnosti

Mezi charakteristikami tohoto geometrického útvaru můžeme zdůraznit ty, které jsou dány prostou skutečností, že jsou trojúhelníkem. Mezi nimi musíme:

- Trojúhelník je mnohoúhelník, který má tři strany a tři úhly.

- Součet jeho tří vnitřních úhlů se rovná 180 °.

- Součet dvou jeho stran je vždy větší než třetí.

Podívejme se například na následující trojúhelník ABC. Obecně označujeme jejich strany malými písmeny a jejich úhly velkými písmeny, takže jedna strana a její opačný úhel mají stejné písmeno.

U již zadaných charakteristik víme, že:

A + B + C = 180 °

a + b> c, a + c> b a b + c> a

Hlavní charakteristikou, která odlišuje tento typ trojúhelníku od ostatních, je, že jak již bylo zmíněno, jeho vnitřní úhly jsou akutní; to znamená, že měření každého z jeho úhlů je menší než 90 °.

Trojúhelníky acutángulos, spolu s trojúhelníky obtusángulos (ti ve kterém jeden z jeho úhlů má měření větší než 90 °), být díl souboru trojúhelníků šikmý. Tato sada se skládá z trojúhelníků, které nejsou obdélníky.

Při tvorbě šikmých trojúhelníků musíme řešit problémy s akutními trojúhelníky, které musíme použít sinální teorém a kosinovou teorém.

Sineova věta

Věta o prsu říká, že poměr jedné strany s sinusem jeho opačného úhlu je roven dvojnásobku poloměru kruhu tvořeného třemi vrcholy uvedeného trojúhelníku. To je:

2r = a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C)

Kosinova věta

Na druhou stranu, kosinová věta nám dává tyto tři rovnosti pro každý ABC trojúhelník:

a²= b² + c² -2bc * cos (A)

b²= a² + c² -2ac * cos (B)

c²= a² + b² -2ab * cos (C)

Tyto věty jsou také známé jako právo sine a právo cosine, příslušně.

Další charakteristikou, kterou můžeme dát z trojúhelníků acutángulos, je to, že dva z nich jsou stejné, pokud splňují jedno z následujících kritérií:

- Pokud mají tři stejné strany.

- Pokud mají jednu stranu a dva úhly stejné.

- Pokud mají dvě strany a stejný úhel.

Typy

Můžeme je klasifikovat trojúhelníky na jejich stranách. Mohou to být:

Trojúhelníky rovnostranné trojúhelníky

Jsou to trojúhelníky acutángulos, které mají všechny své stejné strany, a proto všechny jejich vnitřní úhly mají stejnou hodnotu, která je A = B = C = 60 stupňů.

Jako příklad vezmeme následující trojúhelník, jehož strany a, b a c mají hodnotu 4.

Akutní trojúhelníky isosceles

Tyto trojúhelníky, kromě toho, že mají akutní vnitřní úhly, mají charakteristiku, že mají dvě ze svých stran stejné a třetí, což je obecně považováno za základ, různé.

Příkladem tohoto typu trojúhelníků může být ten, jehož základna je 3 a jeho další dvě strany mají hodnotu 5. S těmito opatřeními by měly opačné úhly na stejné strany s hodnotou 72,55 ° a opačným úhlem základna by byla 34,9 °.

Měřítko acutángulos trojúhelníky

To jsou trojúhelníky, které mají všechny své dvě strany dvě až dvě. Proto jsou všechny jeho úhly, kromě toho, že jsou menší než 90 °, různé dva až dva.

Trojúhelník DEF (jehož měření jsou d = 4, e = 5 a f = 6 a jeho úhly jsou D = 41,41 °, E = 55,79 ° a F = 82,8 °) je dobrým příkladem akutního trojúhelníku scalene.

Rozlišení akutních trojúhelníků

Jak jsme řekli dříve, pro řešení problémů zahrnujících akutní trojúhelníky je nutné použít věty sinu a kosinu..

Příklad 1

Vzhledem k trojúhelníku ABC s úhly A = 30 °, B = 70 ° a stranou a = 5cm, chceme znát hodnotu úhlu C a stran b a c.

První věc, kterou děláme, je použít skutečnost, že součet vnitřních úhlů trojúhelníku je 180 °, aby se získala hodnota úhlu C.

180 ° = A + B + C = 30 ° + 70 ° C = 100 ° C

Vymazali jsme C a my jsme odešli:

C = 180 ° - 100 ° = 80 °

Jak již známe tři úhly a jednu stranu, můžeme použít sinusovou teorii k určení hodnoty zbývajících stran. Podle věty musíme:

a / sin (A) = b / sin (B) a a / sin (A) = c / (sin (C)

Vymažeme b z rovnice a musíme:

b = (a * sin (B)) / sin (A) ≈ (5 * 0,940) / (0,5) ≈ 9,4

Teď stačí vypočítat hodnotu c. Postupujeme obdobně jako v předchozím případě:

c = (a * sin (C)) / sin (A) ≈ (5 * 0,984) / (0,5) ≈ 9,84

Tím získáme všechna data trojúhelníku. Jak vidíme, tento trojúhelník spadá do kategorie trojúhelníkového měřítka.

Příklad 2

Vzhledem k trojúhelníku DEF se stranami d = 4 cm, e = 5 cm a f = 6 cm, chceme znát hodnotu úhlů uvedeného trojúhelníku.

Pro tento případ použijeme zákon kosinus, který nám říká, že:

d²= e² + f² - 2fcos (D)

Z této rovnice můžeme vymazat cos (D), což nám dává výsledek:

Cos (D) = ((4)² - (5)² -(6)²) / (- 2 x 5 * 6) = 0,75

Odtud máme D≈ 41,41 °

Nyní pomocí věty senom máme následující rovnici:

d / (sin (D) = e / (sin (E)

Vymazání hříchu (E):

sin (E) = e * sin (D) / d = (5 * 0,66) / 4 ≈ 0,827

Odtud máme E≈55.79 °

Konečně, s použitím součtu vnitřních úhlů trojúhelníku je 180 °, máme to F≈82.8 °.

1. Landaverde, F. d. (1997). Geometrie (Reprint ed.). Pokrok.
2. Leake, D. (2006). Trojúhelníky (znázorněno na obr.). Heinemann-Raintree.
3. Leal G. Juan Manuel (2003). Metrická geometrie plana.CODEPRE
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrie Technologie ČR.
5. Sullivan, M. (1997). Trigonometrie a analytická geometrie. Pearson Education.