Izometrické transformace složení, typy a příklady



Izometrické transformace jedná se o změny polohy nebo orientace určitého čísla, které nemění ani jeho formu ani velikost. Tyto transformace jsou rozděleny do tří typů: translace, rotace a reflexe (izometrie). Obecně geometrické transformace umožňují vytvoření nového obrázku z jiného daného.

Transformace na geometrický obrazec znamená, že nějakým způsobem byla podrobena nějaké změně; to znamená, že byl změněn. Podle smyslu originálu a podobného v rovině, geometrické transformace mohou být rozděleny do tří typů: izometrický, isomorfní a anamorfní..

Index

  • 1 Charakteristika
  • 2 Typy
    • 2.1 Překladem
    • 2.2 Otáčením
    • 2.3 Odrazem nebo symetrií
  • 3 Složení
    • 3.1 Složení překladu
    • 3.2 Složení rotace
    • 3.3 Složení symetrie
  • 4 Odkazy

Vlastnosti

Izometrické transformace nastanou, když jsou veličiny segmentů a úhly mezi původní postavou a transformovaným obrazem zachovány..

U tohoto typu transformace se nezmění tvar ani velikost obrázku (jsou shodné), jedná se pouze o změnu polohy obrázku buď v orientaci nebo ve směru. Tímto způsobem budou počáteční a konečné údaje podobné a geometricky shodné.

Izometrie označuje rovnost; to znamená, že geometrické obrazce budou izometrické, pokud mají stejný tvar a velikost.

V izometrických transformacích je jedinou věcí, kterou lze pozorovat, změna polohy v rovině, kdy dochází k tuhému pohybu, díky němuž se obraz pohybuje z počáteční polohy do koncové polohy. Toto číslo se nazývá homologní (podobné) originálu.

Existují tři typy pohybů, které klasifikují izometrickou transformaci: překlad, rotaci a odraz nebo symetrii.

Typy

Překladem

Jsou to izometrie, které umožňují pohybovat se v přímé přímce všemi body roviny v daném směru a vzdálenosti.

Když je postava transformována překladem, nezmění svou orientaci ve vztahu k počáteční pozici, ani neztratí svá vnitřní měřítka, míry svých úhlů a stran. Tento typ posunutí je definován třemi parametry:

- Adresa, která může být horizontální, vertikální nebo šikmá.

- Smysl, který může být vlevo, vpravo, nahoru nebo dolů.

- Vzdálenost nebo velikost, což je délka od počáteční polohy do konce jakéhokoli bodu, který se pohybuje.

Pro splnění izometrické transformace musí překlad splňovat tyto podmínky:

- Obrázek musí vždy zachovat všechny své rozměry, lineární i úhlové.

- Obrázek nemění svou polohu vzhledem k horizontální ose; to znamená, že jeho úhel se nikdy nemění.

- Překlady budou vždy shrnuty v jednom, bez ohledu na počet provedených překladů.

V rovině, kde je střed bod O, se souřadnicemi (0,0), je překlad definován vektorem T (a, b), který označuje posunutí počátečního bodu. To je:

P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)

Pokud je například na souřadný bod P (8, -2) aplikován překlad T (-4, 7), získáme:

P (8, -2) + T (-4, 7) = P '[(8 + (-4)), ((-2) + 7)] = P' (4, 5)

V následujícím obrázku (vlevo) je vidět, jak se bod C posunul tak, aby se shodoval s bodem D. Udělal to ve vertikálním směru, směr byl vzhůru a vzdálenost nebo velikost CD byla 8 metrů. V pravém obrázku je pozorován překlad trojúhelníku:

Otáčením

Jsou to izometrie, které umožňují číslu otočit všechny body roviny. Každý bod se otáčí za obloukem, který má konstantní úhel a je určen pevný bod (střed otáčení).

To znamená, že celá rotace bude definována středem otáčení a úhlem natočení. Když je postava transformována rotací, udržuje si měřítko svých úhlů a stran.

K rotaci dochází v určitém směru, je pozitivní, když je rotace proti směru hodinových ručiček (na rozdíl od toho, jak se otáčí hodiny hodin) a negativní, když je její otáčení ve směru hodinových ručiček.

Pokud se bod (x, y) otočí vzhledem k počátku - tj. Jeho střed otáčení je (0,0) -, pod úhlem 90o až 360o Souřadnice bodů budou:

V případě, že rotace nemá střed na počátku, musí být původ souřadnicového systému přenesen na nový daný počátek, aby bylo možné otočit postavu, která má střed svého počátku..

Například, pokud bod P (-5,2) dostane rotaci 90o, kolem počátku a v pozitivním smyslu budou jeho nové souřadnice (-2,5).

Odrazem nebo symetrií

Jsou to transformace, které invertují body a postavy letadla. Tato investice může být s ohledem na bod nebo může být také s ohledem na přímku.

Jinými slovy, v tomto typu transformace je každý bod původní postavy spojen s jiným bodem (obrazem) homologní postavy takovým způsobem, že bod a jeho obraz jsou ve stejné vzdálenosti od čáry nazvané osa symetrie..

Levá část obrázku bude tedy odrazem pravé části, aniž by se změnil její tvar nebo rozměry. Symetrie transformuje jednu postavu na druhou, i když v opačném směru, jak je vidět na následujícím obrázku:

Symetrie je přítomna v mnoha aspektech, jako v některých rostlinách (slunečnice), zvířatech (páv) a přírodních jevech (sněhové vločky). Lidská bytost ji odráží na tváři, která je považována za faktor krásy. Odraz nebo symetrie může být dvou typů:

Centrální symetrie

Je to právě ta transformace, která nastává s ohledem na bod, ve kterém může postava změnit svou orientaci. Každý bod původní postavy a její obraz jsou ve stejné vzdálenosti od bodu O, nazývaného střed symetrie. Symetrie je centrální, když:

- Jak bod, tak jeho obraz a střed patří do stejného řádku.

- S rotací 180 °o centrum O dostanete číslo rovno originálu.

- Tahy počátečního obrázku jsou rovnoběžné s tahy vytvořeného obrázku.

- Smysl tohoto obrázku se nemění, vždy bude ve směru hodinových ručiček.

K této transformaci dochází vzhledem k ose symetrie, kde každý bod počátečního čísla je spojen s jiným bodem obrazu a tyto jsou ve stejné vzdálenosti od osy symetrie. Symetrie je axiální, když:

- Segment, který spojuje bod s jeho obrazem, je kolmý k jeho ose symetrie.

- Čísla mění směr vzhledem k otočení nebo ve směru hodinových ručiček.

- Při dělení čísla středovou čarou (osa symetrie) se jedna z výsledných polovin zcela shoduje s druhou polovinou..

Složení

Složení izometrických transformací odkazuje na postupnou aplikaci izometrických transformací na stejné číslo.

Složení překladu

Složení dvou překladů vede k dalšímu překladu. Když se provádí na rovině, na vodorovné ose (x) se mění pouze souřadnice této osy, zatímco souřadnice svislé osy (y) zůstávají stejné a naopak.

Složení rotace

Složení dvou otáček se stejným středem má za následek další zatáčku, která má stejný střed a jejíž amplituda bude součtem amplitud dvou otáček..

Pokud střed otáčení má jiný střed, bude řez osy dvou segmentů podobných bodů středem otáčení.

Složení symetrie

V tomto případě bude složení záviset na způsobu jeho použití:

- Pokud se použije stejná symetrie dvakrát, výsledkem bude identita.

- Pokud se použijí dvě symetrie vzhledem ke dvěma paralelním osám, výsledkem bude překlad a jeho posunutí je dvojnásobek vzdálenosti těchto os:

- Pokud se použijí dvě symetrie vzhledem ke dvěma osám, které jsou řezány v bodě O (střed), bude získána rotace se středem v ose O a její úhel bude dvojnásobkem úhlu tvořeného osami:

Odkazy

  1. V Burgués, J. F. (1988). Materiály pro stavbu geometrie. Madrid: Syntéza.
  2. Cesar Calavera, I. J. (2013). Technické kreslení II. Paraninfo S.A: Ediciones de la Torre.
  3. Coxeter, H. (1971). Základy geometrie Mexiko: Limusa-Wiley.
  4. Coxford, A. (1971). Geometrie Transformační přístup. USA: Laidlaw Brothers.
  5. Liliana Siñeriz, R. S. (2005). Indukce a formalizace ve výuce rigidních transformací v prostředí CABRI.
  6. , P. J. (1996). Skupina rovinných izometrií. Madrid: Syntéza.
  7. Suárez, A. C. (2010). Transformace v rovině. Gurabo, Portoriko: AMCT .