Transformovaná Laplaceova definice, historie, co to je, vlastnosti



transformován z Laplace byl v posledních letech velký význam v inženýrských studií, matematiky, fyziky, kromě jiných vědních oborů, stejně jako je předmětem velkého zájmu v teorii, poskytuje jednoduchý způsob, jak vyřešit problémy, které pocházejí z oblasti vědy a techniky.

Původně Laplaceova transformace byla představena Pierre-Simon Laplace ve své studii o teorii pravděpodobnosti a byla zpočátku považována za matematický objekt pouze teoretického zájmu..

Současné aplikace vznikají, když se různí matematici pokoušeli dát formální zdůvodnění "provozním pravidlům" používaným Heavisidem ve studiu rovnic elektromagnetické teorie.

Index

  • 1 Definice
    • 1.1 Příklady
    • 1.2 Věta (Dostatečné podmínky existence)
    • 1.3 Laplaceova transformace některých základních funkcí
  • 2 Historie
    • 2.1 1782, Laplace
    • 2.2 Oliver Heaviside
  • 3 Vlastnosti
    • 3.1 Linearita
    • 3.2 První věta o překladu
    • 3.3 Druhá věta o překladu
    • 3.4 Změna měřítka
    • 3.5 Vymezení Laplaceových derivátů
    • 3.6 Laplaceova transformace integrálů
    • 3.7 Násobení tn
    • 3.8 Divize podle t
    • 3.9 Periodické funkce
    • 3.10 Chování F (s), pokud má sklon k nekonečnu
  • 4 Inverzní transformace
    • 4.1 Cvičení
  • 5 Aplikace Laplaceovy transformace
    • 5.1 Diferenciální rovnice
    • 5.2 Systémy diferenciálních rovnic
    • 5.3 Mechanika a elektrické obvody
  • 6 Odkazy

Definice

Nechť f je funkce definovaná pro t ≥ 0. Laplaceova transformace je definována následovně:

Říká se, že Laplaceova transformace existuje, pokud předchozí integrál konverguje, jinak se říká, že Laplaceova transformace neexistuje.

Obecně platí, že k označení funkce, kterou chce transformovat, se používají malá písmena a velké písmeno odpovídá její transformaci. Tímto způsobem budeme mít:

Příklady

Uvažujme konstantní funkci f (t) = 1. Máme, že její transformace je:

Kdykoli integrál konverguje, je vždy zajištěno, že s> 0. Jinak s < 0, la integral diverge.

Nechť g (t) = t. Vaše Laplaceova transformace je dána

Integrací částí a vědomím, že vy-st inklinuje k 0 když t inklinuje k nekonečnu a s> 0, spolu s předchozím příkladem my máme to: \ t

Transformace může nebo nemusí existovat, například pro funkci f (t) = 1 / t se integrál, který definuje jeho Laplaceovu transformaci, neshoduje a proto její transformace neexistuje.

Dostatečné podmínky pro zajištění, že Laplaceova transformace funkce f existuje, je, že f je spojitá v částech pro t ≥ 0 a je exponenciálního řádu.

Říká se, že funkce je spojitá v částech pro t ≥ 0, když pro libovolný interval [a, b] s> 0 existuje konečný počet bodůk, kde f má diskontinuity a je spojitá v každém subintervalu [tk-1,tk].

Na druhé straně je řečeno, že funkce je exponenciálního řádu c, pokud existují reálné konstanty M> 0, c a T> 0 takové, že:

Jako příklady máme f (t) = t2 je exponenciálního řádu, protože | t2| < e3t pro všechny t> 0.

Formálně máme následující teorém

Věta (Dostatečné podmínky pro existenci)

Jestliže f je spojitá funkce na díl pro t> 0 a exponenciálního řádu c, pak je zde Laplaceova transformace pro s> c.

Je důležité zdůraznit, že se jedná o podmínku dostatečnosti, to znamená, že by se mohla jednat o funkci, která tyto podmínky nesplňuje, a to ani tehdy, když existuje Laplaceova transformace..

Příkladem je funkce f (t) = t-1/2 který není spojitý v částech pro t ≥ 0, ale jeho Laplaceova transformace existuje.

Laplaceova transformace některých základních funkcí

Následující tabulka ukazuje Laplaceovy transformace nejběžnějších funkcí.

Historie

Laplace převádí je pojmenována po Pierre-Simon Laplace, francouzský matematik a teoretický astronom, který se narodil v roce 1749 a zemřel v roce 1827. Jeho sláva rok byl takový, že byl znám jako Newton Francie.

V roce 1744 věnoval Leonard Euler své studium integrálům s formou

jako řešení obyčejných diferenciálních rovnic, ale rychle opustil toto vyšetřování. Později, Joseph Louis Lagrange, kdo velmi obdivoval Euler, také zkoumal tento druh integrals a příbuzné je k teorii pravděpodobnosti.

1782, Laplace

V roce 1782 začal studovat Laplaceova integrály, jako je řešení diferenciálních rovnic a podle historiků, v roce 1785 se rozhodl přeformulovat problém, který pak porodila na Laplaceova transformace, jak jej chápe dnes.

Poté, co byl představen do oblasti teorie pravděpodobnosti, to bylo malý zájem k vědcům té doby a byl jen viděn jako matematický objekt teoretického zájmu jediný \ t.

Oliver Heaviside

To bylo v střední-devatenácté století, když anglický inženýr Oliver Heaviside objevil, že diferenciální operátory mohou být považovány za algebraické proměnné, což dává jejich moderní aplikaci na Laplaceovy transformace..

Oliver Heaviside byl fyzik, elektrotechnik a matematik Angličana narozeného v roce 1850 a zemřel v Londýně v roce 1925. I když se snaží řešit diferenciální rovnice použité teorie kmitání a studií s použitím Laplace začal tvarování moderní aplikace Laplaceovými obrazy.

Výsledky vystavené Heavisideem se rychle šířily po celé vědecké komunitě času, ale protože jeho práce nebyla přísná, byla rychle kritizována více tradičními matematiky..

Užitečnost Heavisidovy práce při řešení fyzikálních rovnic však prosazovala jeho metody u fyziků a inženýrů.

Navzdory těmto nezdarům a po několika desetiletích neúspěšných pokusů bylo na počátku 20. století možné přísně zdůvodnit operativní pravidla dané Heavisidem..

Tyto pokusy se vyplatily díky úsilí různých matematiků, jako je Bromwich, Carson, van der Pol, mezi ostatními..

Vlastnosti

Mezi vlastnosti Laplaceovy transformace patří:

Linearita

Nechť c1 a c2 jsou konstanty a f (t) a g (t) funkce, jejichž Laplaceovy transformace jsou F (s) a G (s), pak musíme:

Díky této vlastnosti se říká, že Laplaceova transformace je lineární operátor.

Příklad

První věta o překladu

Pokud se stane, že:

A 'a' je nějaké reálné číslo, pak:

Příklad

Jako Laplaceova transformace cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) pak:

Druhá věta o překladu

Ano

Pak

Příklad

Pokud f (t) = t ^ 3, pak F (s) = 6 / s ^ 4. A proto transformace

je G (s) = 6e-2s/ s ^ 4

Změna měřítka

Ano

A 'a' je nenulová skutečná, musíme

Příklad

Protože transformace f (t) = sin (t) je F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1), musí být

Laplace derivátů

Pokud f, f ', f ", ..., f(n) jsou spojité pro t ≥ 0 a jsou exponenciálního řádu a f(n)(t) je spojitá v částech pro t ≥ 0, pak

Laplaceova transformace integrálů

Ano

Pak

Násobení tn

Pokud musíme

Pak

Divize t

Pokud musíme

Pak

Periodické funkce

Nechť f je periodická funkce s periodou T> 0, tj. F (t + T) = f (t)

Chování F (s), když má sklon k nekonečnu

Jestliže f je spojitá v částech a exponenciálním pořadí a

Pak

Inverzní transformace

Když aplikujeme Laplaceovu transformaci na funkci f (t), získáme F (s), která představuje tuto transformaci. Stejným způsobem můžeme říci, že f (t) je inverzní Laplaceova transformace F (s) a je psána jako

Víme, že Laplaceovy transformace f (t) = 1 a g (t) = t jsou F (s) = 1 / s a ​​G (s) = 1 / s2 proto musíme

Některé běžné inverzní Laplaceovy transformace jsou následující

Inverzní Laplaceova transformace je navíc lineární, to znamená, že je splněna

Cvičení

Najít

Abychom toto cvičení vyřešili, musíme se shodovat s funkcí F (s) s jednou z předchozích tabulek. V tomto případě, pokud vezmeme n + 1 = 5 a použijeme lineární vlastnost inverzní transformace, násobíme a dělíme 4! Získání

Pro druhou inverzní transformaci aplikujeme dílčí zlomky k přepsání funkce F (s) a poté vlastnosti linearity, získání

Jak je vidět z těchto příkladů, je běžné, že funkce F (s), která je hodnocena, nesouhlasí přesně s žádnou z funkcí uvedených v tabulce. Pro tyto případy, jak je pozorováno, stačí funkci přepsat až do dosažení vhodného formuláře.

Aplikace Laplaceovy transformace

Diferenciální rovnice

Hlavní aplikací Laplaceových transformací je řešení diferenciálních rovnic.

Pomocí vlastnosti transformace derivátu je jasné, že

A derivátů n-1 hodnocených při t = 0.

Tato vlastnost činí transformaci velmi užitečnou pro řešení problémů s počáteční hodnotou, kde jsou zahrnuty diferenciální rovnice s konstantními koeficienty.

Následující příklady ukazují, jak použít Laplaceovu transformaci k řešení diferenciálních rovnic.

Příklad 1

Vzhledem k následující počáteční problém problém

K nalezení řešení použijte Laplaceovu transformaci.

Na každý člen diferenciální rovnice aplikujeme Laplaceovu transformaci

Pro vlastnost transformace derivátu máme

Rozvíjením všech výrazů a zúčtování (a) jsme ponecháni

Pomocí částečných zlomků přepíšeme pravou stranu rovnice, kterou získáme

Naším cílem je najít funkci y (t), která splňuje diferenciální rovnici. Použití inverzní Laplaceovy transformace nám dává výsledek

Příklad 2

Vyřešte

Stejně jako v předchozím případě aplikujeme transformaci na obě strany rovnice a samostatný termín podle termínu.

V důsledku toho máme výsledek

Substituce zadanými počátečními hodnotami a vymazáním Y (s)

Pomocí jednoduchých zlomků můžeme rovnici přepsat následovně

Výsledkem je použití inverzní transformace Laplaceovy

V těchto příkladech bychom mohli dospět k nesprávnému závěru, že tato metoda není o moc lepší než tradiční metody řešení diferenciálních rovnic.

Výhody, které nabízí Laplaceova transformace, spočívají v tom, že není nutné používat proměnné parametrů nebo se obávat různých případů metody neurčitého koeficientu.

Kromě řešení problémů počáteční hodnoty touto metodou, od počátku používáme počáteční podmínky, takže není nutné provádět další výpočty pro nalezení konkrétního řešení..

Systémy diferenciálních rovnic

Laplaceova transformace může být také použita k nalezení řešení současných obyčejných diferenciálních rovnic, jak ukazuje následující příklad.

Příklad

Vyřešte

S počátečními podmínkami x (0) = 8 e a (0) = 3.

Pokud musíme

Pak

Řešení v nás

A když použijeme Laplaceovu inverzní transformaci, máme

Mechanika a elektrické obvody

Laplaceova transformace je velmi důležitá ve fyzice, hlavně má aplikace pro mechanické a elektrické obvody.

Jednoduchý elektrický obvod se skládá z následujících prvků

Spínač, baterie nebo zdroj, induktor, odpor a kondenzátor. Když je spínač sepnut, vzniká elektrický proud, který je označen i (t). Nabití kondenzátoru je označeno q (t).

Kirchhoffovým druhým zákonem musí být napětí vytvořené zdrojem E do uzavřeného obvodu rovno součtu každého z úbytků napětí.

Elektrický proud i (t) je vztažen k náboji q (t) v kondenzátoru pomocí i = dq / dt. Na druhé straně je pokles napětí definován v každém z těchto prvků:

Úbytek napětí v rezistoru je iR = R (dq / dt)

Úbytek napětí v induktoru je L (di / dt) = L (d.)2q / dt2)

Úbytek napětí v kondenzátoru je q / C

S těmito daty a použitím druhého Kirchhoffova zákona na uzavřený jednoduchý obvod se získá diferenciální rovnice druhého řádu, která popisuje systém a umožňuje nám určit hodnotu q (t).

Příklad

K baterii E je připojen induktor, kondenzátor a odpor, jak je znázorněno na obrázku. Induktor je 2 henries, kondenzátor 0,02 farad a odpor 16 onhm. V čase t = 0 je obvod uzavřen. Zjistěte zatížení a proud kdykoliv t> 0, pokud E = 300 voltů.

Máme, že diferenciální rovnice, která popisuje tento okruh, je následující

Kde jsou počáteční podmínky q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

Použijeme-li Laplaceovu transformaci, dostaneme to

Zúčtování Q (t)

Pak použijeme inverzní Laplaceovu transformaci, kterou máme

Odkazy

  1. G. Holbrook, J. (1987). Laplaceova transformace pro elektroniky. Vápno.
  2. Ruiz, L. M., & Hernandez, M. P. (2006). Diferenciální rovnice a Laplaceova transformace s aplikacemi. Redakční UPV.
  3. Simmons, G. F. (1993). Diferenciální rovnice s aplikacemi a historickými poznámkami. McGraw-Hill.
  4. Spiegel, M. R. (1991). Laplaceovy transformace. McGraw-Hill.
  5. Zill, D. G., & Cullen, M. R. (2008). Diferenciální rovnice s problémy hodnot na hranici. Cengage učitelé, S.A..