Demonstrace a příklady binomického věty

binomický teorém je rovnice, která nám říká, jak vytvořit výraz formuláře (a + b)ⁿ pro některé přirozené číslo n. Binomický není větší než součet dvou prvků, jako (a + b). To nám také umožňuje znát termín daný a^kb^n-k jaký je koeficient, který s ním souvisí.

Tato věta je obyčejně přičítána anglickému vynálezci, fyzikovi a matematikovi sirovi Isaacovi Newtonovi; nicméně, několik záznamů bylo najité naznačovat, že na Středním východě jeho existence byla známá, kolem roku 1000.

Index

• 1 kombinační čísla
• 2 Demonstrace
• 3 Příklady
  • 3.1 Identita 1
  • 3.2 Identita 2
• 4 Další demonstrace
  • 4.1 Demonstrace indukcí
• 5 Zajímavosti
• 6 Odkazy

Kombinatorická čísla

Binomická věta nám matematicky říká následující:

V tomto výrazu a a b jsou reálná čísla a n je přirozené číslo.

Předtím, než předvedeme ukázku, podívejme se na některé základní pojmy, které jsou nezbytné.

Kombinatorické číslo nebo kombinace n v k jsou vyjádřeny následovně:

Tento formulář vyjadřuje hodnotu, kolik podmnožin s prvky k lze vybrat ze sady n prvků. Jeho algebraický výraz je dán:

Podívejme se na příklad: předpokládejme, že máme skupinu sedmi kuliček, z nichž dvě jsou červené a zbytek je modrý.

Chceme vědět, kolik způsobů je můžeme objednat v řadě. Jedním ze způsobů může být umístění dvou červených v první a druhé pozici a zbývající koule ve zbývajících pozicích.

Podobně jako v předchozím případě jsme mohli dát červené kuličky první a poslední pozici a obsadit ostatní modrými kuličkami.

Nyní, efektivní způsob, jak spočítat, kolik způsobů, jak můžeme objednat míče v řadě je použití kombinační čísla. Každou pozici vidíme jako prvek následující sady:

Dále je nutné zvolit pouze podmnožinu dvou prvků, ve kterých každý z těchto prvků představuje pozici, kterou zabírají červené koule. Můžeme provést tuto volbu podle vztahu daného:

Tímto způsobem máme 21 způsobů, jak takové koule uspořádat.

Obecná myšlenka tohoto příkladu bude velmi užitečná při demonstraci binomického teorému. Podívejme se na konkrétní případ: jestliže n = 4, máme (a + b)⁴, což není nic jiného než:

Když tento produkt vyvíjíme, máme součet termínů získaných vynásobením prvku každého ze čtyř faktorů (a + b). Budeme tedy mít termíny, které budou ve formě:

Kdybychom chtěli získat termín formuláře⁴, jen násobit následujícím způsobem:

Všimněte si, že tento prvek lze získat pouze jedním způsobem; ale co se stane, když nyní hledáme termín formuláře²b²? Protože "a" a "b" jsou reálná čísla, a proto je komutativní zákon platný, máme způsob, jak tento termín získat, aby se násobil členy, jak je naznačeno šipkami..

Provádění všech těchto operací je obvykle poněkud únavné, ale pokud vidíme termín "a" jako kombinaci, kdy chceme vědět, kolik způsobů si můžeme vybrat ze dvou faktorů ze dvou faktorů, můžeme použít myšlenku z předchozího příkladu. Máme tedy následující:

Takže víme, že v konečném vývoji výrazu (a + b)⁴ budeme mít přesně 6a²b². Při použití stejné myšlenky pro ostatní prvky musíte:

Pak přidáme dříve získané výrazy a musíme:

Je to formální ukázka pro obecný případ, ve kterém "n" je jakékoli přirozené číslo.

Demonstrace

Všimněte si, že termíny, které zůstanou při vývoji (a + b)ⁿ jsou formuláře^kb^n-k, kde k = 0,1, ..., n. Pomocí myšlenky z předchozího příkladu máme možnost zvolit proměnné „k“ „a“ z faktorů „n“ je:

Výběrem tímto způsobem automaticky volíme n-k proměnné "b". Z toho vyplývá, že:

Příklady

Zvažování (a + b)⁵, Jaký by byl její vývoj?

Podle binomického teorému musíme:

Binomický teorém je velmi užitečný, pokud máme výraz, ve kterém chceme vědět, jaký je koeficient určitého výrazu, aniž bychom museli provádět úplný vývoj. Jako příklad můžeme uvést následující otázku: jaký je koeficient x⁷a⁹ ve vývoji (x + y)¹⁶?

Binomickým teorémem máme, že koeficient je:

Jiným příkladem může být: jaký je koeficient x⁵a⁸ ve vývoji (3x-7y)¹³?

Nejprve přepíšeme výraz pohodlným způsobem; toto je:

Pak pomocí binomické věty máme, že požadovaný koeficient je, když máme k = 5

Další příklad použití této věty je v demonstraci některých obyčejných identit, takový jak ti zmíněný dole.

Identita 1

Pokud je "n" přirozené číslo, musíme:

Pro demonstraci používáme binomický teorém, kde „a“ i „b“ mají hodnotu 1. Pak máme:

Tímto způsobem jsme prokázali první identitu.

Identita 2

Pokud je "n" přirozené číslo, pak

Podle binomického teorému musíme:

Další demonstrace

Můžeme udělat jinou demonstraci pro binomický teorém pomocí indukční metody a pascalové identity, která nám říká, že pokud "n" a "k" jsou kladná celá čísla, která splňují n ≥ k, pak:

Demonstrace indukcí

Nejprve se podívejme, že indukční základna je splněna. Pokud n = 1, musíme:

Vidíme, že je naplněn. Nyní nechť n = j, že je splněno:

Chceme vidět, že pro n = j + 1 je splněno, že:

Musíme tedy:

Podle hypotézy víme, že:

Potom pomocí distribuční vlastnosti:

Následně rozvíjí každý ze summitů, které máme:

Pokud se tedy společně pohodlně spojíme, musíme:

Pomocí identity pascalu musíme:

Nakonec si všimněte, že:

Proto vidíme, že binomická věta je splněna pro všechny "n" patřící k přirozenému číslu, a tím končí test..

Zajímavosti

Kombinatorické číslo (nk) se také nazývá binomický koeficient, protože je to právě koeficient, který se objevuje ve vývoji binomického (a + b)ⁿ.

Isaac Newton dal zobecnění této věty pro případ ve kterém exponent je skutečné číslo; tato věta je známa jako Newtonova dvojčlenná věta.

Již ve starověku byl tento výsledek znám pro konkrétní případ, ve kterém n = 2. Tento případ je uveden v Prvky euklidů.

Odkazy

1. Johnsonbaugh Richard. Diskrétní matematika PHH
2. Kenneth.H. Rosen, diskrétní matematika a její aplikace. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Seymour Lipschutz Ph.D & Marc Lipson. Diskrétní matematika. McGRAW-HILL.
4. Ralph P. Grimaldi. Diskrétní a kombinovaná matematika. Addison-Wesley Iberoamericana
5. Verde Star Luis ... Diskrétní matematika a Combinatoria.Anthropos