Varigonova věta Příklady a řešená cvičení



Varignonova věta stanoví, že pokud jsou v jakémkoli čtyřúhelníku všechny body spojitě spojeny se stranami, generuje se rovnoběžník. Tato věta byla formulována Pierreem Varignonem a publikována v roce 1731 v knize Prvky matematiky".

Vydání knihy nastalo roky po jeho smrti. Protože Varignon byl ten kdo představil tuto teorém, rovnoběžník je pojmenovaný po něm. Věta je založená na euklidovské geometrii a představuje geometrické vztahy čtyřúhelníků.

Index

  • 1 Co je Varignonova věta??
  • 2 Příklady
    • 2.1 První příklad
    • 2.2 Druhý příklad
  • 3 Řešené úlohy
    • 3.1 Cvičení 1
    • 3.2 Cvičení 2
    • 3.3 Cvičení 3
  • 4 Odkazy

Co je Varignonova věta??

Varignon prohlašoval, že číslo, které je definováno středy čtyřúhelníku bude vždy vyústit v rovnoběžník, a oblast tohoto bude vždy být polovina oblasti čtyřúhelníku jestliže to je ploché a konvexní. Například:

Na obrázku vidíme čtyřúhelník s plochou X, kde středy stran jsou reprezentovány E, F, G a H a když jsou spojeny, tvoří rovnoběžník. Plocha čtyřúhelníku bude součtem ploch vytvořených trojúhelníků a polovina této plochy odpovídá ploše rovnoběžníku.

Vzhledem k tomu, že plocha rovnoběžníku je polovinou plochy čtyřúhelníku, může být obvod tohoto rovnoběžníku určen.

Obvod je tedy roven součtu délek úhlopříček čtyřúhelníku; toto je, protože medián čtyřúhelníku bude diagonály rovnoběžníku.

Na druhé straně, pokud jsou délky úhlopříček čtyřúhelníku přesně stejné, rovnoběžník bude diamant. Například:

Z obrázku je vidět, že spojením středů stran čtyřúhelníku se získá kosočtverec. Na druhé straně, pokud jsou úhlopříčky čtyřúhelníku kolmé, rovnoběžník bude obdélník.

Rovnoběžník bude také čtvercem, když čtyřúhelník má úhlopříčky stejné délky a také kolmý.

Věta není splněna pouze v plochých čtyřúhelnících, ale je také implementována v prostorové geometrii nebo ve velkých rozměrech; tj. v těch čtyřúhelnících, které nejsou konvexní. Příklad tohoto může být octahedron, kde midpoints jsou centroids každého obličeje a tvořit rovnoběžnostěn..

Tímto způsobem lze spojením středů různých čísel získat paralelogramy. Jednoduchý způsob, jak ověřit, zda je to opravdu pravda, je, že protější strany musí být paralelní, když jsou prodlouženy.

Příklady

První příklad

Prodloužení protilehlých stran ukazuje, že se jedná o rovnoběžník:

Druhý příklad

Spojením středů diamantu získáme obdélník:

Věta je používána ve spojení bodů lokalizovaných uprostřed stran čtyřúhelníku, a moci také být užitý na jiné druhy bodů, takový jak v trisection, penta-sekce, nebo vyrovnat nekonečný počet sekcí (\ t nth), za účelem rozdělení stran jakéhokoli čtyřúhelníku na segmenty, které jsou proporcionální.

Vyřešená cvičení

Cvičení 1

Na obrázku máme čtyřúhelník ABCD oblasti Z, kde středy stran tohoto jsou PQSR. Zkontrolujte, zda je vytvořen paralelogram Varignonu.

Řešení

Je možné ověřit, že při spojení bodů PQSR je vytvořen rovnoběžník Varignonu, právě proto, že ve výpisu jsou uvedeny středy čtyřúhelníku..

Abychom to dokázali, střední body PQSR jsou sjednoceny, takže je vidět, že je vytvořen další čtyřúhelník. Chcete-li ukázat, že se jedná o rovnoběžník, stačí nakreslit přímku z bodu C do bodu A, takže můžete vidět, že CA je paralelní s PQ a RS.

Podobně rozšířením stran PQRS lze poznamenat, že PQ a RS jsou paralelní, jak ukazuje následující obrázek:

Cvičení 2

Má obdélník tak, že délky všech jeho stran jsou stejné. Při spojení středů těchto stran se vytvoří kosočtverec ABCD, který je rozdělen dvěma diagonálemi AC = 7 cm a BD = 10 cm, které se shodují s rozměry stran obdélníku. Určete oblasti diamantu a obdélníku.

Řešení

Když si vzpomínáte, že plocha výsledného rovnoběžníku je polovina čtyřúhelníku, můžete určit oblast těchto poznání, že míra úhlopříček se shoduje se stranami obdélníku. Takže musíte:

AB = D

CD = d

Aobdélník = (AB * CD) = (10 cm * 7 cm) = 70 cm2

Akosočtverec = A obdélník / 2

Akosočtverec = 70 cm2 / 2 = 35 cm2

Cvičení 3

Na obrázku máme čtyřúhelník, který má spojitost bodů EFGH, jsou dány délky segmentů. Určete, zda je spojení EFGH paralelogramem.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

FC = 3,94 HA = 2,77

Řešení

S ohledem na délku segmentů je možné ověřit, zda existuje úměrnost mezi segmenty; to je, my můžeme vědět jestliže tito jsou paralelní, vztahovat segmenty quadrilateral následujícím způsobem: \ t

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

- CF / FB = 3,94 / 2,88 = 1,37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Poté se kontroluje proporcionalita, protože:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Podobně při vykreslování čáry z bodu B do bodu D můžeme vidět, že EH je paralelní s BD, stejně jako BD je paralelní s FG. Na druhé straně je EF paralelní s GH.

Tímto způsobem lze určit, že EFGH je rovnoběžník, protože protilehlé strany jsou rovnoběžné.

Odkazy

  1. Andres, T. (2010). Matematická olympiáda Tresure. Springer. New York.
  2. Barbosa, J. L. (2006). Plochá euklidovská geometrie. SBM. Rio de Janeiro.
  3. Howar, E. (1969). Studium geometrií. Mexiko: Hispánský - Američan.
  4. Ramo, G. P. (1998). Neznámá řešení problémů Fermat-Torricelli. ISBN - Nezávislá práce.
  5. Vera, F. (1943). Prvky geometrie. Bogotá.
  6. Villiers, M. (1996). Některá dobrodružství v euklidovské geometrii. Jižní Afrika.