Podíl:
Věta o Thalesovi Mileta První, druhý a příklady
První a druhý Věta o Thalesovi Miletus jsou založeny na určování trojúhelníků z jiných podobných (první věta) nebo obvodů (druhá věta). Byly velmi užitečné v různých oblastech. Například první věta se ukázala jako velmi užitečná pro měření velkých konstrukcí, kdy neexistovaly sofistikované měřicí přístroje.
Thales Miletus byl řecký matematik, který poskytoval velké příspěvky ke geometrii, který tyto dvě věty vyčnívají (v některých textech oni také psají to jako Thales) a jejich užitečné aplikace. Tyto výsledky byly použity v celé historii a umožnily řešení široké škály geometrických problémů.
Index
- 1 První věta o povídkách
- 1.1 Aplikace
- 1.2 Příklady
- 2 Druhá věta o povídkách
- 2.1 Použití
- 2.2 Příklad
- 3 Odkazy
První věta o povídkách
První věta o povídkách je velmi užitečným nástrojem, který mimo jiné umožňuje vytvořit trojúhelník podobný jinému, dříve známému. Odtud odvozujte různé verze věty, které lze aplikovat ve více kontextech.
Předtím, než vydáte své prohlášení, pamatujte si některé pojmy podobnosti trojúhelníků. V podstatě jsou dva trojúhelníky podobné, pokud jejich úhly jsou shodné (mají stejné měřítko). To vede ke skutečnosti, že pokud jsou dva trojúhelníky podobné, jejich odpovídající strany (nebo homology) jsou proporcionální.
První teorém Thales říká, že jestliže v daném trojúhelníku je přímka nakreslena rovnoběžně s některou z jejích stran, získaný nový trojúhelník bude podobný počátečnímu trojúhelníku..
Také získáte vztah mezi úhly, které jsou vytvořeny, jak je vidět na následujícím obrázku.
Aplikace
Mezi jeho rozmanitými aplikacemi vyniká jedinečný zájem a souvisí s jedním ze způsobů, jakými byla měření prováděna z velkých staveb ve starověku, doby, ve které Thales žil a ve kterém nebyly k dispozici moderní měřicí přístroje. teď existují.
To je říkal, že toto bylo jak Thales zvládal změřit nejvyšší pyramidu v Egyptě, Cheops. Thales předpokládal, že odrazy slunečních paprsků se dotkly země tvořící rovnoběžky. Za tohoto předpokladu strčil svisle do země tyč nebo třtinu.
Pak použil podobnost dvou výsledných trojúhelníků, jednoho tvořeného délkou stínu pyramidy (kterou lze snadno vypočítat) a výškou pyramidy (neznámé) a druhé tvořené délkami stínu. a výška tyče (kterou lze také snadno vypočítat).
Pomocí proporcionality mezi těmito délkami můžete vyčistit a znát výšku pyramidy.
Ačkoli tato metoda měření může poskytnout významnou chybu aproximace s ohledem na přesnost výšky a závisí na paralelnosti slunečních paprsků (což závisí na přesném čase), musíme si uvědomit, že se jedná o velmi důmyslný nápad a to poskytlo dobrou alternativu měření pro danou dobu.
Příklady
Najděte hodnotu x v každém případě:
Řešení
Zde máme dvě čáry oříznuté dvěma paralelními čarami. První věta o Thales má jeden má to jejich příslušné strany jsou úměrné. Zejména:
Řešení
Zde máme dva trojúhelníky, z nichž jeden je tvořen segmentem rovnoběžným s jednou ze stran druhé (přesně na straně délky x). První větou příběhů musíte:
Druhá věta o povídkách
Druhá věta o Thalesi určuje pravoúhlý trojúhelník vepsaný do obvodu v každém bodě téhož bodu.
Trojúhelník, který je vepsán do obvodu, je trojúhelník, jehož vrcholy jsou po obvodu a jsou v něm obsaženy.
Specificky, druhá věta Thales říká následující: daný kruh středu O a průměr AC, každý bod B obvodu (jiný než A a C) určuje pravý trojúhelník ABC, s pravým úhlem. Jako odůvodnění je třeba poznamenat, že jak OA, tak OB a OC odpovídají poloměru obvodu; proto jsou jejich měření stejná. Odtud se získá, že trojúhelníky OAB a OCB jsou rovnoramenné, kde Je známo, že součet úhlů trojúhelníku je roven 180 °. Pomocí tohoto trojúhelníku ABC musíte: 2b + 2a = 180 °. Ekvivalentně máme, že b + a = 90º a b + a = Všimněte si, že pravoúhlý trojúhelník, který poskytuje Thalesův teorém, je přesně ten, jehož prepona je rovna průměru obvodu. Proto je zcela určován půlkruhem, který obsahuje body trojúhelníku; v tomto případě horní půlkruh. Všimněte si také, že v pravoúhlém trojúhelníku získaném pomocí Thalesovy věty je hypotéza rozdělena na dvě stejné části OA a OC (poloměr). Toto měřítko je naopak rovné segmentu OB (také poloměr), který odpovídá střední hodnotě trojúhelníku ABC B. Jinými slovy, délka mediánu pravoúhlého trojúhelníku ABC odpovídající vrcholu B je zcela určena polovinou hypotézy. Připomeňme si, že medián trojúhelníku je segmentem od jednoho z vrcholů ke středu protější strany; v tomto případě segment BO. Další způsob, jak vidět Thalesův druhý věta, je kruh obklopený pravým trojúhelníkem. Obecně, kruh ohraničený k mnohoúhelníku sestává z obvodu, který prochází každým jeho vrcholy, kdykoli to je možné sledovat to \ t. S použitím druhé věty Thales, daný pravý trojúhelník, my můžeme vždy postavit circumcircle ohraničený k tomuto, s poloměrem se rovnat polovině hypotézy a circumcenter (střed obvodu) se rovnal středu hypotézy \ t. Velmi důležitá aplikace druhé věty Tales, a možná nejpoužívanější, je najít tečné čáry k danému obvodu, bodem P vnější k tomuto (známý) \ t. Všimněte si, že vzhledem k obvodu (nakreslenému na obrázku níže) a vnějšímu bodu P, jsou dvě čáry tečné k obvodu, které procházejí skrz P. Nechť T a T 'jsou body tečnosti, r poloměr obvodu a Nebo centrum. Je známo, že segment, který jde od středu kružnice k bodu tečnosti, je kolmý k této tečné přímce. Pak je úhel OTP rovný. Z toho, co jsme viděli dříve v první větě Thales a jejích různých verzích, vidíme, že je možné vložit OTP trojúhelník v jiném obvodu (červeně). Analogicky je získáno, že OT'P trojúhelník může být napsán uvnitř stejného předchozího obvodu. Druhou teorémou Thalese se také dozvídáme, že průměr tohoto nového obvodu je přesně hypotéza trojúhelníku OTP (který je roven hypotéze trojúhelníku OT'P), a střed je středem této hypotézy. Pro výpočet středu nového obvodu je pak dostačující vypočítat střed mezi středem - řekněme M - počátečního obvodu (který již známe) a bodem P (který také známe). Poloměr pak bude vzdálenost mezi tímto bodem M a P. S poloměrem a středem červeného kruhu můžeme najít jeho karteziánskou rovnici, kterou si pamatujeme, že je dána (x-h)2 + (y-k)2 = c2, kde c je poloměr a bod (h, k) je střed kruhu. Víme-li nyní rovnice obou obvodů, můžeme je protínat řešením soustavy rovnic tvořených těmito rovnicemi, a tím získat body tečnosti T a T '. Konečně, abychom poznali požadované tečny, stačí najít rovnici přímek procházejících T a P a T 'a P. Zvažte obvod průměru AC, střed O a poloměr 1 cm. Nechť B je bod na obvodu tak, že AB = AC. Kolik měří AB? Druhou větou Thalese máme, že trojúhelník ABC je obdélník a přepona odpovídá průměru, který v tomto případě měří 2 cm (poloměr je 1 cm). Pak, Pythagorean teorém musíme: \ t
Obvod popsaný obvodem
Aplikace
Příklad
Řešení
Odkazy