Moivreova věta o tom, co se skládá, demonstrace a vyřešená cvičení

Moivreova věta aplikuje základní procesy algebry, takový jako síly a extrakce kořenů v komplexních číslech. Věta byla vyhlášena renomovaným francouzským matematikem Abrahamem de Moivre (1730), který sdružil komplexní čísla s trigonometrií.

Abraham Moivre učinil toto spojení prostřednictvím výrazů prsu a kosinu. Tento matematik vytvořil jakýsi vzorec, jehož prostřednictvím je možné získat komplexní číslo z na moc n, což je kladné celé číslo větší nebo rovné 1.

Index

• 1 Co je to Moivreova věta??
• 2 Demonstrace
  • 2.1 Indukční základna
  • 2.2 Indukční hypotéza
  • 2.3 Kontrola
  • 2.4 Negativní celé číslo
• 3 Řešené úlohy
  • 3.1 Výpočet pozitivních pravomocí
  • 3.2 Výpočet záporných mocností
• 4 Odkazy

Co je to Moivreova věta??

Moivreova věta uvádí následující:

Pokud máte komplexní číslo v polární podobě z = r_Ɵ, kde r je modul komplexního čísla z, a úhel Ɵ je nazýván amplitudou nebo argumentem nějakého komplexního čísla s 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, pro výpočet jeho n-té síly nebude nutné jej násobit sám n-krát; to znamená, že není nutné provést následující produkt:

Zⁿ = z _* z _* z_{* ... *} z = r_{Ɵ *} r_{Ɵ *} r_{Ɵ * ... *} r_Ɵ   n-krát.

Naopak, teorém říká, že když píšeme z v jeho trigonometrickém tvaru, pro výpočet n-té síly, postupujeme následovně:

Pokud z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) pak zⁿ = rⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

Například pokud n = 2, pak z² = r²[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)]. Pokud máte n = 3, pak z³ = z² _* z. Navíc:

z³ = r²[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] _* r [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] = r³[cos 3 (Ɵ) + i sin 3 (Ɵ)].

Tímto způsobem mohou být získány trigonometrické poměry sinus a cosine pro násobky úhlu, pokud jsou známy trigonometrické poměry úhlu..

Stejným způsobem může být použit k nalezení přesnějších a méně matoucích výrazů pro n-tý kořen komplexního čísla z, takže zⁿ = 1.

Pro demonstraci Moivreovy věty se používá princip matematické indukce: jestliže celé číslo "a" má vlastnost "P", a pokud pro jakékoliv celé číslo "n" větší než "a", které má vlastnost "P" je to splňuje, že n + 1 má také vlastnost "P", pak všechna celá čísla větší nebo rovna "a" mají vlastnost "P".

Demonstrace

Tímto způsobem se důkaz věty provádí pomocí následujících kroků:

Indukční základna

První kontrola n = 1.

Jako z¹ = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))¹ = r¹ (cos Ɵ + i _* sen Ɵ)¹ = r¹ [cos (1)_* Ɵ) + i _* sen (1)_* Ɵ)], máme, že pro n = 1 je věta splněna.

Indukční hypotéza

Předpokládá se, že vzorec platí pro některé kladné celé číslo, tj. N = k.

z^k = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))^k  = r^k (cos k Ɵ + i _* sen k Ɵ).

Kontrola

Je prokázáno, že platí pro n = k + 1.

Jako z^{k + 1}= z^k _* z, potom z^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))^{k + 1} = r^k (cos kƟ + i _* sen kƟ) _*  r (cos Ɵ + i_* senƟ).

Pak se výrazy násobí:

z^{k + 1} = r^{k + 1}((cos kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(i_*senƟ) + (i _* sen kƟ)_*(cosƟ) + (i _* sen kƟ)_*(i_* senƟ)).

Na okamžik je faktor r ignorován^{k + 1},  a společný faktor i je odstraněn:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) + i²(sen kƟ)_*(senƟ).

Jak jsem² = -1, nahradíme ji ve výrazu a dostaneme:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(senƟ).

Nyní jsou objednány skutečné a imaginární části:

(cos kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(sinƟ) + i [(sen kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(senƟ)].

Pro zjednodušení výrazu se použijí trigonometrické identity součtu úhlů pro kosinus a sinus, které jsou:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sen A _* sen B.

sen (A + B) = sin A _* cos B - cos A _* cos B.

V tomto případě jsou proměnné úhly Ɵ a kƟ. Při použití trigonometrických identit máme:

cos kƟ _* cosƟ -  sen kƟ _* senƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sen kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* senƟ = sen (kƟ + Ɵ)

Tímto způsobem zůstane výraz:

z^{k + 1} = r^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sen (kƟ + Ɵ))

z^{k + 1} = r^{k + 1}(cos [(k +1) Ɵ] + i _* sen [(k +1) Ɵ]).

Lze tedy ukázat, že výsledek platí pro n = k + 1. Podle principu matematické indukce se dospělo k závěru, že výsledek platí pro všechna kladná celá čísla; to znamená n ≥ 1.

Negativní číslo

Moivreova věta je také aplikována když n ≤ 0. Zvažte záporné celé číslo "n"; pak “n” moci být psán jak “-m”, to je, n = -m, kde “m” je kladné celé číslo. Proto:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = (cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ^-m

Pro získání exponentu "m" pozitivním způsobem je výraz zapsán inverzně:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ^m

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sen mƟ)

Nyní se používá, že pokud z = a + b * i je komplexní číslo, pak 1 ÷ z = a-b * i. Proto:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (mƟ) - i _* sen (mƟ).

Pomocí cos (x) = cos (-x) a -sen (x) = sin (-x) musíme:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = [cos (mƟ) - i _* sen (mƟ)]

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sen (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (nƟ) - i _* sen (nƟ).

Tímto způsobem můžeme říci, že věta platí pro všechny celočíselné hodnoty "n".

Vyřešená cvičení

Výpočet pozitivních pravomocí

Jeden z operací s komplexními čísly v jeho polární formě je násobení mezi dva tito; v takovém případě jsou moduly násobeny a argumenty jsou přidány.

Pokud máte dvě komplexní čísla z₁ a z₂ a chcete vypočítat (z₁* z₂)², Pak postupujeme následovně:

z₁z₂ = [r₁ (cos Ɵ₁ + i _* sen Ɵ₁)] * [r₂ (cos Ɵ₂ + i _* sen Ɵ₂)]

Je použita distribuční vlastnost:

z₁z₂ = r₁ r₂ (cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + i _* cos Ɵ_{1 *} i _* sen Ɵ₂ + i _* sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + i²_* sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂).

Oni jsou seskupeni, přičemž termín "i" jako společný faktor výrazů:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + i (cos Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂ + sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂) + i²_* sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂]

Jak jsem² = -1, je nahrazen výrazem:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + i (cos Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂ + sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂) - sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂]

Reálné termíny jsou přeskupeny s reálným a imaginárním s imaginárním:

z₁z₂ = r₁ r₂ [(cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ - sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂) + i (cos Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂ + sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂)]

Nakonec se použijí goniometrické vlastnosti:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos (Ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ + Ɵ₂)].

Závěrem:

(z₁* z₂)²= (r₁ r₂ [cos (Ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ + Ɵ₂)])²

= R₁²r₂²[cos 2 * (Ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen 2 * (Ɵ₁ + Ɵ₂)].

Cvičení 1

Zapište komplexní číslo v polárním tvaru, pokud z = - 2 -2i. Pak, používat Moivre teorém, vypočítat z⁴.

Řešení

Komplexní číslo z = -2 -2i je vyjádřeno v pravoúhlé formě z = a + bi, kde:

a = -2.

b = -2.

Víme, že polární forma je z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), musíte určit hodnotu modulu "r" a hodnotu argumentu "Ɵ". Jako r = √ (a² + b²) jsou dané hodnoty nahrazeny:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Pro určení hodnoty "Ɵ" se použije obdélníková forma, která je dána vzorcem:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Jako tan (Ɵ) = 1 a musíte<0, entonces se tiene que:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Protože hodnota "r" a "Ɵ" byla již získána, může být komplexní číslo z = -2 -2i vyjádřeno v polární formě nahrazením hodnot:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5Π / 4)).

Pro výpočet z se používá teorém Moivre⁴:

z⁴= 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5Π / 4))⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* sen (5Π)).

Cvičení 2

Najděte produkt komplexních čísel jeho vyjádřením v polární podobě:

z1 = 4 (cos 50^o + i_* 50 sen^o)

z2 = 7 (cos 100^o + i_* 100 sen^o).

Pak se vypočte (z1 * z2) ².

Řešení

Nejprve se vytvoří součin daného čísla:

z₁ z₂ = [4 (cos 50^o + i_* 50 sen^o)] [7 (cos 100^o + i_* 100 sen^o)]

Pak násobte moduly dohromady a přidejte argumenty:

z₁ z₂ = (4) _* 7)_* [cos (50)^o + 100^o) + i_* sen (50. \ t^o + 100^o)]

Výraz je zjednodušený:

z₁ z₂ = 28 _* (cos 150^o + (i_* 150 sen^o).

Konečně, Moivre teorém je aplikován: \ t

(z1 * z2) ² = (28) _* (cos 150^o + (i_* 150 sen^o)) ² = 784 (cos 300)^o + (i_* 300 sen^o)).

Výpočet záporných mocností

Pro rozdělení dvou komplexních čísel z₁ a z₂ ve své polární formě je modul rozdělen a argumenty jsou odečteny. Kvocient je tedy z₁ ÷ z₂ a vyjadřuje se takto:

z₁ ÷ z₂ = r1 / r2 ([cos (Ɵ₁- Ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ - Ɵ₂)]).

Stejně jako v předchozím případě, pokud chcete vypočítat (z1 ÷ z2) ³ nejprve rozdělení, pak se použije teorém Moivre.

Cvičení 3

Vzhledem k:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

vypočítat (z1 ÷ z2) ³.

Řešení

Na základě výše popsaných kroků lze konstatovat, že:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4)) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2)) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

Odkazy

1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra a trigonometrie s analytickou geometrií. Pearson Education.
2. Croucher, M. (s.f.). Z Moivreovy věty o identitách trig. Wolfram Demonstrations Project.
3. Hazewinkel, M. (2001). Encyklopedie matematiky.
4. Max Peters, W. L. (1972). Algebra a trigonometrie.
5. Pérez, C. D. (2010). Pearson Education.
6. Stanley, G. (s.f.). Lineární algebra Graw-Hill.
7. , M. (1997). Precalculus Pearson Education.