Moivreova věta o tom, co se skládá, demonstrace a vyřešená cvičení



Moivreova věta aplikuje základní procesy algebry, takový jako síly a extrakce kořenů v komplexních číslech. Věta byla vyhlášena renomovaným francouzským matematikem Abrahamem de Moivre (1730), který sdružil komplexní čísla s trigonometrií.

Abraham Moivre učinil toto spojení prostřednictvím výrazů prsu a kosinu. Tento matematik vytvořil jakýsi vzorec, jehož prostřednictvím je možné získat komplexní číslo z na moc n, což je kladné celé číslo větší nebo rovné 1.

Index

  • 1 Co je to Moivreova věta??
  • 2 Demonstrace
    • 2.1 Indukční základna
    • 2.2 Indukční hypotéza
    • 2.3 Kontrola
    • 2.4 Negativní celé číslo
  • 3 Řešené úlohy
    • 3.1 Výpočet pozitivních pravomocí
    • 3.2 Výpočet záporných mocností
  • 4 Odkazy

Co je to Moivreova věta??

Moivreova věta uvádí následující:

Pokud máte komplexní číslo v polární podobě z = rƟ, kde r je modul komplexního čísla z, a úhel Ɵ je nazýván amplitudou nebo argumentem nějakého komplexního čísla s 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, pro výpočet jeho n-té síly nebude nutné jej násobit sám n-krát; to znamená, že není nutné provést následující produkt:

Zn = z * z * z* ... * z = rƟ * rƟ * rƟ * ... * rƟ   n-krát.

Naopak, teorém říká, že když píšeme z v jeho trigonometrickém tvaru, pro výpočet n-té síly, postupujeme následovně:

Pokud z = r (cos Ɵ + i * sin Ɵ) pak zn = rn (cos n * Ɵ + i * sin n * Ɵ).

Například pokud n = 2, pak z2 = r2[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)]. Pokud máte n = 3, pak z3 = z2 * z. Navíc:

z3 = r2[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] * r [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] = r3[cos 3 (Ɵ) + i sin 3 (Ɵ)].

Tímto způsobem mohou být získány trigonometrické poměry sinus a cosine pro násobky úhlu, pokud jsou známy trigonometrické poměry úhlu..

Stejným způsobem může být použit k nalezení přesnějších a méně matoucích výrazů pro n-tý kořen komplexního čísla z, takže zn = 1.

Pro demonstraci Moivreovy věty se používá princip matematické indukce: jestliže celé číslo "a" má vlastnost "P", a pokud pro jakékoliv celé číslo "n" větší než "a", které má vlastnost "P" je to splňuje, že n + 1 má také vlastnost "P", pak všechna celá čísla větší nebo rovna "a" mají vlastnost "P".

Demonstrace

Tímto způsobem se důkaz věty provádí pomocí následujících kroků:

Indukční základna

První kontrola n = 1.

Jako z1 = (r (cos Ɵ + i * sen Ɵ))1 = r1 (cos Ɵ + i * sen Ɵ)1 = r1 [cos (1)* Ɵ) + i * sen (1)* Ɵ)], máme, že pro n = 1 je věta splněna.

Indukční hypotéza

Předpokládá se, že vzorec platí pro některé kladné celé číslo, tj. N = k.

zk = (r (cos Ɵ + i * sen Ɵ))k  = rk (cos k Ɵ + i * sen k Ɵ).

Kontrola

Je prokázáno, že platí pro n = k + 1.

Jako zk + 1= zk * z, potom zk + 1 = (r (cos Ɵ + i * sen Ɵ))k + 1 = rk (cos kƟ + i * sen kƟ) *  r (cos Ɵ + i* senƟ).

Pak se výrazy násobí:

zk + 1 = rk + 1((cos kƟ)*(cosƟ) + (cos kƟ)*(i*senƟ) + (i * sen kƟ)*(cosƟ) + (i sen kƟ)*(i* senƟ)).

Na okamžik je faktor r ignorovánk + 1,  a společný faktor i je odstraněn:

(cos kƟ)*(cosƟ) + i (cos kƟ)*(sinƟ) + i (sen kƟ)*(cosƟ) + i2(sen kƟ)*(senƟ).

Jak jsem2 = -1, nahradíme ji ve výrazu a dostaneme:

(cos kƟ)*(cosƟ) + i (cos kƟ)*(sinƟ) + i (sen kƟ)*(cosƟ) - (sen kƟ)*(senƟ).

Nyní jsou objednány skutečné a imaginární části:

(cos kƟ)*(cosƟ) - (sen kƟ)*(sinƟ) + i [(sen kƟ)*(cosƟ) + (cos kƟ)*(senƟ)].

Pro zjednodušení výrazu se použijí trigonometrické identity součtu úhlů pro kosinus a sinus, které jsou:

cos (A + B) = cos A * cos B - sen A * sen B.

sen (A + B) = sin A * cos B - cos A * cos B.

V tomto případě jsou proměnné úhly Ɵ a kƟ. Při použití trigonometrických identit máme:

cos kƟ * cosƟ -  sen kƟ * senƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sen kƟ * cosƟ + cos kƟ * senƟ = sen (kƟ + Ɵ)

Tímto způsobem zůstane výraz:

zk + 1 = rk + 1 (cos (kƟ + Ɵ) + i * sen (kƟ + Ɵ))

zk + 1 = rk + 1(cos [(k +1) Ɵ] + i * sen [(k +1) Ɵ]).

Lze tedy ukázat, že výsledek platí pro n = k + 1. Podle principu matematické indukce se dospělo k závěru, že výsledek platí pro všechna kladná celá čísla; to znamená n ≥ 1.

Negativní číslo

Moivreova věta je také aplikována když n ≤ 0. Zvažte záporné celé číslo "n"; pak “n” moci být psán jak “-m”, to je, n = -m, kde “m” je kladné celé číslo. Proto:

(cos Ɵ + i * sen Ɵ)n = (cos Ɵ + i * sen Ɵ) -m

Pro získání exponentu "m" pozitivním způsobem je výraz zapsán inverzně:

(cos Ɵ + i * sen Ɵ)n = 1 ÷ (cos Ɵ + i * sen Ɵ) m

(cos Ɵ + i * sen Ɵ)n = 1 ÷ (cos mƟ + i * sen mƟ)

Nyní se používá, že pokud z = a + b * i je komplexní číslo, pak 1 ÷ z = a-b * i. Proto:

(cos Ɵ + i * sen Ɵ)n = cos (mƟ) - i * sen (mƟ).

Pomocí cos (x) = cos (-x) a -sen (x) = sin (-x) musíme:

(cos Ɵ + i * sen Ɵ)n = [cos (mƟ) - i * sen (mƟ)]

(cos Ɵ + i * sen Ɵ)n = cos (- mƟ) + i * sen (-mƟ)

(cos Ɵ + i * sen Ɵ)n = cos (nƟ) - i * sen (nƟ).

Tímto způsobem můžeme říci, že věta platí pro všechny celočíselné hodnoty "n".

Vyřešená cvičení

Výpočet pozitivních pravomocí

Jeden z operací s komplexními čísly v jeho polární formě je násobení mezi dva tito; v takovém případě jsou moduly násobeny a argumenty jsou přidány.

Pokud máte dvě komplexní čísla z1 a z2 a chcete vypočítat (z1* z2)2, Pak postupujeme následovně:

z1z2 = [r1 (cos Ɵ1 + i * sen Ɵ1)] * [r2 (cos Ɵ2 + i * sen Ɵ2)]

Je použita distribuční vlastnost:

z1z2 = r1 r2 (cos Ɵ1 * cos Ɵ2 + i * cos Ɵ1 * i * sen Ɵ2 + i * sen Ɵ1 * cos Ɵ2 + i2* sen Ɵ1 * sen Ɵ2).

Oni jsou seskupeni, přičemž termín "i" jako společný faktor výrazů:

z1z2 = r1 r2 [cos Ɵ1 * cos Ɵ2 + i (cos Ɵ1 * sen Ɵ2 + sen Ɵ1 * cos Ɵ2) + i2* sen Ɵ1 * sen Ɵ2]

Jak jsem2 = -1, je nahrazen výrazem:

z1z2 = r1 r2 [cos Ɵ1 * cos Ɵ2 + i (cos Ɵ1 * sen Ɵ2 + sen Ɵ1 * cos Ɵ2) - sen Ɵ1 * sen Ɵ2]

Reálné termíny jsou přeskupeny s reálným a imaginárním s imaginárním:

z1z2 = r1 r2 [(cos Ɵ1 * cos Ɵ2 - sen Ɵ1 * sen Ɵ2) + i (cos Ɵ1 * sen Ɵ2 + sen Ɵ1 * cos Ɵ2)]

Nakonec se použijí goniometrické vlastnosti:

z1z2 = r1 r2 [cos (Ɵ1 + Ɵ2) + i sen (Ɵ1 + Ɵ2)].

Závěrem:

(z1* z2)2= (r1 r2 [cos (Ɵ1 + Ɵ2) + i sen (Ɵ1 + Ɵ2)])2

= R12r22[cos 2 * (Ɵ1 + Ɵ2) + i sen 2 * (Ɵ1 + Ɵ2)].

Cvičení 1

Zapište komplexní číslo v polárním tvaru, pokud z = - 2 -2i. Pak, používat Moivre teorém, vypočítat z4.

Řešení

Komplexní číslo z = -2 -2i je vyjádřeno v pravoúhlé formě z = a + bi, kde:

a = -2.

b = -2.

Víme, že polární forma je z = r (cos Ɵ + i * sin Ɵ), musíte určit hodnotu modulu "r" a hodnotu argumentu "Ɵ". Jako r = √ (a² + b²) jsou dané hodnoty nahrazeny:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Pro určení hodnoty "Ɵ" se použije obdélníková forma, která je dána vzorcem:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Jako tan (Ɵ) = 1 a musíte<0, entonces se tiene que:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Protože hodnota "r" a "Ɵ" byla již získána, může být komplexní číslo z = -2 -2i vyjádřeno v polární formě nahrazením hodnot:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i * sen (5Π / 4)).

Pro výpočet z se používá teorém Moivre4:

z4= 2√2 (cos (5Π / 4) + i * sen (5Π / 4))4

= 32 (cos (5Π) + i * sen (5Π)).

Cvičení 2

Najděte produkt komplexních čísel jeho vyjádřením v polární podobě:

z1 = 4 (cos 50o + i* 50 seno)

z2 = 7 (cos 100o + i* 100 seno).

Pak se vypočte (z1 * z2) ².

Řešení

Nejprve se vytvoří součin daného čísla:

z1 z2 = [4 (cos 50o + i* 50 seno)] [7 (cos 100o + i* 100 seno)]

Pak násobte moduly dohromady a přidejte argumenty:

z1 z2 = (4) * 7)* [cos (50)o + 100o) + i* sen (50. \ to + 100o)]

Výraz je zjednodušený:

z1 z2 = 28 * (cos 150o + (i* 150 seno).

Konečně, Moivre teorém je aplikován: \ t

(z1 * z2) ² = (28) * (cos 150o + (i* 150 seno)) ² = 784 (cos 300)o + (i* 300 seno)).

Výpočet záporných mocností

Pro rozdělení dvou komplexních čísel z1 a z2 ve své polární formě je modul rozdělen a argumenty jsou odečteny. Kvocient je tedy z1 ÷ z2 a vyjadřuje se takto:

z1 ÷ z2 = r1 / r2 ([cos (Ɵ1- Ɵ2) + i sen (Ɵ1 - Ɵ2)]).

Stejně jako v předchozím případě, pokud chcete vypočítat (z1 ÷ z2) ³ nejprve rozdělení, pak se použije teorém Moivre.

Cvičení 3

Vzhledem k:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

vypočítat (z1 ÷ z2) ³.

Řešení

Na základě výše popsaných kroků lze konstatovat, že:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4)) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2)) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

Odkazy

  1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra a trigonometrie s analytickou geometrií. Pearson Education.
  2. Croucher, M. (s.f.). Z Moivreovy věty o identitách trig. Wolfram Demonstrations Project.
  3. Hazewinkel, M. (2001). Encyklopedie matematiky.
  4. Max Peters, W. L. (1972). Algebra a trigonometrie.
  5. Pérez, C. D. (2010). Pearson Education.
  6. Stanley, G. (s.f.). Lineární algebra Graw-Hill.
  7. , M. (1997). Precalculus Pearson Education.