Euklidovy teorémy, Demonstrace, Aplikace a Cvičení

Euclidova věta demonstruje vlastnosti pravoúhlého trojúhelníku nakreslením čáry, která jej rozděluje na dva nové pravoúhlé trojúhelníky, které jsou si navzájem podobné a zase jsou podobné původnímu trojúhelníku; pak existuje vztah proporcionality.

Euclid byl jeden z největších matematiků a geometrů dávného věku, který dělal několik demonstrací důležitých vět. Jedním z hlavních je ten, který nese jeho jméno, které má široké uplatnění.

Tak tomu bylo proto, že prostřednictvím této věty jednoduchým způsobem vysvětluje geometrické vztahy existující v pravoúhlém trojúhelníku, kde tyto nohy souvisejí s jejich projekcemi v přepětí..

Index

• 1 Vzorce a demonstrace
  • 1.1 Věta o výšce
  • 1.2 Věta o nohách
• 2 Vztah mezi Euclidovými teorémy
• 3 Řešené úlohy
  • 3.1 Příklad 1
  • 3.2 Příklad 2
• 4 Odkazy

Vzorce a demonstrace

Euclidova věta navrhuje, aby v každém pravoúhlém trojúhelníku, když je nakreslena čára, která představuje výšku odpovídající vrcholu pravého úhlu vzhledem k hypotéze, byly vytvořeny dva pravé trojúhelníky z originálu..

Tyto trojúhelníky budou navzájem podobné a budou také podobné původnímu trojúhelníku, což znamená, že jejich podobné strany jsou vzájemně úměrné:

Úhly tří trojúhelníků jsou shodné; to znamená, že když je otočen o 180 stupňů na svém vrcholu, úhel se shoduje na druhém. To znamená, že každý bude stejný.

Tímto způsobem můžete také ověřit podobnost, která existuje mezi třemi trojúhelníky, rovností jejich úhlů. Od podobnosti trojúhelníků, Euclid stanoví proporce těchto od dvou vět: \ t

- Výška věta.

- Věta o nohách.

Tato věta má široké uplatnění. Ve starověku byl použit k výpočtu výšek nebo vzdáleností, což představuje velký pokrok pro trigonometrii.

To je současně aplikováno v několika oblastech, které jsou založené na matematice, takový jako inženýrství, fyzika, chemie a astronomie, mezi mnoho jiných oblastí \ t.

Výška věta

Tato věta říká, že v každém pravoúhlém trojúhelníku, výška nakreslená od pravého úhlu s úctou k preponce je geometrický proporcionální průměr (čtverec výšky) mezi projekcemi noh, které určují hypotézu.

To znamená, že čtverec výšky bude roven násobení promítaných nohou, které tvoří hypotézu:

h_c² = m _* n

Demonstrace

Vzhledem k tomu, trojúhelník ABC, což je obdélník na vrcholu C, při vykreslování výšky dva podobné pravé trojúhelníky, ADC a BCD, jsou generovány; proto jsou jejich odpovídající strany úměrné:

Tak, že výška h_c odpovídá segmentu CD, odpovídá hypotéze AB = c, takže musíme:

To odpovídá:

Vymazání přepětí (h_c), aby bylo možné násobit dva členy rovnosti, musíte:

h_{c *} h_{c =} m _* n

h_c² = m _* n

Hodnota odlivu je tedy dána:

Věta o nohách

Tato věta uvádí, že v každém pravoúhlém trojúhelníku bude míra každé nohy geometrickým proporcionálním středem (čtverec každé nohy) mezi měřením propustky (úplného) a promítáním každé z nich:

b² = c _* m

a² = c_* n

Demonstrace

Vzhledem k tomu, trojúhelník ABC, což je obdélník na vrcholu C, tak, že jeho přepona je c, při zobrazení výšky (h) projekce ramen a a b, které jsou segmenty m a n, resp. odlivu.

Proto máme, že výška nakreslená na pravém trojúhelníku ABC generuje dva podobné pravé trojúhelníky, ADC a BCD, takže odpovídající strany jsou proporcionální, jako je tento:

DB = n, což je projekce končetiny CB na přepážce.

AD = m, což je projekce katétru AC na odtok.

Pak je předpona c určena součtem úhlů jeho projekcí:

c = m + n

Vzhledem k podobnosti trojúhelníků ADC a BCD musíme:

Výše uvedené je stejné jako:

Vymazáním nohy „a“ ​​pro násobení dvou členů rovnosti je třeba:

a _* a = c _* n

a² = c _* n

Hodnota nohy "a" je tedy dána vztahem:

Podobně podobností trojúhelníků ACB a ADC musíme:

Výše uvedené se rovná:

Vymazáním nohy „b“ pro násobení dvou členů rovnosti je třeba:

b _* b = c _* m

b² = c _* m

Hodnota nohy "b" je tedy dána vztahem:

Vztah mezi Euclidovými teorémy

Věty s odkazem na výšku a nohy jsou si navzájem příbuzné, protože míra obou je provedena s ohledem na přepětí pravého trojúhelníku..

Prostřednictvím vztahu Euclidových teorémů lze také nalézt hodnotu výšky; to je možné vynulováním hodnot m a n od věty o noze a jsou nahrazeny ve větě výšky. Tímto způsobem se výška rovná násobení končetin, děleným přepážkou:

b² = c _* m

m = b² C. C

a² = c _* n

n = a² C. C

Ve věty výšky, m a n být nahrazen: \ t

h_c² = m _* n

h_c² = (b² ÷ c) _* (a² ÷ c)

h_c = (b²_* a²) ÷ c

Vyřešená cvičení

Příklad 1

Vzhledem k trojúhelníku ABC, obdélníku v A, určete míru AC a AD, pokud AB = 30 cm a BD = 18 cm

Řešení

V tomto případě máme měření jedné z promítaných nohou (BD) a jedné z nohou původního trojúhelníku (AB). Tímto způsobem můžete použít teorém nohou k nalezení hodnoty nohy BC.

AB² = BD _* BC

(30)² = 18 _* BC

900 = 18 _* BC

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

Hodnotu CD cathetus lze zjistit s vědomím, že BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Nyní je možné určit hodnotu katétru AC, opět aplikovat teorém nohou:

AC² = CD _* BD

AC² = 32 _* 50

AC² = 160

AC = 001600 = 40 cm

Pro určení hodnoty výšky (AD) se použije věta o výšce, protože hodnoty promítaných nohou CD a BD jsou známy:

AD² = 32 _* 18

AD² = 576

AD = 76576

AD = 24 cm

Příklad 2

Určete hodnotu výšky (h) trojúhelníku MNL, obdélníku v N, s vědomím měření segmentů:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

Řešení

Měříte jednu z nohou promítanou na přepážku (PM), stejně jako měření nohou původního trojúhelníku. Tímto způsobem lze použít teorém nohou k nalezení hodnoty druhé promítané nohy (LN):

NL² = PM _* LM

(10)² = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Jak již známe hodnotu nohou a přeponu, pomocí vztahu věty o výšce a nohou lze určit hodnotu výšky:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b²_* a²) ÷ c.

h = (10)²_* 5²)  ÷ (20)

h = (100%) _* 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 cm.

Odkazy

1. Braun, E. (2011). Chaos, fraktály a podivné věci. Fondu hospodářské kultury.
2. Cabrera, V. M. (1974). Moderní matematika, svazek 3.
3. Daniel Hernandez, D. P. (2014). 3. ročník matematiky Caracas: Santillana.
4. Encyclopaedia Britannica, i. (1995). Hispánská encyklopedie: Macropedia. Encyklopedie Britannica vydavatelé.
5. Euclid, R. P. (1886). Euclidovy prvky geometrie.
6. Guardeño, A. J. (2000). Dědictví matematiky: od Euclida po Newtona, géniové skrze jeho knihy. Univerzita v Seville.