Chebyshovova věta Co to sestává z, aplikace a příklady



Chebyshovův teorém (Nebo nerovnost Chebyshev) je jedním z nejdůležitějších klasických výsledků teorie pravděpodobnosti. Odhaduje pravděpodobnost události popsané, pokud jde o náhodné veličiny X a poskytuje nám s rozměrem, který nezávisí na rozdělení náhodné veličiny, ale rozptylu X..

Věta je pojmenován po ruském matematikovi Chebyshev Pafnuty (psáno také jako Chebychev nebo Tchebycheff), který, přestože se nejedná o první vyslovovat tuto větu, byl prvním, kdo napíše demonstraci v roce 1867.

Tato nerovnost, nebo ta, která se svými vlastnostmi nazývá Chebyshovova nerovnost, se používá především k přiblížení pravděpodobností pomocí výpočtu rozměrů.

Index

  • 1 Z čeho se skládá??
  • 2 Aplikace a příklady
    • 2.1 Pravděpodobnosti ohraničení
    • 2.2 Demonstrace mezních vět
    • 2.3 Velikost vzorku
  • 3 Nerovnosti typu Chebyshov
  • 4 Odkazy

Z čeho se skládá??

Ve studii teorie pravděpodobnosti se stává, že pokud známe distribuční funkci náhodné proměnné X, můžeme vypočítat její očekávanou hodnotu - nebo matematické očekávání E (X) - a její rozptyl Var (X), tak dlouho jako uvedené částky existují. Reciproční však není nutně pravdivá.

To znamená, že věděl, E (X) a var (x) nemusí nutně získat distribuční funkci X, takže množství P (| X |> k) pro nějaké k> 0, je velmi obtížné získat. Ale díky Čebyševova nerovnost je možné odhadnout pravděpodobnost náhodné veličiny.

Chebyshovův teorém nám říká, že pokud máme náhodnou veličinu X nad vzorkovacím prostorem S s pravděpodobnostní funkcí p, a pokud k> 0, pak:

Aplikace a příklady

Mezi mnoha aplikacemi, které má Chebyshovův teorém, lze zmínit:

Vazba pravděpodobností

Toto je nejvíce obyčejná aplikace a je používán dát horní hranici pro P (| X-E (X) | ≥k) kde k> 0, jediný s rozptylem a očekávání náhodné proměnné X, bez znát pravděpodobnostní funkci.

Příklad 1

Předpokládejme, že počet výrobků vyráběných ve společnosti během týdne je náhodná veličina s průměrem 50.

Pokud víme, že rozptyl týdne výroby je roven 25, pak můžeme říci o pravděpodobnosti, že se produkce v tomto týdnu bude lišit o více než 10 z průměru.?

Řešení

Uplatnění nerovnosti Chebyshov musíme:

Z toho můžeme získat, že pravděpodobnost, že v týdnu výroby počet článků překročí více než 10 na průměr, je nejvýše 1/4.

Demonstrace mezních vět

Nerovnost Chebyshov hraje důležitou roli v demonstraci nejdůležitějších limitních vět. Jako příklad máme následující:

Slabý zákon velkých čísel

Tento zákon stanoví, že daný posloupnost X1, X2, ..., Xn, ... nezávislých náhodných veličin se stejnou průměrnou distribucí E (Xi) = μ a rozptyl Var (X) = σ2, a známého průměrného vzorku:

Pak pro k> 0 musíte:

Nebo:

Demonstrace

Nejdříve si povšimneme:

Protože X1, X2, ..., Xn jsou nezávislé, znamená to, že:

Proto je možné potvrdit následující:

Pak musíme pomocí Chebyshovovy věty:

Konečně, věta vyplývá ze skutečnosti, že limit napravo je nula když n inklinuje k nekonečnu.

Je třeba poznamenat, že tento test byl proveden pouze pro případ, ve kterém rozptyl Xi existuje; tj nelišila. Vidíme tedy, že věta je vždy platí, pokud existuje, E (Xi).

Chebyshovova věta o limitu

Jestliže X1, X2, ..., Xn, ... je posloupnost nezávislých náhodných proměnných tak, že existuje nějaká C< infinito, tal que Var(Xn) ≤ C para todo n natural, entonces para cualquier k>0:

Demonstrace

Jelikož posloupnost rozptylu je jednotně ohraničena, máme Var (Sn) ≤ C / n, pro všechny přírodní n. Ale víme, že:

Tím, že n inklinuje k nekonečnu, následující výsledky: \ t

Protože pravděpodobnost nemůže překročit hodnotu 1, získá se požadovaný výsledek. V důsledku této věty bychom mohli zmínit konkrétní případ Bernoulliho.

Pokud se experiment opakuje n krát nezávisle se dvěma možnými výsledky (neúspěch a úspěch), kde p je pravděpodobnost úspěchu v každém experimentu a X je náhodná proměnná představující počet dosažených úspěchů, pak pro každé k> 0 musíte:

Velikost vzorku

Co se týče rozptylu, Chebyshovova nerovnost nám umožňuje najít velikost vzorku n, která je dostatečná k tomu, aby se zajistilo, že pravděpodobnost, že | Sn-μ |> = k nastane, je tak malá, jak je požadováno, což nám umožňuje mít aproximaci průměr.

Přesně řečeno, nechť X1, X2, ... Xn je vzorek nezávislých náhodných veličin velikosti n a předpokládejme, že E (Xi) = μ a jeho rozptyl σ2. Následkem Chebyshovovy nerovnosti musíme:

Příklad

Předpokládejme, že X1, X2, ... Xn jsou ukázkou nezávislých náhodných veličin s distribucí Bernoulli, takže mají hodnotu 1 s pravděpodobností p = 0,5..

Jaká by měla být velikost vzorku, aby bylo možné zaručit, že pravděpodobnost, že rozdíl mezi aritmetickým středem Sn a jeho očekávanou hodnotou (vyšší než 0,1) je menší nebo rovna 0,01.?

Řešení

Máme, že E (X) = μ = p = 0,5 a že Var (X) = σ2= p (1-p) = 0,25. Pro nerovnost Chebyshov, pro k> 0 musíme:

Nyní, vezmeme-li k = 0,1 a δ = 0,01, musíme:

Tímto způsobem se dospělo k závěru, že k zajištění pravděpodobnosti události | Sn - 0,5 |> = 0,1 je menší než 0,01 velikost vzorku nejméně 2500..

Nerovnosti typu Chebyshov

Tam jsou různé nerovnosti příbuzné nerovnosti Chebyshov. Jedním z nejznámějších je Markovova nerovnost:

V tomto výrazu X je nezáporná náhodná veličina s k, r> 0.

Markovská nerovnost může mít různé podoby. Například, nechť Y je nonnegative náhodná proměnná (tak P (Y> = 0) = 1) a předpokládat, že E (Y) = μ existuje. Předpokládejme také, že (E (Y))r= μr existuje pro některé celé číslo r> 1. Pak:

Jiná nerovnost je to Gauss, který řekne nám to daný unimodal náhodná proměnná X s režimem u nuly, pak pro k> 0 \ t,

Odkazy

  1. Kai Lai Chung Elementární teorie pravděpodobnosti se stochastickými procesy. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Rosen, diskrétní matematika a její aplikace. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Pravděpodobnost a statistické aplikace. S.A. MEXIKO ALHAMBRA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Diskrétní matematické problémy. McGRAW-HILL.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teorie a problémy pravděpodobnosti. McGRAW-HILL.