Podíl:
Bolzanova věta Vysvětlení, aplikace a cvičení vyřešeny
Bolzanova věta stanoví, že pokud je funkce spojitá ve všech bodech uzavřeného intervalu [a, b] a je přesvědčena, že obraz "a" a "b" (pod funkcí) má opačné znaky, pak bude alespoň jeden bod "C" v otevřeném intervalu (a, b), takže funkce vyhodnocená v "c" bude rovna 0.
Tato věta byla vyložena filosofem, teologem a matematikem Bernardem Bolzanem v roce 1850. Tento vědec, narozený v dnešní České republice, byl jedním z prvních matematiků v historii, aby formálně demonstroval vlastnosti spojitých funkcí..
Index
- 1 Vysvětlení
- 2 Demonstrace
- 3 Na co to je??
- 4 Řešené úlohy
- 4.1 Cvičení 1
- 4.2 Cvičení 2
- 5 Odkazy
Vysvětlení
Bolzanova věta je také známa jako mezilehlá věta o hodnotách, která pomáhá při určování specifických hodnot, zejména nul, určitých reálných funkcí reálné proměnné.
V dané funkci f (x) pokračuje - to znamená, že f (a) a f (b) jsou spojeny křivkou, kde f (a) je pod osou x (je záporná) a f (b) je nad osou x (je kladná), nebo naopak, graficky bude na ose x bod řezu, který bude představovat mezilehlou hodnotu "c", která bude mezi "a" a "b" a hodnotou f (c) bude rovna 0.
Grafickou analýzou Bolzanovy věty můžeme vědět, že pro každou funkci f spojitou definovanou v intervalu [a, b], kde f (a)*f (b) je menší než 0, v intervalu (a, b) bude alespoň jeden kořen "c" této funkce.
Tato věta nestanoví počet bodů existujících v tomto otevřeném intervalu, pouze uvádí, že existuje alespoň 1 bod.
Demonstrace
Pro prokázání Bolzanovy věty se předpokládá, že bez ztráty obecnosti platí f (a) < 0 y f(b) > 0; tímto způsobem může existovat mnoho hodnot mezi "a" a "b", pro které f (x) = 0, ale stačí ukázat, že existuje jedna.
Začněte vyhodnocením f ve středu (a + b) / 2. Jestliže f ((a + b) / 2) = 0, test zde končí; jinak, pak f ((+ + b) / 2) je kladné nebo záporné.
Jedna z polovin intervalu [a, b] je zvolena tak, že znaky funkce vyhodnocené na koncích jsou odlišné. Tento nový interval bude [a1, b1].
Pokud tedy f hodnocené ve středu [a1, b1] není nula, pak se provede stejná operace jako dříve; to znamená, že je vybrána polovina tohoto intervalu, která splňuje podmínky značek. Být tento nový interval [a2, b2].
Pokud bude tento proces pokračovat, budou vzaty dvě následnictví an a bn, takže:
a se zvyšuje a bn se snižuje:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ a ≤ .... ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
Pokud vypočítáte délku každého intervalu [ai, bi], budete muset:
b1-al = (b-a) / 2.
b2-a2 = (b-a) / 2².
... .
bn-an = (b-a) / 2 ^ n.
Proto, když n inklinuje k nekonečnu (bn-an) je limit 0.
Použitím tohoto a se zvětšuje a ohraničuje a bn se snižuje a ohraničuje, musí existovat hodnota "c" taková, že:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ a ≤ .... Limit a je "c" a limit bn je také "c". Proto, daný nějaká δ> 0, tam je vždy “n” takový že interval [an, bn] je obsažen uvnitř intervalu (c-δ, c + δ) \ t. Nyní musí být ukázáno, že f (c) = 0. Jestliže f (c)> 0, pak protože f je spojitý, existuje ε> 0 tak, že f je kladné v celém intervalu (c-ε, c + ε). Nicméně, jak je uvedeno výše, existuje hodnota "n" tak, že f změny se zapisují do [an, bn] a navíc [a, bn] je obsažena v (c-ε, c + ε), co je rozpor. Pokud f (c) < 0, entonces como f es continua, existe un ε >0 tak, že f je negativní v celém intervalu (c-ε, c + ε); ale tam existuje hodnota “n” takový že f změny se přihlásí [an, bn]. Ukazuje se, že [a, bn] je obsaženo uvnitř (c-ε, c + ε), což je také rozpor. Proto f (c) = 0 a toto jsme chtěli ukázat. Od jeho grafické interpretace, Bolzano teorém je používán najít kořeny nebo nuly ve spojité funkci, přes bisection (aproximace), který je inkrementální vyhledávací metoda, která vždy rozdělí intervaly do 2.. Pak vezměte interval [a, c] nebo [c, b], kde dojde ke změně znaménka, a proces opakujte, dokud nebude interval menší a menší, takže se můžete přiblížit požadované hodnotě; to je hodnota, kterou funkce činí 0. Souhrnně řečeno, aplikovat Bolzanovu teorém a tak najít kořeny, vymezit nuly funkce nebo poskytnout řešení rovnice, jsou provedeny následující kroky: - Je ověřeno, zda f je spojitá funkce v intervalu [a, b]. - Pokud interval není uveden, je třeba zjistit, kde je funkce spojitá. - Je ověřeno, zda extrémy intervalu dávají opačné znaky, když jsou vyhodnoceny ve f. - Pokud opačné znaky nejsou získány, interval by měl být rozdělen do dvou subintervalů pomocí středního bodu. - Vyhodnoťte funkci ve středu a ověřte, zda je splněna Bolzanova hypotéza, kde f (a) * f (b) < 0. - V závislosti na znaménku (kladném nebo záporném) nalezené hodnoty se proces opakuje s novým subintervalem, dokud není splněna uvedená hypotéza.. Určete, zda funkce f (x) = x2 - 2, má alespoň jedno reálné řešení v intervalu [1,2]. Máme funkci f (x) = x2 - 2. Protože se jedná o polynom, znamená to, že je spojitý v jakémkoliv intervalu. Budete požádáni, abyste určili, zda máte v intervalu [1, 2] reálné řešení, takže nyní musíte pouze nahradit konce intervalu ve funkci, abyste znali jejich znaménko a věděli, zda splňují podmínku odlišnosti: f (x) = x2 - 2 f (1) = 12 - 2 = -1 (negativní) f (2) = 22 - 2 = 2 (pozitivní) Znaménko f (1) ≠ znaménko f (2). To zajišťuje, že existuje alespoň jeden bod "c", který patří do intervalu [1,2], kde f (c) = 0. V tomto případě lze hodnotu "c" snadno vypočítat následovně: x2 - 2 = 0 x = ± √2. Interval2 ≈ 1,4 tedy patří k intervalu [1,2] a splňuje, že f (√2) = 0. Prokázat, že rovnice x5 + x + 1 = 0 má alespoň jedno reálné řešení. Nejdříve si všimněte, že f (x) = x5 + x + 1 je polynomiální funkce, což znamená, že je spojitá ve všech reálných číslech. V tomto případě není uveden žádný interval, takže hodnoty by měly být vybrány intuitivně, nejlépe blízko 0, pro vyhodnocení funkce a nalezení změn znaménka: Pokud použijete interval [0, 1], musíte: f (x) = x5 + x + 1. f (0) = 05 + 0 + 1 = 1> 0. f (1) = 15 + 1 + 1 = 3> 0. Jelikož nedochází ke změně znaku, proces se opakuje s jiným intervalem. Pokud použijete interval [-1, 0], musíte: f (x) = x5 + x + 1. f (-1) = (-1)5 + (-1) + 1 = -1 < 0. f (0) = 05 + 0 + 1 = 1> 0. V tomto intervalu je změna znaménka: znak f (-1) ≠ znak f (0), což znamená, že funkce f (x) = x5 + x + 1 má alespoň jeden skutečný kořen "c" v intervalu [-1, 0], takže f (c) = 0. Jinými slovy, je pravda, že x5 + x + 1 = 0 má reálné řešení v intervalu [-1,0].Na co to je??
Vyřešená cvičení
Cvičení 1
Řešení
Cvičení 2
Řešení
Odkazy