Bernoulliho věta Bernoulliho rovnice, aplikace a řešené cvičení

Bernoulliho teorém, který popisuje chování tekutiny v pohybu, byl vyjádřen matematikem a fyzikem Danielem Bernoulli ve své práci Hydrodynamika. Podle principu bude ideální tekutina (bez tření nebo viskozity), která je v oběhu uzavřeným potrubím, mít ve své dráze konstantní energii.

Věta může být odvozena z principu zachování energie a dokonce z Newtonova druhého zákona pohybu. Kromě toho, Bernoulliho princip také uvádí, že zvýšení rychlosti tekutiny znamená snížení tlaku, kterému je vystaven, snížení jeho potenciální energie nebo obojí současně..

Věta má mnoho různých aplikací, a to jak s ohledem na svět vědy, tak na každodenní život lidí.

Jeho důsledky jsou přítomny v síle letadel, v komínech domů a průmyslových odvětvích, ve vodovodech, mimo jiné.

Index

• 1 Bernoulliho rovnice
  • 1.1 Zjednodušený formulář
• 2 Aplikace
• 3 Řešené cvičení
• 4 Odkazy

Bernoulliho rovnice

Ačkoli Bernoulli byl ten kdo odvodil, že tlak se sníží, když rychlost proudění se zvětší, pravdou je že to byl Leonhard Euler kdo vlastně vyvinul Bernoulli rovnici v cestě to je současně známé..

Bernoulliho rovnice, která není ničím jiným než matematickým vyjádřením jeho věty, je v každém případě následující:

v² ∙ ƿ / 2 + P + ƿ ∙ g ∙ z = konstanta

V tomto výrazu je v rychlost proudění tekutiny v uvažovaném úseku, ƿ je hustota tekutiny, P je tlak tekutiny, g je hodnota gravitačního zrychlení a z je výška měřená ve směru gravitace.

V Bernoulli rovnici, to je implicitní, že energie tekutiny sestává ze tří komponent: \ t

- Kinetická složka, která je výsledkem rychlosti, kterou se tekutina pohybuje.

- Potenciální nebo gravitační složka, která je způsobena výškou, ve které je tekutina umístěna.

- Tlaková energie, kterou tekutina vlastní v důsledku tlaku, kterému je vystavena.

Na druhé straně, Bernoulliho rovnice může být také vyjádřena takto:

v₁² ∙ ƿ / 2 + P₁ + ƿ ∙ g ∙ z₁ = v₂² ∙ ƿ / 2 + P₂ + ƿ ∙ g ∙ z₂

Tento poslední výraz je velmi praktický pro analýzu změn, které tekutina zažívá, když se změní jeden z prvků, které tvoří rovnici.

Zjednodušená forma

Při určitých příležitostech je změna termínu ρgz Bernoulliho rovnice minimální ve srovnání s ostatními podmínkami, takže je možné ji zanedbávat. To se například děje ve proudech, které letadlo zažívá v letu.

Při těchto příležitostech je Bernoulliho rovnice vyjádřena takto:

P + q = P₀

V tomto výrazu q je dynamický tlak a rovná se v ² ∙ ƿ / 2 a P₀ je to, co se nazývá celkový tlak a je součtem statického tlaku P a dynamického tlaku q.

Aplikace

Bernoulliho věta má mnoho a různorodých aplikací v takových oblastech, jako je věda, strojírenství, sport atd..

Zajímavá aplikace se nachází v konstrukci komínů. Komíny jsou postaveny vysoko, aby se dosáhlo většího tlakového rozdílu mezi základnou a výstupem komína, díky čemuž je snazší extrahovat spaliny..

Samozřejmě, Bernoulliho rovnice platí také pro studium pohybu tekutin v potrubí. Z rovnice vyplývá, že redukce příčného povrchu trubky, aby se zvýšila rychlost tekutiny, která jím prochází, také znamená snížení tlaku..

Rovnice Bernoulli je také používána v letectví a ve vozidlech Formule 1. V případě letectví je efekt Bernoulli původem podpory letadel.

Křídla letadla jsou navržena s cílem dosáhnout většího proudění vzduchu v horní části křídla.

V horní části křídla je tedy rychlost vzduchu vysoká a tudíž nižší tlak. Tento rozdíl v tlaku vytváří sílu namířenou svisle vzhůru (zvedací síla), která umožňuje letadlu držet se ve vzduchu. Podobný efekt je dosažen u křidélek automobilů Formule 1. \ t.

Určené cvičení

Přes trubku o průřezu 4,2 cm² proud vody proudí při 5,18 m / s. Voda klesá z výšky 9,66 m na nižší úroveň s výškou nula, zatímco příčná plocha trubky se zvětší na 7,6 cm.².

a) Vypočítejte rychlost průtoku vody na nižší úrovni.

b) Stanovte tlak v nižší úrovni s vědomím, že tlak v horní úrovni je 152000 Pa.

Řešení

a) Jelikož tok musí být zachován, je splněno, že:

Q_{nejvyšší úrovni} = Q_{nižší úroveň}

 v₁ . S₁ = v₂ . S₂

 5,18 m / s. 4,2 cm² = v₂ . 7,6 cm ^²

Zúčtování, že:

v₂ = 2,86 m / s

b) Uplatnění Bernoulliho věty mezi oběma úrovněmi a s ohledem na to, že hustota vody je 1000 kg / m³ , dostanete, že:

v₁² ∙ ƿ / 2 + P₁ + ƿ ∙ g ∙ z₁ = v₂² ∙ ƿ / 2 + P₂ + ƿ ∙ g ∙ z₂

(1/2). 1000 kg / m³ . (5,18 m / s)² + 152000 + 1000 kg / m³ . 10 m / s² . 9,66 m =

= (1/2). 1000 kg / m³ . (2,86 m / s)² + P₂ + 1000 kg / m³ . 10 m / s² . 0 m

Vymazání P₂ dostanete se do:

P₂ = 257926,4 Pa

Odkazy

1. Bernoulliho princip. (n.d.). Ve Wikipedii. Získáno 12. května 2018, z es.wikipedia.org.
2. Bernoulliho princip. (n.d.). Ve Wikipedii. Získáno 12. května 2018, z en.wikipedia.org.
3. Batchelor, G.K. (1967). Úvod do dynamiky tekutin. Cambridge University Press.
4. Lamb, H. (1993). Hydrodynamika (6. vydání). Cambridge University Press.
5. Mott, Robert (1996). Mechanika aplikovaných kapalin (4. vydání). Mexiko: Pearsonovo vzdělávání.