Bayesova věta o vysvětlení, aplikace, cvičení



Bayesova věta je postup, který nám umožňuje vyjádřit podmíněnou pravděpodobnost náhodné události A dané B, z hlediska rozdělení pravděpodobnosti události B dané A a rozdělení pravděpodobnosti pouze A.

Tato věta je velmi užitečná, protože díky ní můžeme spojit pravděpodobnost, že událost A nastane s vědomím, že B nastala, s pravděpodobností, že nastane opak, to znamená, že B nastane daná A.

Bayesův teorém byl stříbrným návrhem reverenda Thomase Bayese, anglického teologa osmnáctého století, který byl také matematikem. On byl autor několika prací v teologii, ale je současně známý pro pár matematických pojednání, mezi kterého výše zmíněný Bayes teorém vyniká jako hlavní výsledek..

Bayes se zabýval touto větou v dokumentu nazvaném "Esej k řešení problému v doktríně šancí", publikovaný v roce 1763, a na kterém byla vyvinuta velká díla k řešení problému v doktríně možností. Studium s aplikacemi v různých oblastech znalostí.

Index

  • 1 Vysvětlení
  • 2 Aplikace Bayesovy věty
    • 2.1 Vyřešená cvičení
  • 3 Odkazy

Vysvětlení

Za prvé, pro další pochopení této věty, jsou nezbytné některé základní pojmy teorie pravděpodobnosti, zejména multiplikační věta o podmíněné pravděpodobnosti, která uvádí, že

Pro E a A libovolné události vzorkovacího prostoru S.

A definice oddílů, která nám říká, že pokud máme A1 ,A2,..., An události vzorového prostoru S, budou tvořit oddíl S, pokud Ai vzájemně se vylučují a jejich unie je S.

S tímto nechť B je další událost. Pak můžeme vidět B jako

Kde je Ai s B jsou vzájemně se vylučující události.

A následně,

Pak aplikujeme multiplikační teorém

Na druhé straně, podmíněná pravděpodobnost Ai daný B je definován

Substituce adekvátně musíme pro všechny i

Aplikace Bayesovy věty

Díky tomuto výsledku se výzkumným skupinám a různým korporacím podařilo zlepšit systémy založené na znalostech.

Například, ve studii nemocí, Bayesův teorém může pomoci rozpoznat pravděpodobnost, že nemoc bude nalezená ve skupině lidí s danou charakteristikou, brát jako data globální míry nemoci a převaha zmíněných charakteristik v lidé jsou zdraví i nemocní.

Na druhé straně ve světě špičkových technologií ovlivnil velké společnosti, které díky tomuto výsledku vyvinuly software „Based on Knowledge“..

Jako každodenní příklad máme asistenta Microsoft Office. Bayesova věta pomáhá softwaru posoudit problémy, které uživatel prezentuje, a určit, jaké rady poskytnout, a tak být schopen nabídnout lepší služby podle zvyklostí uživatele..

Je třeba poznamenat, že tento vzorec byl až do nedávné doby ignorován, což je dáno především tím, že když byl tento výsledek vyvinut před 200 lety, bylo pro ně málo praktické využití. V naší době však vědci díky velkému technologickému pokroku dosáhli způsobů, jak tento výsledek uvést do praxe.

Vyřešená cvičení

Cvičení 1

Buněčná společnost má dva stroje A a B. 54% vyrobených mobilních telefonů je vyrobeno strojem A a zbytek strojem B. Ne všechny vyráběné mobilní telefony jsou v dobrém stavu.

Podíl vadných mobilních telefonů A je 0,2 a B je 0,5. Jaká je pravděpodobnost, že mobilní telefon uvedené továrny je vadný? Jaká je pravděpodobnost, že s vědomím, že mobilní telefon je vadný, pochází ze stroje A?

Řešení

Zde máte experiment, který se provádí ve dvou částech; v první části dochází k událostem:

A: mobilní telefon vyrobený strojem A.

B: mobilní telefon vyrobený strojem B.

Protože stroj A vyrábí 54% mobilních telefonů a zbytek je vyráběn strojem B, stroj B vyrábí 46% mobilních telefonů. Pravděpodobnosti těchto událostí jsou uvedeny:

P (A) = 0,54.

P (B) = 0,46.

Události druhé části experimentu jsou:

D: vadná buňka.

E: vadná buňka.

Jak je uvedeno v prohlášení, pravděpodobnosti těchto událostí závisí na výsledku získaném v první části:

P (D | A) = 0,2.

P (D | B) = 0,5.

Pomocí těchto hodnot můžete také určit pravděpodobnosti komplementů těchto událostí, tj.

P (E | A) = 1 - P (D | A)

= 1 - 0,2

= 0,8

a

p (E | B) = 1 - P (D | B)

= 1 - 0,5

= 0,5.

Nyní může být událost D zapsána následovně:

Využití multiplikační věty pro podmíněnou pravděpodobnost má za následek:

S kterou je zodpovězena první otázka.

Nyní musíme pouze spočítat P (A | D), pro který platí Bayesova věta:

Díky Bayesově teorému lze říci, že pravděpodobnost, že mobilní telefon byl vyroben strojem A s vědomím, že mobilní telefon je vadný, je 0,199.

Cvičení 2

Tři krabice obsahují bílé a černé kuličky. Složení každého z nich je následující: U1 = 3B, 1N, U2 = 2B, 2N, U3 = 1B, 3N.

Jedna z krabic se vybere náhodně a náhodně se z ní odebere náhodná koule, která se ukáže jako bílá. Který box je nejpravděpodobněji vybrán?

Řešení

Prostřednictvím U1, U2 a U3 budeme také reprezentovat zvolený box.

Tyto události představují rozdělení S a je ověřeno, že P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3, protože volba krabice je náhodná.

Jestliže B = extrahovaná koule je bílá, budeme mít P (B | U1) = 3/4, P (B | U2) = 2/4, P (B | U3) = 1/4 .

Chceme získat pravděpodobnost, že míč byl vyřazen z krabice Ui s vědomím, že míč byl bílý, tj. P (Ui | B), a zjistit, která z těchto tří hodnot byla nejvyšší, která byla známa. box byl s největší pravděpodobností extrakce bílé koule.

Použití věty Bayes na první z polí:

A pro další dva:

P (U2 | B) = 2/6 a P (U3 | B) = 1/6.

Potom je první z krabic ta, která má vyšší pravděpodobnost, že bude vybrána pro extrakci bílé koule.

Odkazy

  1. Kai Lai Chung Elementární teorie pravděpodobnosti se stochastickými procesy. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Rosen, diskrétní matematika a její aplikace. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Pravděpodobnost a statistické aplikace. S.A. MEXIKO ALHAMBRA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Diskrétní matematické problémy. McGRAW-HILL.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teorie a problémy pravděpodobnosti. McGRAW-HILL.