Vektor Algebra Základy, Magnitudes, Vektory



vektorové algebry je obor matematiky zodpovědný za studium soustav lineárních rovnic, vektorů, matic, vektorových prostorů a jejich lineárních transformací. Vztahuje se k oblastem, jako jsou inženýrství, řešení diferenciálních rovnic, funkční analýza, operační výzkum, mimo jiné počítačová grafika..

Další oblast, která přijala lineární algebru je fyzika, protože přes toto byl vyvinut ke studiu fyzikální jevy, popisovat je přes použití vektorů. To umožnilo lepší pochopení vesmíru.

Index

  • 1 Základy
    • 1.1 Geometricky
    • 1.2 Analyticky
    • 1.3 Axiomaticky
  • 2 Magnitudy
    • 2.1 Skalární velikost
    • 2.2 Vektorová velikost
  • 3 Co jsou vektory?
    • 3.1 Modul
    • 3.2 Adresa
    • 3.3 Smysl
  • 4 Klasifikace vektorů
    • 4.1 Pevný vektor
    • 4.2 Volný vektor
    • 4.3 Posuvný vektor
  • 5 Vlastnosti vektorů
    • 5.1
    • 5.2 Ekvivalentní vektory
    • 5.3 Rovnost vektorů
    • 5.4 Protější vektory
    • 5.5 Jednotkový vektor
    • 5.6 Vektor Null
  • 6 Komponenty vektoru
    • 6.1 Příklady
  • 7 Operace s vektory
    • 7.1 Přidávání a odečítání vektorů
    • 7.2 Násobení vektorů
  • 8 Odkazy

Základy

Algebra vektoru vznikla ze studia kvartér (rozšíření reálných čísel) 1, i, j, k, stejně jako karteziánské geometrie podporované Gibbsem a Heavisidem, kteří si uvědomili, že vektory budou sloužit jako nástroj pro představují různé fyzikální jevy.

Vektorová algebra je studována prostřednictvím tří základů:

Geometricky

Vektory jsou reprezentovány čarami, které mají orientaci, a operace jako je sčítání, odčítání a násobení reálnými čísly jsou definovány pomocí geometrických metod.

Analyticky

Popis vektorů a jejich operací se provádí pomocí čísel, nazývaných komponenty. Tento typ popisu je výsledkem geometrické reprezentace, protože se používá souřadnicový systém.

Axiomaticky

Je vytvořen popis vektorů bez ohledu na souřadný systém nebo jakýkoliv typ geometrické reprezentace.

Studium postav v prostoru se provádí prostřednictvím jejich reprezentace v referenčním systému, který může být v jednom nebo více rozměrech. Mezi hlavní systémy patří:

- Jednorozměrný systém, což je čára, kde jeden bod (O) reprezentuje počátek a druhý bod (P) určuje měřítko (délku) a směr:

- Obdélníkový souřadný systém (dvourozměrný), který se skládá ze dvou kolmých čar zvaných osa x a osa y, které procházejí bodem (O); tímto způsobem je rovina rozdělena do čtyř oblastí nazývaných kvadranty. V tomto případě je bod (P) v rovině dán vzdálenostmi, které existují mezi osami a P.

- Polární souřadnicový systém (dvourozměrný). V tomto případě je systém tvořen bodem O (počátek), který se nazývá sloup a paprsek s původem O nazývaný polární osa. V tomto případě je bod P roviny vzhledem k pólu a polární ose dán úhlem (Ɵ), který je tvořen vzdáleností mezi počátkem a bodem P.

- Obdélníkový trojrozměrný systém, tvořený třemi kolmými čarami (x, y, z), které mají v prostoru bod O. Jsou vytvořeny tři souřadnice: xy, xz a yz; prostor bude rozdělen do osmi oblastí nazývaných oktanty. Odkaz na bod P prostoru je dán vzdálenostmi, které existují mezi rovinami a P.

Magnitudy

Velikost je fyzikální veličina, kterou lze spočítat nebo měřit číselnou hodnotou, jako v případě některých fyzikálních jevů; často je však nutné tyto jevy popsat s jinými faktory, které nejsou číselné. Proto jsou veličiny rozděleny do dvou typů:

Skalární velikost

Jsou to veličiny, které jsou definovány a reprezentovány číselně; tj. modulem spolu s měrnou jednotkou. Například:

a) Čas: 5 sekund.

b) Hmotnost: 10 kg.

c) Objem: 40 ml.

d) Teplota: 40 ° C.

Vektorová velikost

Jsou to takové veličiny, které jsou definovány a reprezentovány modulem spolu s jednotkou, stejně jako smyslem a směrem. Například:

a) Rychlost: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) Zrychlení: 13 m / s2; S 45 ° E.

c) Síla: 280 N, 120º.

d) Hmotnost: -40 ĵ kg-f.

Vektorové veličiny jsou graficky reprezentovány vektory.

Co jsou vektory?

Vektory jsou grafické znázornění velikosti vektoru; to znamená, že se jedná o segmenty přímé čáry, ve kterých je jejich konečný konec špičkou šipky.

Ty jsou určeny jejich délkou modulu nebo segmentu, jejich smyslem, který je indikován špičkou jejich šipky a jejich směrem podle čáry, ke které patří. Původ vektoru je také znám jako bod aplikace.

Prvky vektoru jsou následující:

Modul

Je to vzdálenost od počátku ke konci vektoru, reprezentovaného reálným číslem spolu s jednotkou. Například:

OM | = | A | = A = 6 cm

Adresa

Je to míra úhlu, který existuje mezi osou x (od pozitivního) a vektorem, stejně jako světové body (sever, jih, východ a západ)..

Smysl

To je dáno šipkou umístěnou na konci vektoru, udávajícím, kam směřuje.

Klasifikace vektorů

Obecně jsou vektory klasifikovány jako:

Pevné vektor

Je to ten, jehož místo aplikace (původ) je pevné; to znamená, že zůstane vázán na místo v prostoru, důvod, proč v něm nemůže být přemístěn.

Volný vektor

Může se volně pohybovat v prostoru, protože jeho původ se přesouvá do libovolného bodu, aniž by změnil svůj modul, smysl nebo směr.

Posuvný vektor

Je to ten, který může pohybovat svým původem podél linie své činnosti, aniž by změnil svůj modul, smysl nebo směr.

Vlastnosti vektorů

Mezi hlavní vlastnosti vektorů patří: \ t

Vektory typu Equipolentes

Jsou to ty volné vektory, které mají stejný modul, směr (nebo jsou paralelní) a pociťují, že posuvný vektor nebo pevný vektor.

Ekvivalentní vektory

Stává se, když dva vektory mají stejnou adresu (nebo jsou paralelní), stejný smysl, a přestože mají různé moduly a aplikační body, způsobují stejné efekty.

Rovnost vektorů

Mají stejný modul, směr a smysl, i když jejich výchozí body jsou odlišné, což umožňuje paralelnímu vektoru pohybovat se bez ovlivnění..

Opačné vektory

Jsou to ty, které mají stejný modul a směr, ale jejich smysl je opačný.

Vektorové jednotky

Je to modul, ve kterém je modul roven jednotce (1). Toto je získáno tím, že rozdělí vektor jeho modulem a je používán určovat směr a smysl vektoru, jeden v rovině nebo v prostoru, používat základ nebo sjednocené normalizované vektory, který být: \ t

Null vektor

Je to modul, jehož modul je roven 0; to znamená, že jejich bod původu a extrém se shodují ve stejném bodě.

Složky vektoru

Komponenty vektoru jsou ty hodnoty projekcí vektoru na osách referenčního systému; V závislosti na rozložení vektoru, který může být ve dvou nebo třírozměrných osách, budou získány dvě nebo tři složky, resp..

Komponenty vektoru jsou reálná čísla, která mohou být kladná, záporná nebo dokonce nulová (0)..

Pokud tedy máme vektor Â, pocházející z pravoúhlého souřadnicového systému v rovině xy (dvourozměrná), projekce na ose x je Āx a projekce na ose y je Āy. Vektor bude tedy vyjádřen jako součet jeho vektorů složek.

Příklady

První příklad

Máme vektor Â, který začíná od počátku a jsou uvedeny souřadnice jeho konců. Vektor Ā = (Âx; Aa) = (4; 5) cm.

Pokud vektor Ā působí na počátku trojrozměrného trojúhelníkového souřadnicového systému (v prostoru) x, y, z, na jiný bod (P), budou projekce na jeho osách Āx, Āy a Āz; vektor bude tedy vyjádřen jako součet jeho tří komponentních vektorů.

Druhý příklad

Máme vektor Â, který začíná od počátku a jsou uvedeny souřadnice jeho konců. Vektor Ā = (Ax; Aa; Az) = (4; 6; -3) cm.

Vektory, které mají své pravoúhlé souřadnice, mohou být vyjádřeny pomocí základních vektorů. Za tímto účelem musí být každá souřadnice vynásobena příslušným vektorem jednotky tak, aby pro rovinu a prostor byly následující:

Pro rovinu: Â = Axi + Aaj.

Pro prostor: Â = Axi + Aaj + Azk.

Operace s vektory

Existuje mnoho veličin, které mají modul, smysl a směr, jako je zrychlení, rychlost, posun, síla, mimo jiné..

Ty jsou aplikovány v různých oblastech vědy a v některých případech je nutné provádět operace jako je sčítání, odčítání, násobení a dělení vektorů a skalár..

Sčítání a odečítání vektorů

Sčítání a odčítání vektorů je považováno za jednu algebraickou operaci, protože odčítání může být zapsáno jako součet; například odečítání vektorů Â a Ē lze vyjádřit jako:

Ā - Ē = Ā + (-Ē)

Existují různé metody provádění sčítání a odčítání vektorů: mohou být grafické nebo analytické.

Grafické metody

Používá se, když má vektor modul, smysl a směr. K tomu se nakreslí čáry, které tvoří obrázek, který později pomůže určit výsledný výsledek. Mezi nejznámější patří:

Metoda paralelogramu

Pro přidání nebo odečítání dvou vektorů je na souřadnicové ose vybrán bod, který bude reprezentovat bod počátku vektorů, přičemž bude zachován jeho modul, směr a směr..

Pak se čáry nakreslí rovnoběžně s vektory, aby se vytvořil paralelogram. Výsledný vektor je úhlopříčka, která opustí bod původu obou vektorů až do vrcholu rovnoběžníku:

Metoda trojúhelníku

V této metodě jsou vektory umístěny jeden vedle druhého, přičemž se zachovávají jejich moduly, směry a směry. Výsledný vektor bude spojením počátku prvního vektoru s koncem druhého vektoru:

Analytické metody

Pomocí geometrické nebo vektorové metody můžete přidat nebo odečíst dva nebo více vektorů:

Geometrická metoda

Když dva vektory tvoří trojúhelník nebo rovnoběžník, modul a směr výsledného vektoru lze určit pomocí zákonů sine a cosine. Modul výsledného vektoru, aplikující právo kosinu a metodou trojúhelníku, je tedy dán:

V tomto vzorci β je úhel opačný k straně R, a to je rovno 180 ° - Ɵ.

Naproti tomu metodou rovnoběžníku výsledný vektorový modul je:

Směr výsledného vektoru je dán úhlem (α), který tvoří výsledek s jedním z vektorů.

Zákonem sine, sčítání nebo odčítání vektorů může také být děláno trojúhelníkovou nebo rovnoběžníkovou metodou, vědět, že v každém trojúhelníku strany jsou úměrné k prsům úhlů: \ t

Vektorová metoda

To lze provést dvěma způsoby: v závislosti na jejich pravoúhlých souřadnicích nebo jejich základních vektorech.

To může být děláno tím, že převádí vektory, které mají být přidány nebo odečtené k počátku souřadnic, a pak všechny projekce na každé z os pro rovinu (x, y) nebo prostor (x, \ t a, z); konečně, jeho komponenty jsou přidány algebraicky. Takže pro letadlo to je:

Modul výsledného vektoru je:

Zatímco pro prostor je:

Modul výsledného vektoru je:

Při provádění vektorových součtů se použije několik vlastností, kterými jsou:

- Asociativní vlastnost: výsledná hodnota se nemění přidáním dvou vektorů jako první a přidáním třetího vektoru.

- Komutativní vlastnost: pořadí vektorů nemění výsledný.

- Vektor distribuční vlastnost: jestliže skalární je násoben součtem dvou vektorů, to je se rovnat násobení skalární pro každý vektor \ t.

- Skalární distribuční vlastnost: je-li vektor násoben součtem dvou skalárů, rovná se násobení vektoru pro každý skalár..

Násobení vektorů

Násobení nebo součin vektorů může být proveden jako sčítání nebo odčítání, ale při tom ztrácí fyzický význam a v aplikacích je téměř nikdy nenalezen. Obecně jsou nejpoužívanějším typem produktů skalární a vektorový produkt.

Skalární produkt

Je také znám jako bodový produkt dvou vektorů. Když jsou moduly dvou vektorů vynásobeny kosinem vedlejšího úhlu, který je mezi nimi vytvořen, získá se skalární. Pro umístění skalárního produktu mezi dva vektory je mezi ně umístěn bod, který lze definovat jako:

Hodnota úhlu, který existuje mezi oběma vektory, bude záviset na tom, zda jsou rovnoběžné nebo kolmé; Takže musíte:

- Pokud jsou vektory paralelní a mají stejný smysl, cosine 0º = 1.

- Pokud jsou vektory paralelní a mají opačné smysly, kosinus 180 ° = -1.

- Pokud jsou vektory kolmé, kosinus 90 ° = 0.

Tento úhel lze také vypočítat s vědomím, že:

Skalární produkt má následující vlastnosti:

- Komutativní vlastnost: pořadí vektorů nemění skalární.

-Distribuční vlastnost: je-li skalár násoben součtem dvou vektorů, rovná se násobení skaláru pro každý vektor..

Vektorový produkt

Násobení vektoru, nebo křížový produkt dvou vektorů A a B, bude mít za následek vznik nového vektoru C a bude exprimován pomocí křížení mezi vektory:

Nový vektor bude mít své vlastní charakteristiky. Tímto způsobem:

- Směr: tento nový vektor bude kolmý k rovině, která je určena původními vektory.

- Smysl: toto je určeno pravidlem pravé ruky, kde vektor A je otočen k B tím, že ukáže směr otáčení s prsty, as palcem smysl vektoru je označen \ t.

- Modul: je určen násobením modulů vektorů AxB, sinusem nejmenšího úhlu, který existuje mezi těmito vektory. Je vyjádřeno:

Hodnota úhlu, který existuje mezi oběma vektory, bude záviset na tom, zda jsou rovnoběžné nebo kolmé. Pak je možné potvrdit následující:

- Pokud jsou vektory paralelní a mají stejný smysl, sin 0º = 0.

- Pokud jsou vektory paralelní a mají opačné smysly, sinus 180º = 0.

- Pokud jsou vektory kolmé, sinus 90 ° = 1.

Je-li vektorový produkt vyjádřen pomocí základních vektorů, musí:

Skalární produkt má následující vlastnosti:

- Není komutativní: pořadí vektorů mění skalár.

- Distribuční vlastnost: je-li skalár násoben součtem dvou vektorů, rovná se násobení skaláru pro každý vektor..

Odkazy

  1. Altman Naomi, M. K. (2015). "Jednoduchá lineární regrese." Nature Methods .
  2. Angel, A. R. (2007). Základní algebra Pearson Education,.
  3. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra a trigonometrie s analytickou geometrií. Pearson Education.
  4. Gusiatnikov, P., & Reznichenko, S. (s.f.). Algebr na Vectorial v příkladech. Moskva: Mir.
  5. Lay, D. C. (2007). Lineární algebra a její aplikace. Pearson Education.
  6. Llinares, J. F. (2009). Lineární algebra: Vektorový prostor. Euklidovský vektorový prostor. Univerzita Alicante.
  7. Mora, J. F. (2014). Lineární algebra Vlasti.