Matematický logický původ, jaké studie, typy



matematická logika nebo symbolická logika je matematický jazyk, který obsahuje nezbytné nástroje, pomocí kterých lze matematické uvažování potvrdit nebo popřít.

Je dobře známo, že v matematice nejsou žádné nejasnosti. Daný matematický argument, toto je platné nebo jednoduše není. To nemůže být falešné a pravdivé zároveň.

Zvláštním aspektem matematiky je, že má formální a přísný jazyk, jehož prostřednictvím lze určit platnost úvah. Co to dělá určité úvahy nebo jakýkoliv matematický důkaz, který je nevyvratitelný? O tom je matematická logika.

Logika je tedy disciplína matematiky, která je zodpovědná za studium matematických úvah a demonstrací a poskytuje nástroje, které umožňují odvodit správný závěr z předchozích výroků nebo výroků..

K tomu využívá axiomy a další matematické aspekty, které budou vyvinuty později.

Index

  • 1 Původ a historie
    • 1.1 Aristoteles
  • 2 Jaké matematické logické studie?
    • 2.1 Návrhy
    • 2.2 Tabulky pravdy
  • 3 Typy matematické logiky
    • 3.1 Oblasti
  • 4 Odkazy

Původ a historie

Přesná data s ohledem na mnoho aspektů matematické logiky jsou nejistá. Většina bibliografií na toto téma však sleduje původ tohoto starověkého Řecka.

Aristoteles

Začátek přísného zacházení s logikou je zčásti přisuzován Aristotelesovi, který napsal soubor děl logiky, které později shromáždili a vyvinuli různí filozofové a vědci až do středověku. Toto by mohlo být považováno za "starou logiku".

Pak, v čem je známý jako současný věk, Leibniz, pohyboval se hlubokou touhou založit univerzální jazyk rozumu matematicky, a jiní matematici takový jako Gottlob Frege a Giuseppe Peano, ovlivňoval pozoruhodně vývoj matematické logiky s velkými příspěvky. , mezi nimi, Axioms Peano, který formulovat nepostradatelné vlastnosti přirozených čísel.

Matematici George Boole a Georg Cantor byli v té době také velkými vlivy, s důležitými příspěvky v teorii množin a pravdivostních tabulkách, zdůrazňovat, kromě jiných aspektů, Boolean Algebra (George Boole) a Axiom výběru. (George Cantor).

Tam je také Augustus De Morgan se známými zákony Morgan, který kontempluje popření, spojení, disjunctions a podmíněný mezi výroky, klíče pro vývoj symbolické logiky, a John Venn se slavnými Venn diagramy \ t.

V 20. století, přibližně mezi 1910 a 1913, Bertrand Russell a Alfred North Whitehead vyniká s jejich vydáním Principia mathematica, soubor knih, který sbírá, vyvíjí a postuluje řadu axiomů a logických výsledků.

Jaké matematické logické studie?

Propozice

Matematická logika začíná studiem propozic. Prohlášení je tvrzení, že bez jakýchkoliv nejasností lze říci, zda je to pravda nebo ne. Následující příklady jsou následující:

  • 2 + 4 = 6.
  • 52= 35.
  • V roce 1930 došlo v Evropě k zemětřesení.

První je pravdivý návrh a druhý je falešný návrh. Třetí, i když je možné, že osoba, která ji čte, neví, zda je pravdivá nebo okamžitě, je to prohlášení, které může být ověřeno a určeno, zda se skutečně stalo nebo ne..

Následující příklady jsou příklady výrazů, které nejsou propozice:

  • Je blondýna.
  • 2x = 6.
  • Pojďme si hrát!
  • Líbí se vám kino?

V prvním tvrzení není určeno, kdo je, proto nelze nic potvrdit. Ve druhém návrhu, co je reprezentováno “x” nebyl specifikovaný. Jestliže místo toho to bylo říkal, že 2x = 6 pro nějaké přirozené číslo x, v tomto případě to by odpovídalo tvrzení, ve skutečnosti pravdivý, protože pro x = 3 to je splněno \ t.

Poslední dvě tvrzení neodpovídají tvrzení, protože neexistuje žádný způsob, jak je popřít nebo potvrdit.

Pomocí známých spojovacích konektorů (nebo konektorů) lze kombinovat (nebo propojovat) dva nebo více návrhů. Jsou to:

  • Popření: "Ne prší".
  • Nesouhlas: "Luisa si koupila bílou nebo šedou tašku".
  • Spojení: "42= 16 a 2 × 5 = 10 ".
  • Podmíněné: "Pokud prší, pak dnes odpoledne nejdu do posilovny".
  • Biconditional: "Dnes odpoledne jdu do posilovny, a to jen tehdy, když to neprší".

Návrh, který nemá žádný z předchozích spojovacích prvků, se nazývá jednoduchá tvrzení (nebo atomová). Například, "2 je menší než 4", je jednoduchý problém. Propozice, které mají nějaké pojivo, se nazývají složené propozice, jako například "1 + 3 = 4 a 4 je sudé číslo".

Prohlášení učiněná prostorovými výroky jsou obvykle dlouhá, takže je zdlouhavé psát je vždy tak, jak jsme je dosud viděli. Z tohoto důvodu se používá symbolický jazyk. Propozice jsou obvykle reprezentovány velkými písmeny jako P, Q, R, S, atd. A symbolické spojení následovně:

Tak

reciproční podmíněného návrhu

je tvrzení

A protiopatření (nebo kontrapozitivní) návrhu

je tvrzení

Tabulky pravdy

Dalším důležitým konceptem v logice je pravdivostní tabulky. Hodnoty pravdivosti tvrzení jsou dvě možnosti, které jsou dostupné pro tvrzení: true (která bude označena V a její pravdivostní hodnota bude označena jako V) nebo false (která bude označena F a její hodnota bude uvedena je to opravdu F).

Pravdivá hodnota složeného návrhu závisí výhradně na pravdivostních hodnotách jednoduchých tvrzení, která se v něm objevují.

Abychom mohli pracovat obecněji, nebudeme uvažovat o specifických návrzích, ale o výrokových proměnných p, q, r, s, atd., které budou představovat jakékoli návrhy.

S těmito proměnnými a logickými vazbami jsou dobře známé výrokové vzorce tvořeny právě tak, jak jsou sestavovány složené příkazy.

Pokud je každá z proměnných, která se objeví ve výrokové rovnici, nahrazena tvrzením, získá se kompozitní návrh.

Níže jsou uvedeny tabulky pravdivosti logických připojení:

Tam jsou výrokové vzorce, které dostanou jen hodnotu V v jejich pravdivostní tabulce, to je, poslední sloupec jejich pravdivostní tabulky má jen hodnotu V. Tento druh vzorců je známý jako tautologies. Například:

Níže je uvedena pravdivostní tabulka vzorce

Říká se, že vzorec α logicky implikuje další vzorec β, pokud α je pravdivé pokaždé, když β je pravdivá. To je, v tabulce pravdy α a β, řádky kde α má V, β také má V. Zajímavé jsou pouze řádky, ve kterých α má hodnotu V. Notace pro logické důsledky je následující: :

Následující tabulka shrnuje vlastnosti logického implikace:

Říká se, že dva výrokové vzorce jsou logicky ekvivalentní, pokud jsou jejich pravdivostní tabulky identické. Pro vyjádření logické ekvivalence se používá následující zápis:

Následující tabulky shrnují vlastnosti logické ekvivalence:

Typy matematické logiky

Existují různé typy logiky, zejména pokud vezmeme v úvahu pragmatickou nebo neformální logiku, která poukazuje na filosofii, mezi jinými oblastmi..

Co se týče matematiky, typy logiky by mohly být shrnuty takto: \ t

  • Formální nebo aristotelská logika (starověká logika).
  • Propoziční logika: je zodpovědná za studium všeho, co souvisí s platností argumentů a propozic pomocí formálního jazyka a také symbolického.
  • Symbolická logika: zaměřená na studium množin a jejich vlastností, také s formálním a symbolickým jazykem, a je hluboce spjata s výrokovou logikou.
  • Kombinatorická logika: jedna z nejnovějších, zahrnuje výsledky, které mohou být vyvinuty algoritmy.
  • Logické programování: používá se v různých balíčcích a programovacích jazycích.

Oblasti

Mezi oblastmi, které využívají matematickou logiku nepostradatelným způsobem ve vývoji svých úvah a argumentů, zdůrazňují filozofii, teorii množin, teorii čísel, konstruktivní algebraickou matematiku a programovací jazyky..

Odkazy

  1. Aylwin, C. U. (2011). Logika, sady a čísla. Mérida - Venezuela: Rada publikací, Universidad de Los Andes.
  2. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Úvod do teorie čísel. EUNED.
  3. Castañeda, S. (2016). Základní kurz teorie čísel. Univerzita severu.
  4. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Jak rozvíjet matematické logické uvažování. Redakce univerzity.
  5. Zaragoza, A.C. (s.f.). Teorie čísel. Redakční vize knihy.