Zákony Morgana



Jáoči Morgana jsou pravidly odvození používaného ve výrokové logice, která stanoví, co je výsledkem popření disjunkce a spojení propozic nebo výrokových proměnných. Tyto zákony definoval matematik Augustus De Morgan.

Zákony Morgana představují velmi užitečný nástroj k prokázání platnosti matematického uvažování. Později byly zobecněny v rámci konceptu sad matematik George Boole.

Toto zobecnění provedené Booleem je zcela ekvivalentní Morganovým původním zákonům, ale je vyvinuto speciálně pro soubory spíše než pro výroky. Toto zobecnění je také známé jako Morganovy zákony.

Index

  • 1 Přehled výrokové logiky
    • 1.1 Klam
    • 1.2 Návrhy
  • 2 Morganovy zákony
    • 2.1 Demonstrace
  • 3 Nastaví
    • 3.1 Unie, průnik a komplety souprav
  • 4 Morganovy zákony pro soubory
  • 5 Odkazy

Přehled výrokové logiky

Než se podíváme na to, co jsou Morganovy zákony specificky a jak se používají, je vhodné si pamatovat některé základní pojmy výrokové logiky. (Pro více informací viz článek výrokové logiky).

V oblasti matematické (nebo výrokové) logiky je závěrem závěr, který vychází ze souboru prostor nebo hypotéz. Tento závěr, spolu s uvedenými prostory, dává vzniknout tomu, co je známo jako matematické uvažování.

Toto odůvodnění musí být možné prokázat nebo popřít; to znamená, že ne všechny závěry nebo závěry v matematickém uvažování jsou platné.

Klam

Falešný závěr vycházející z určitých předpokladů, o kterých se předpokládá, že jsou pravdivé, je znám jako klam. Tyto chyby mají zvláštnost, že jsou argumenty, které se zdají správné, ale matematicky nejsou.

Propoziční logika má na starosti přesný vývoj a poskytování metod, pomocí kterých lze bez jakýchkoliv nejasností ověřit nebo vyvrátit matematické uvažování; to znamená vyvodit z prostor platný závěr. Tyto metody jsou známé jako pravidla dedukce, jejichž součástí jsou Morganovy zákony.

Propozice

Základními prvky výrokové logiky jsou výroky. Propozice jsou výroky, o kterých lze říci, zda jsou platné nebo ne, ale zároveň nemohou být pravdivé nebo nepravdivé. V této věci by neměla být žádná nejednoznačnost.

Stejně jako čísla mohou být kombinována prostřednictvím operací sčítání, odčítání, násobení a dělení, mohou být výroky ovládány pomocí známých spojovacích (nebo konektorových) logických: negací (¬, „ne“), disjunkcí (V , "O"), konjunkce (Ʌ, "a"), podmíněné (→, "pokud ..., pak ...") a biconditional ("," ano, a jen tehdy, pokud ").

Abychom pracovali obecněji, místo abychom uvažovali o konkrétních výrocích, uvažujeme výrokové proměnné, které reprezentují jakékoli výroky, a obvykle jsou označovány malými písmeny p, q, r, s, atd..

Propoziční vzorec je kombinací výrokových proměnných prostřednictvím některých logických vazeb. Jinými slovy, jedná se o složení výrokových proměnných. Obvykle se označují řeckými písmeny.

Říká se, že výroková formulace logicky znamená další, když je to pravda vždy, když je první pravdivá. Toto je označeno:

Když logické implikace mezi dvěma výrokovými vzorci je vzájemné - to je, když předchozí implikace je platná také v opačném směru - vzorce jsou řekl, aby byl logicky ekvivalentní, a to je označeno

Logická ekvivalence je druh rovnosti mezi výrokovými vzorci a v případě potřeby umožňuje nahradit jednu pro druhou.

Zákony Morgana

Morganovy zákony sestávají ze dvou logických rovnocenností mezi dvěma výrokovými formami, jmenovitě:

Tyto zákony umožňují oddělit negaci disjunkce nebo spojení, jako negace zahrnutých proměnných.

První lze číst následovně: negace disjunkce se rovná spojení negací. A druhá zní takto: negace spojení je disjunkce negací.

Jinými slovy, popření disjunkce dvou výrokových proměnných je ekvivalentní spojení negací obou proměnných. Podobně, popření spojení dvou výrokových proměnných je ekvivalentní disjunkci negací obou proměnných.

Jak již bylo zmíněno dříve, nahrazení této logické ekvivalence pomáhá ukázat důležité výsledky spolu s dalšími existujícími pravidly odvození. S nimi můžete zjednodušit mnoho výrokových vzorců, takže jsou užitečnější pro práci.

Následující příklad je příkladem matematického důkazu používajícího pravidla odvození, mezi těmito Morganovými zákony. Konkrétně se ukazuje, že vzorec:

je ekvivalentní:

To je jednodušší pochopit a rozvíjet.

Demonstrace

Stojí za zmínku, že platnost Morganových zákonů lze demonstrovat matematicky. Jedním ze způsobů je porovnání tabulek pravdy.

Nastaví se

Stejná pravidla odvození a pojetí logiky aplikovaná na výroky mohou být také vytvořena s ohledem na množiny. To je to, co je známo jako Boolean algebra, po matematik George Boole.

Pro rozlišení případů je nutné změnit zápis a převod do množiny, všechny pojmy již viděné v výrokové logice.

Soubor je kolekce objektů. Sady jsou označeny velkými písmeny A, B, C, X, ... a prvky množiny jsou označeny malými písmeny a, b, c, x, atd. Pokud prvek a patří do množiny X, označuje se jako:

Pokud nepatří do X, zápis je:

Způsob, jak reprezentovat sady, je umístění jejich prvků do klíčů. Například sada přirozených čísel je reprezentována:

Sady mohou být také reprezentovány bez psaní explicitního seznamu jejich prvků. Mohou být vyjádřeny ve tvaru :. Tyto dva body jsou čteny "tak, že". Proměnná představující prvky sady je umístěna vlevo od dvou bodů a vlastnost nebo podmínka, kterou splňují, je umístěna na pravé straně. To je:

Například sada celých čísel větší než -4 může být vyjádřena jako:

Nebo ekvivalentně a více zkráceně, jako:

Podobně následující výrazy představují množiny sudých a lichých čísel:

Svaz, křižovatka a komplety souprav

Dále uvidíme analogové logické spojky v případě sad, které jsou součástí základních operací mezi množinami.

Unie a křižovatka

Svazek a průsečík množin jsou definovány, resp. Následujícím způsobem:

Zvažte například množiny:

Pak musíte:

Doplněk

Doplněk množiny je tvořen prvky, které do této množiny nepatří (stejného typu, jaký představuje originál). Doplněk množiny A je označen:

Například, uvnitř přirozených čísel, doplněk souboru sudých čísel je to lichých čísel, a naopak.

Aby bylo možné určit doplněk množiny, musí být jasné od začátku univerzální nebo hlavní soubor prvků, které jsou zvažovány. Například, to není stejné zvažovat doplněk souboru na přirozených číslech to na těch racionálních.

Následující tabulka ukazuje vztah nebo analogii, která existuje mezi operacemi na dříve definovaných sadách a vazebními vazbami výrokové logiky:

Zákony Morgana pro soupravy

Konečně, Morgan zákony na souborech jsou: \ t

Slovem: doplněk odborů je průsečíkem doplňků a doplněk křižovatky je spojením doplňků..

Matematickým důkazem první rovnosti by bylo:

Demonstrace druhého je analogická.

Odkazy

  1. Almaguer, G. (2002). Matematika 1. Editorial Limusa.
  2. Aylwin, C. U. (2011). Logika, sady a čísla. Mérida - Venezuela: Rada publikací, Universidad de Los Andes.
  3. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Úvod do teorie čísel. EUNED.
  4. Castañeda, S. (2016). Základní kurz teorie čísel. Univerzita severu.
  5. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Jak rozvíjet matematické logické uvažování. Redakce univerzity.
  6. Guevara, M. H. (s.f.). Teorie čísel. EUNED.
  7. Zaragoza, A.C. (s.f.). Teorie čísel. Redakční vize knihy.