Zákony exponentů (s příklady a cvičeními)

zákony exponentů jsou čísla, která se vztahují na toto číslo, která udává, kolikrát musí být základní číslo vynásobeno samo. Exponenty jsou také známé jako síly. Potenciace je matematická operace skládající se z báze (a), exponentu (m) a síly (b), která je výsledkem operace.

Exponenty jsou obvykle používány, když se používají velmi velká množství, protože to jsou jen zkratky, které představují násobení stejného čísla v určitém počtu časů. Exponenty mohou být pozitivní i negativní.

Index

• 1 Vysvětlení zákonů exponentů
  • 1.1 První právo: exponentní mocnina rovná 1
  • 1.2 Druhé právo: exponentní mocnina rovná 0
  • 1.3 Třetí zákon: negativní exponent
  • 1.4 Čtvrtý zákon: násobení mocností s rovným základem
  • 1.5 Pátý zákon: rozdělení moci s rovnocenným základem
  • 1.6 Šestý zákon: násobení pravomocí s jiným základem
  • 1.7 Sedmý zákon: rozdělení pravomocí s jiným základem
  • 1.8 Osmý zákon: síla moci
  • 1.9 Devátý zákon: zlomkový exponent
• 2 Řešené úlohy
  • 2.1 Cvičení 1
  • 2.2 Cvičení 2
• 3 Odkazy

Vysvětlení zákonů exponentů

Jak již bylo řečeno, exponenty jsou zkrácenou formou, která představuje násobení čísel několikrát, přičemž exponent se vztahuje pouze k číslu vlevo. Například:

2³ = 2x2 * 2 = 8

V tomto případě je číslo 2 základnou síly, která bude násobena třikrát, jak je znázorněno exponentem, umístěným v pravém horním rohu základny. Existují různé způsoby čtení výrazu: 2 zvýšené na 3 nebo také 2 na krychli.

Exponenty také označují počet časů, které mohou být rozděleny, a odlišit tuto operaci od násobení exponent nese znaménko mínus (-) před ním (je záporné), což znamená, že exponent je ve jmenovateli frakce. Například:

2^{- 4} = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

To by nemělo být zaměňováno s případem, ve kterém je základna záporná, protože bude záviset na tom, zda exponent je sudý nebo lichý, aby určil, zda bude moc pozitivní nebo negativní. Takže musíte:

- Pokud je exponent vyrovnaný, moc bude pozitivní. Například:

(-7)² = -7 _* -7 = 49.

- Pokud je exponent lichý, výkon bude záporný. Například:

(-2)⁵ = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = - 32.

Tam je zvláštní případ ve kterém jestliže exponent je se rovnat 0, síla je rovná 1. Tam je také možnost že základ je 0; v tomto případě, v závislosti na exponovaných, bude výkon neurčitý nebo ne.

Pro provádění matematických operací s exponenty je nutné dodržovat několik pravidel nebo pravidel, která usnadňují nalezení řešení pro tyto operace..

První právo: exponentní mocnina rovná 1

Pokud je exponent 1, výsledkem bude stejná hodnota základny: a¹ = a.

Příklady

9¹ = 9.

22¹ = 22.

895¹ = 895.

Druhé právo: exponentní mocnina rovná 0

Pokud je exponent 0, je-li základna nenulová, výsledkem bude :, a⁰ = 1.

Příklady

1⁰ = 1.

323⁰= 1.

1095⁰ = 1.

Třetí zákon: negativní exponent

Vzhledem k tomu, že exponte je negativní, výsledkem bude zlomek, kde moc bude jmenovatelem. Například, pokud je m kladné, pak a^-m = 1 / a^m.

Příklady

- 3^-1 = 1/3.

- 6^-2 = 1/6² = 1/36.

- 8^-3 = 1/8³ = 1/512.

Čtvrtý zákon: násobení mocností s rovným základem

Aby se násobily síly tam, kde jsou základy stejné a odlišné od 0, je základna zachována a exponenty jsou přidány: a^m _* aⁿ = a^{m + n}.    

Příklady

- 4⁴_* 4³ = 4^{4 + 3} = 4⁷

- 8¹ _* 8⁴ = 8^{1 + 4} = 8⁵

- 2² _* 2⁹ = 2^{2 + 9} = 2¹¹

Pátý zákon: rozdělení moci s rovnocenným základem

Pro rozdělení pravomocí, ve kterých jsou báze stejné a odlišné od 0, je základna zachována a exponenty jsou odečteny následovně: a^m / aⁿ = a^m-n.    

Příklady

- 9² / 9¹ = 9 ^{(2 - 1)} = 9¹.

- 6¹⁵ / 6¹⁰ = 6 ^{(15 - 10)} = 6⁵.

- 49¹² / 49⁶ = 49 ^{(12 - 6)} = 49⁶.

Šestý zákon: násobení mocností s jinou bází

V tomto zákoně máme opak toho, co je vyjádřeno ve čtvrtém; jestliže, jestliže tam jsou různé základy ale s rovnocennými exponenty, základy jsou násobeny a exponent je udržován: a. \ t^m _* b^m = (a_*b) ^m.

Příklady

- 10² _* 20² = (10) _* 20)² = 200².

- 45¹¹_* 9¹¹ = (45 * 9)^{11 =} 405¹¹.

Další způsob, jak reprezentovat tento zákon, je, když je násobení zvýšeno na moc. Exponent tak bude patřit ke každému z výrazů: (a_*b)^m= a^m_* b^m.

Příklady

- (5)_*8)⁴ = 5⁴_* 8⁴ = 40⁴.

- (23 * 7)⁶ = 23⁶_* 7⁶ = 161⁶.

Sedmý zákon: rozdělení pravomocí s jiným základem

Pokud existují různé základy, ale se stejnými exponenty, jsou základy rozděleny a exponent je udržován: a^m / b^m = (a / b)^m.

Příklady

- 30³ / 2³ = (30/2)³ = 15³.

- 440⁴ / 80⁴ = (440/80)⁴ = 5.5⁴.

Podobně, když je divize povýšena na moc, exponent bude patřit ke každému z termínů: (a) b) ^m = a^m / b^m.

Příklady

- (8/4)⁸ = 8⁸ / 4⁸ = 2⁸.

- (25/5)² = 25² / 5² = 5².

Existuje případ, kdy exponent je negativní. Abychom byli pozitivní, hodnota čitatele je převrácena hodnotou jmenovatele, a to následujícím způsobem:

- (a / b)^-n = (b / a)ⁿ = bⁿ / aⁿ.

- (4/5) ^-9 = (5/4) ⁹ = 5⁹ / 4⁴.

Osmý zákon: síla moci

Když máte sílu, která je zvýšena na jinou moc - to je, dva exponenty ve stejnou dobu - základna je udržována a exponenty se násobí: (a^m)ⁿ= a^{m *n}.

Příklady

- (8)³)² = 8 ^{(3 * 2)} = 8⁶.

- (13)⁹)³ = 13 ^{(9 * 3)} = 13²⁷.

- (238)¹⁰)¹² = 238^{(10 * 12)} = 238¹²⁰.

Devátý zákon: zlomkový exponent

Jestliže mocnost má zlomek jako exponent, to je vyřešeno tím, že transformuje to do nth kořen, kde čitatel zůstane jako exponent a jmenovatel reprezentuje kořenový index:

Vyřešená cvičení

Cvičení 1

Vypočítejte operace mezi pravomocemi, které mají různé základy:

2⁴_* 4⁴ / 8².

Řešení

Při použití pravidel exponentů, v čitateli jsou základy násobeny a exponent je udržován, jako je tento:

2⁴_* 4⁴ / 8²= (2)_*4)⁴ / 8²  = 8⁴ / 8²

Protože máme stejné základy, ale s různými exponenty, základna je zachována a exponenty jsou odečteny:

 8⁴ / 8² = 8^{(4 - 2)} = 8²

Cvičení 2

Vypočítejte operace mezi vysokými výkony na jiný výkon:

(3)²)³_* (2) _* 6⁵)^-2_* (2)²)³

Řešení

Pokud použijete zákony, musíte:

(3)²)³_* (2) _* 6⁵)^-2_* (2)²)³

= 3⁶_* 2^-2_* 2^-10 _* 2⁶

= 3⁶_* 2^{(-2) + (- 10)} _* 2⁶

= 3⁶ _*  2^-12_* 2⁶

= 3⁶ _* 2^{(-12) + (6)}

= 3⁶ _* 2⁶

= (3)_*2)⁶

= 6⁶

= 46,656

Odkazy

1. Aponte, G. (1998). Základy základní matematiky. Pearson Education.
2. Corbalán, F. (1997). Matematika aplikovaná na každodenní život.
3. Jiménez, J. R. (2009). Matematika 1 ŠVP.
4. Max Peters, W. L. (1972). Algebra a trigonometrie.
5. Rees, P. K. (1986). Reverte.