Metoda lineární interpolace, řešená cvičení



lineární interpolace je metoda, která pochází z obecné interpolace Newtonu a umožňuje určit aproximací neznámou hodnotu, která je mezi dvěma danými čísly; to znamená, že existuje mezilehlá hodnota. Použije se také pro přibližné funkce, kde hodnoty f(a) a f(b) jsou známy a chcete znát meziprodukt f(x).

Existují různé typy interpolace, jako jsou lineární, kvadratické, kubické a vyšší třídy, nejjednodušší je lineární aproximace. Cena, která musí být zaplacena lineární interpolací, je taková, že výsledek nebude tak přesný jako u aproximací funkcí vyšších tříd.

Index

  • 1 Definice
  • 2 Metoda
  • 3 Řešené úlohy
    • 3.1 Cvičení 1
    • 3.2 Cvičení 2
  • 4 Odkazy

Definice

Lineární interpolace je proces, který umožňuje odvodit hodnotu mezi dvěma dobře definovanými hodnotami, které mohou být v tabulce nebo v lineárním grafu..

Například, pokud víte, že 3 litry mléka stojí za $ 4 a že 5 litrů stojí $ 7, ale chcete vědět, jaká je hodnota 4 litrů mléka, interpolovaná, aby se určila střední hodnota.

Metoda

Pro odhad mezilehlé hodnoty funkce je funkce f aproximována(x) přímkou ​​r(x), což znamená, že funkce se mění lineárně s "x" pro úsek "x = a" a "x = b"; tj. pro hodnotu "x" v intervalu (x0, x1) a (a0, a1), hodnota "y" je dána přímkou ​​mezi body a je vyjádřena následujícím vztahem:

(a - a0) ÷ (x - x0) = (a1 - a0) ÷ (x1 - x0)

Aby byla interpolace lineární, je nutné, aby interpolační polynom byl stupně 1 (n = 1), takže se přizpůsobí hodnotám x0 a x1.

Lineární interpolace je založena na podobnosti trojúhelníků, takže odvozením geometricky od předchozího výrazu můžeme získat hodnotu "y", která představuje neznámou hodnotu pro "x".

Tak musíte:

a = tan Ɵ = (opačná strana1 ÷ sousední noha1) = (protější strana2 ÷ sousední noha2)

Vyjádřeno jiným způsobem, je to:

(a - a0) ÷ (x - x0) = (a1 - a0) ÷ (x1 - x0)

Vymazání "a" výrazů, které máte:

(a - a0) * (x1 - x0) = (x - x0) * (a1 - a0)

(a - a0) = (a1 - a0) * [(x - x0) ÷ (x1 - x0)]

Tak získáme obecnou rovnici pro lineární interpolaci:

y = y0 + (a1 - a0) * [(x - x0) ÷ (x1 - x0)]

Obecně lineární interpolace dává malou chybu nad skutečnou hodnotou skutečné funkce, i když chyba je minimální ve srovnání s tím, zda si intuitivně vyberete číslo blízké číslu, které chcete najít..

K této chybě dochází, když se pokusíte přiblížit hodnotu křivky přímkou; pro tyto případy musí být velikost intervalu zkrácena, aby byla aproximace přesnější.

Pro dosažení lepších výsledků s ohledem na přístup je vhodné použít interpolaci funkce třídy 2, 3 nebo dokonce vyšší. Pro tyto případy je Taylorův teorém velmi užitečným nástrojem.

Vyřešená cvičení

Cvičení 1

Počet bakterií na jednotku objemu existující při inkubaci po x hodinách je uveden v následující tabulce. Chcete vědět, jaký je objem bakterií po dobu 3,5 hodiny.

Řešení

Referenční tabulka nestanoví hodnotu, která udává množství bakterií po dobu 3,5 hodiny, ale mají vyšší a nižší hodnoty odpovídající času 3 a 4 hodiny. Tímto způsobem:

x0 = 3 a0 = 91

x = 3,5 y =?

x1 = 4 a1 = 135

Matematická rovnice je nyní použita k nalezení interpolované hodnoty, která je následující:

y = y0 + (a1 - a0) * [(x - x0) ÷ (x1 - x0)].

Poté se nahradí odpovídající hodnoty:

y = 91 + (135 - 91) * [(3,5 - 3) ÷ (4 - 3)]

y = 91 + (44)* [(0,5) ÷ (1)]

y = 91 + 44 * 0,5

y = 113.

Tak se dosáhne toho, že po dobu 3,5 hodiny je množství bakterií 113, což představuje mezistupeň mezi objemem bakterií existujících v časech 3 a 4 hodin..

Cvičení 2

Luis má továrnu na zmrzlinu a chce udělat studii, aby určil příjmy, které měl v srpnu z provedených výdajů. Manažer společnosti vytvoří graf, který tento vztah vyjadřuje, ale Luis chce vědět:

Jaké jsou příjmy za srpen, pokud byly vynaloženy náklady ve výši 55 000 dolarů??

Řešení

Je uveden graf s hodnotami příjmů a výdajů. Luis chce vědět, co je příjmy z srpna, pokud by továrna měla náklady ve výši 55 000 dolarů. Tato hodnota se neodráží přímo v grafu, ale hodnoty vyšší a nižší než tyto hodnoty.

Nejdříve je vytvořena tabulka, kde lze hodnoty snadno propojit:

Interpolační vzorec se nyní používá k určení hodnoty y

y = y0 + (a1 - a0) * [(x - x0) ÷ (x1 - x0)]

Poté se nahradí odpovídající hodnoty:

y = 56 000 + (78 000 - 56 000) * [(55,000 - 45,000) ÷ (62,000 - 45,000)]

y = 56 000 + (22 000) * [(10 000) ÷ (17 000)]

y = 56 000 + (22 000) * (0,588)

y = 56 000 + 12,936

y = 68,936 USD.

Pokud byly v srpnu vyplaceny náklady ve výši 55 000 USD, příjem činil 68 936 USD.

Odkazy

  1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra a trigonometrie s analytickou geometrií. Pearson Education.
  2. Harpe, P. d. (2000). Témata v teorii geometrické skupiny. Univerzita Chicaga Tisk.
  3. Hazewinkel, M. (2001). Lineární interpolace ", Encyklopedie matematiky.
  4. , J. M. (1998). Základy numerických metod pro inženýrství. UASLP.
  5. , E. (2002). Chronologie interpolace: od starověké astronomie k modernímu zpracování signálu a obrazu. Řízení IEEE.
  6. numerické, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.