Historie euklidovské geometrie, základní pojmy a příklady

Euklidovská geometrie odpovídá studiu vlastností geometrických prostorů, kde jsou splněny axiomy Euclidu. Zatímco tento termín je někdy používán zahrnout geometries, které mají nadřazené rozměry s podobnými vlastnostmi, to je obvykle synonymní s klasickou geometrií nebo plochou geometrií..

Ve třetím století. C. Euclid a jeho učedníci psali Prvky, dílo, které zahrnulo matematické znalosti doby obdařené logicko-deduktivní strukturou. Od té doby, geometrie stala se vědou, zpočátku řešit klasické problémy a se vyvinul do formativní vědy, která pomáhá rozumu.

Index

• 1 Historie
• 2 Základní pojmy
  • 2.1 Společné pojmy
  • 2.2 Postuláty nebo axiomy
• 3 Příklady
  • 3.1 První příklad
  • 3.2 Druhý příklad
  • 3.3 Třetí příklad
• 4 Odkazy

Historie

Chcete-li mluvit o historii euklidovské geometrie, je nezbytné začít s euklidem Alexandrie a Prvky.

Když byl Egypt v rukou Ptolemaia I, po smrti Alexandra Velikého začal svůj projekt ve škole v Alexandrii..

Mezi mudrci, kteří učili ve škole, byl Euclid. To je spekuloval, že jeho data narození přibližně od 325 a. \ T C. a jeho smrt 265 a. C. Můžeme s jistotou vědět, že šel na Platónovu školu.

Více než třicet let Euclid učil v Alexandrii, budoval své slavné prvky: začal psát vyčerpávající popis matematiky své doby. Učení Euclid produkoval vynikající učedníky, takový jako Archimedes a Apollonius Perga.

Euclid byl zodpovědný za strukturovat různorodé objevy klasických Řeků v Prvky, ale na rozdíl od svých předchůdců se neomezuje na potvrzení, že věta je pravdivá; Euclides nabízí ukázku.

Prvky Jsou to kompilace třinácti knih. Po Bibli, to je nejvíce vydávaná kniha, s víc než tisíc vydání.

Prvky Je mistrovské Euklides v oblasti geometrie, a nabízí definitivní léčbu dvourozměrného geometrie (plochý) a trojrozměrný (prostor), který je zdrojem toho, co je nyní známý jako Euclidean geometrie.

Základní pojmy

Prvky jsou tvořeny definicemi, obecnými pojmy a postuláty (nebo axiomy) následovanými teoriemi, konstrukcemi a demonstracemi..

- Bod je ten, který nemá žádné části.

- Čára je délka, která nemá šířku.

- Rovná čára je ta, která leží stejně ve vztahu k bodům, které jsou v tomto.

- Pokud jsou dvě čáry vyříznuty tak, že sousední úhly jsou stejné, úhly se nazývají rovné a čáry se nazývají kolmice..

- Paralelní čáry jsou ty, které nejsou ve stejné rovině nikdy řezány.

Po těchto a dalších definicích, Euclid představuje seznam pěti postulátů a pěti pojmů.

Společné pojmy

- Dvě věci, které se rovnají třetině, jsou si navzájem rovny.

- Jsou-li stejné věci přidány ke stejným věcem, výsledky jsou stejné.

- Jsou-li stejné věci odečteny od stejných věcí, výsledky jsou stejné.

- Věci, které se navzájem shodují, jsou si navzájem rovnocenné.

- Celková hodnota je větší než část.

Postuláty nebo axiomy

- Pro dva různé body prochází jeden a pouze jeden řádek.

- Přímky se mohou prodloužit na dobu neurčitou.

- Můžete nakreslit kruh s libovolným středem a libovolným poloměrem.

- Všechny pravé úhly jsou stejné.

- Pokud přímka protíná dvě rovné čáry tak, že vnitřní úhly stejné strany sčítají méně než dva pravé úhly, pak se tyto dvě přímky protínají na této straně..

Tento poslední postulát je známý jako postulát paralel a byl přeformulován následovně: "Pro bod mimo čáru, můžete nakreslit jednu paralelu k danému řádku".

Příklady

Další, některé věty Prvky budou sloužit k zobrazení vlastností geometrických prostorů, kde je splněno pět postulátů Euclidu; Kromě toho budou ilustrovat logicko-deduktivní úvahy použité tímto matematikem.

První příklad

Návrh 1.4. (LAL)

Jestliže dva trojúhelníky mají dvě strany a úhel mezi nimi je stejný, pak ostatní strany a ostatní úhly jsou stejné.

Demonstrace

Nechť ABC a A'B'C 'jsou dva trojúhelníky s AB = A'B', AC = A'C 'a úhly BAC a B'A'C' stejné. Přesuňte se na trojúhelník A'B'C 'tak, aby se A'B' shodoval s AB a aby se úhel B'A'C 'shodoval s úhlem BAC.

Pak se řádek A'C 'shoduje s přímkou ​​AC, takže C' se shoduje s C. Potom postulátem 1 se řádek BC musí shodovat s přímkou ​​B'C '. Proto se oba trojúhelníky shodují, a proto jsou jejich úhly a strany stejné.

Druhý příklad

Návrh 1.5. (Pons Asinorum)

Jestliže trojúhelník má dvě stejné strany, pak úhly naproti těmto stranám jsou stejné.

Demonstrace

Předpokládejme, že trojúhelník ABC má stejné strany AB a AC.

Pak trojúhelníky ABD a ACD mají dvě stejné strany a úhly mezi nimi jsou stejné. Tudíž podle výroku 1.4 jsou úhly ABD a ACD stejné.

Třetí příklad

Návrh 1.31

Můžete vytvořit čáru rovnoběžnou s přímkou ​​danou daným bodem.

STAVBA

Vzhledem k tomu, čáru L a bod P, multiplikační čáry přes P a snížit L. pak P je nasáván linií protínající N L. Nyní, P je znázorněna linií N je nakreslena na části M, svírá úhel rovnající se, že vytvořené s L M.

Potvrzení

N je rovnoběžná s L.

Demonstrace

Nechť L a N nejsou rovnoběžné a protínají v bodě A. Nechť bod B L mimo A. Předpokládejme linka O procházející B a P. Potom O M Úhel seříznutí ve výši méně než dva vpravo.

Poté, 1,5 rovný nebo se musí snížit rovně L M, L a O, takže se protínají ve dvou bodech, které odporuje předpokladu 1. Z tohoto důvodu, L a N musí být rovnoběžné.

Odkazy

1. Euklidové prvky geometrie. Národní autonomní univerzita Mexika
2. Euclid Prvních šest knih a jedenáctý a dvanáctý prvek Euclida
3. Eugenio Filloy Yague. Didaktika a historie euklidovské geometrie Iberoamerická redakční skupina
4. K.Ribnikov. Dějiny matematiky Mir Editorial
5. Viloria, N., & Leal, J. (2005) Flat Analytical Geometry. Venezuelan C.A Editorial.