Metoda syntetické divize a řešená cvičení

syntetické dělení je to jednoduchý způsob dělení polynomu P (x) libovolným z tvarů d (x) = x - c. Je to velmi užitečný nástroj, protože kromě toho, že nám umožňuje rozdělit polynomy, také nám umožňuje vyhodnotit polynom P (x) v libovolném čísle c, který nám zase říká, zda je toto číslo nula nebo ne polynomu..

Díky algoritmu dělení víme, že pokud máme dva polynomy P (x) a d (x) ne konstantní, existují polynomy q (x) a r (x) jedinečný takový že to je pravdivé to P (x) = q (x) d (x) + r (x), kde r (x) je nula nebo je menší než q (x). Tyto polynomy jsou známé jako kvocient a zbytek nebo zbytek.

Při příležitostech, kdy polynomial d (x) je tvaru x-c, nám syntetické dělení dává krátký způsob nalezení, kdo jsou q (x) a r (x).

Index

• 1 Metoda syntetického dělení
• 2 Řešené úlohy
  • 2.1 Příklad 1
  • 2.2 Příklad 2
  • 2.3 Příklad 3
  • 2.4 Příklad 4
• 3 Odkazy

Metoda syntetického dělení

Nechť P (x) = a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+... + a₁x + a₀ polynom chceme rozdělit a d (x) = x-c dělitel. Pro dělení metodou syntetického dělení postupujeme následovně:

1 V prvním řádku zapíšeme koeficienty P (x). Pokud se neobjeví nějaká mocnina X, jako nulu jsme uvedli nulu.

2- Ve druhé řadě vlevo od_n místo c a nakreslete čáry dělení podle následujícího obrázku:

3- Snižujeme počáteční koeficient na třetí řádek.

V tomto výrazu b_n-1= a_n

4- Vynásobíme c počátečním koeficientem b_n-1 a výsledek je zapsán ve druhém řádku, ale sloupec vpravo.

5- Přidáme sloupec, do kterého jsme napsali předchozí výsledek, a výsledek, který jsme uvedli pod tímto součtem; to znamená ve stejném sloupci, třetí řádek.

Tím, že přidáme, máme jako výsledek_n-1+c * b_n-1, které pro pohodlí zavoláme b_n-2

6- Vynásobíme c dosavadním výsledkem a výsledek zapíšeme napravo do druhého řádku.

7- Opakujeme kroky 5 a 6, dokud nedosáhneme koeficientu a₀.

8- Napište odpověď; tj. kvocient a zbytek. Jelikož ovlivňujeme dělení polynomu stupně n mezi polynomem stupně 1, máme, že vážný podíl stupně n-1.

Koeficienty polynomu kvocientu budou čísla třetího řádku s výjimkou posledního, který bude zbytkovým polynomem nebo zbytkem dělení.

Vyřešená cvičení

Příklad 1

Proveďte následující rozdělení metodou syntetického dělení:

(x⁵+3x⁴-7x³+2x²-8x + 1): (x + 1).

Řešení

Nejprve zapíšeme koeficienty dividend takto:

Pak napíšeme c na levé straně, ve druhé řadě, spolu s dělícími čarami. V tomto příkladu c = -1.

Snižujeme počáteční koeficient (v tomto případě b.)_n-1 = 1) a vynásobte hodnotou -1:

Výsledek zapíšeme vpravo ve druhém řádku, jak je uvedeno níže:

Do druhého sloupce přidáme čísla:

Vynásobíme 2 číslem -1 a výsledek zapíšeme do třetího sloupce, druhého řádku:

Přidáváme do třetího sloupce:

Postupujeme obdobně, dokud nedosáhneme posledního sloupce:

Máme tedy, že poslední získané číslo je zbytek dělení a zbývající čísla jsou koeficienty polynomu kvocientu. To je napsáno následovně:

Pokud chceme ověřit, zda je výsledek správný, stačí ověřit, zda je splněna následující rovnice:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Můžeme tedy ověřit, že získaný výsledek je správný.

Příklad 2

Proveďte další dělení polynomů metodou syntetického dělení

(7x³-x + 2): (x + 2)

Řešení

V tomto případě máme termín x² neobjeví se, takže napíšeme 0 jako jeho koeficient. Takže polynom by byl jako 7x³+0x²-x + 2.

Napíšeme jejich koeficienty v řadě, to je:

Hodnotu C = -2 zapíšeme na levou stranu do druhého řádku a nakreslíme dělící čáry.

Snižujeme počáteční koeficient b_n-1 = 7 a vynásobíme ho -2, zapíšeme jeho výsledek do druhého řádku vpravo.

Přidáváme a postupujeme tak, jak bylo dříve vysvětleno, dokud nedosáhneme posledního termínu:

V tomto případě je zbytek r (x) = - 52 a získaný podíl je q (x) = 7x²-14x + 27.

Příklad 3

Další způsob použití syntetického dělení je následující: předpokládejme, že máme polynom P (x) stupně n a chceme vědět, co je hodnota při jeho vyhodnocování v x = c.

Algoritmem dělení můžeme napsat polynom P (x) následujícím způsobem:

V tomto výrazu q (x) a r (x) jsou kvocient a zbytek, resp. Jestliže d (x) = x-c, když se v polynomu v c v polynomu, zjistíme následující:

K tomu potřebujeme jen najít r (x), a to díky syntetické divizi.

Například máme polynom P (x) = x⁷-9x⁶+19x⁵+12x⁴-3x³+19x²-37x-37 a chceme vědět, jaká je jeho hodnota při vyhodnocování v x = 5. Pro toto provedeme dělení mezi P (x) a d (x) = x -5 metodou syntetického dělení:

Jakmile jsou operace provedeny, víme, že můžeme napsat P (x) následujícím způsobem:

P (x) = (x⁶-4x⁵ -x⁴+ 7x³ +32x² +179x + 858) * (x-5) + 4253

Proto je při hodnocení nutné:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Jak je vidět, je možné použít syntetické dělení k nalezení hodnoty polynomu při jeho vyhodnocení v jazyce c namísto jednoduše nahrazení znaku c pomocí x.. 

Pokud bychom se snažili vyhodnotit P (5) tradičním způsobem, museli bychom provést některé výpočty, které mají tendenci být únavné.

Příklad 4

Algoritmus dělení polynomů je také splněn pro polynomy s komplexními koeficienty a v důsledku toho máme pro uvedenou polynomii i metodu syntetického dělení. Dále uvidíme příklad.

Použijeme metodu syntetického dělení, abychom ukázali, že z = 1+ 2i je nula polynomu P (x) = x³+ (1 + i) x² -(1 + 2i) x + (15 + 5i); to znamená, že zbytek dělení P (x) mezi d (x) = x - z se rovná nule.

Postupujeme jako předtím: v prvním řádku zapíšeme koeficienty P (x), pak ve druhém zapíšeme z a nakreslíme dělicí čáry.

Dělali jsme divizi jako dříve; toto je:

Vidíme, že zbytek je nula; proto jsme dospěli k závěru, že z = 1+ 2i je nula P (x).

Odkazy

1. Baldor Aurelio. Algebra. Redakční skupina Patria.
2. Demana, Waits, Foley & Kennedy. Precalculus: Graf, numerický, algebraický 7. Ed. Pearson Education.
3. Flemming W & Varserg D. Algebra a Trigonometrie s analytickou geometrií. Prentice Hall
4. Michael Sullivan. Precalculus 4. Ed. Pearson Education.
5. Červená Armando O. Algebra 1 6. Ed. Athenaeum.