Distribuce diskrétních charakteristik pravděpodobnosti a cvičení

Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti jsou funkce, která přiřazuje každému prvku X (S) = x1, x2, ..., xi, ..., kde X je daná diskrétní náhodná veličina a S je její vzorkovací prostor, pravděpodobnost, že uvedená událost nastane. Tato funkce f X (S) definovaná jako f (xi) = P (X = xi) se někdy nazývá funkce pravděpodobnostní hmotnosti.

Tato hmotnost pravděpodobností je obvykle reprezentována jako tabulka. Protože X je diskrétní náhodná proměnná, X (S) má konečný počet událostí nebo počítatelné nekonečno. Mezi nejběžnější diskrétní rozdělení pravděpodobnosti máme rovnoměrné rozdělení, binomické rozdělení a Poissonovo rozdělení.

Index

• 1 Charakteristika
• 2 Typy
  • 2.1 Jednotné rozdělení na n bodů
  • 2.2 Binomické rozdělení
  • 2.3 Poissonovo rozdělení
  • 2.4 Hypergeometrické rozdělení
• 3 Řešené úlohy
  • 3.1 První cvičení
  • 3.2 Druhé cvičení
  • 3.3 Třetí cvičení
  • 3.4 Třetí cvičení
• 4 Odkazy

Vlastnosti

Funkce rozdělení pravděpodobnosti musí splňovat následující podmínky:

Také, jestliže X vezme jen konečný počet hodnot (například x1, x2, ..., xn), pak p (xi) = 0 jestliže i> ny, proto, nekonečná řada podmínky b stane se konečná řada.

Tato funkce také splňuje následující vlastnosti:

Nechť B je událost spojená s náhodnou proměnnou X. To znamená, že B je obsažena v X (S). Předpokládejme, že B = xi1, xi2, .... Proto:

Jinými slovy: pravděpodobnost události B se rovná součtu pravděpodobností jednotlivých výsledků spojených s B.

Z toho můžeme usuzovat, že pokud a < b, los sucesos (X ≤ a) y (a < X ≤ b)  son mutuamente excluyentes y, además, su unión es el suceso (X ≤ b), por lo que tenemos:

Typy

Jednotné rozdělení na n bodů

Říká se, že náhodná proměnná X následuje distribuci, která je charakterizována tím, že je jednotná v n bodech, pokud každá hodnota má stejnou pravděpodobnost. Jeho hmotnostní funkce je:

Předpokládejme, že máme experiment, který má dva možné výsledky, může to být házení mince, jejíž možné výsledky jsou tvář nebo razítko, nebo volba celého čísla, jehož výsledkem může být sudé číslo nebo liché číslo; tento typ experimentu je známý jako Bernoulliho testy.

Obecně platí, že dva možné výsledky se nazývají úspěchy a neúspěchy, kde p je pravděpodobnost úspěchu a 1-násobek selhání. Můžeme určit pravděpodobnost x úspěchů v n Bernoulliho testech, které jsou na sobě nezávislé s následujícím rozdělením.

Binomické rozdělení

Je to právě tato funkce, která představuje pravděpodobnost získání x úspěchů v n nezávislých Bernoulliho testech, jejichž pravděpodobnost úspěchu je p. Jeho hmotnostní funkce je:

Následující graf představuje funkční hmotnost pravděpodobnosti pro různé hodnoty parametrů binomického rozdělení.

Následující rozdělení vděčí za jeho jméno francouzskému matematikovi Simeon Poisson (1781-1840), kdo získal to jako limit binomického rozdělení..

Poissonovo rozdělení

Říká se, že náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení parametru λ, když může mít kladné celočíselné hodnoty 0,1,2,3, ... s následující pravděpodobností:

V tomto výrazu λ je průměrné číslo odpovídající výskytu události pro každou jednotku času a x je počet, kolikrát událost nastane..

Jeho hmotnostní funkce je:

Dále graf, který představuje funkci pravděpodobnostní hmotnosti pro různé hodnoty parametrů Poissonova rozdělení.

Všimněte si, že pokud je počet úspěchů nízký a počet n testů prováděných v binomickém rozložení je vysoký, můžeme tyto distribuce vždy přibližovat, protože Poissonovo rozdělení je limitem binomického rozdělení..

Hlavní rozdíl mezi těmito dvěma distribucemi je to, zatímco binomial závisí na dvou parametrech - jmenovitě, n a p -, Poissonovo jediné závisí na λ, který je někdy nazvaný intenzita distribuce..

Dosud jsme mluvili pouze o rozdělení pravděpodobnosti pro případy, kdy jsou různé experimenty na sobě nezávislé; to znamená, když výsledek jednoho není ovlivněn nějakým jiným výsledkem.

V případě, že se vyskytnou experimenty, které nejsou nezávislé, je hypergeometrická distribuce velmi užitečná.

Hypergeometrické rozdělení

Nechť N je celkový počet objektů konečné množiny, z nichž můžeme určitým způsobem identifikovat k, tvořící podmnožinu K, jejíž komplement je tvořen zbývajícími prvky N-k.

Pokud náhodně vybereme n objektů, náhodná proměnná X, která představuje počet objektů patřících do K v těchto volbách, má hypergeometrické rozdělení parametrů N, n a k. Jeho hmotnostní funkce je:

Následující graf představuje funkční hmotnost pravděpodobnosti pro různé hodnoty parametrů hypergeometrického rozdělení.

Vyřešená cvičení

První cvičení

Předpokládejme, že pravděpodobnost, že rádiová trubka (vložená do určitého typu zařízení) pracuje déle než 500 hodin, je 0,2. Pokud je testováno 20 zkumavek, jaká je pravděpodobnost, že přesně k z nich bude fungovat více než 500 hodin, k = 0, 1,2, ..., 20?

Řešení

Jestliže X je počet trubek, které pracují více než 500 hodin, předpokládáme, že X má binomické rozdělení. Pak

A tak:

Pro k ≥ 11 jsou pravděpodobnosti menší než 0,001

Můžeme tedy vidět, jak se zvyšuje pravděpodobnost, že tato práce přesáhne 500 hodin, dokud nedosáhne své maximální hodnoty (s k = 4) a poté začne klesat..

Druhé cvičení

Mince je hozena 6 krát. Když je výsledek drahý, řekneme, že je to úspěch. Jaká je pravděpodobnost, že dvě tváře vyjdou přesně?

Řešení

V tomto případě máme n = 6 a jak pravděpodobnost úspěchu, tak selhání jsou p = q = 1/2

Proto je pravděpodobnost, že budou zadány dvě tváře (tj. K = 2)

Třetí cvičení

Jaká je pravděpodobnost nalezení alespoň čtyř tváří?

Řešení

V tomto případě máme k = 4, 5 nebo 6

Třetí cvičení

Předpokládejme, že 2% výrobků vyrobených v továrně jsou vadné. Najděte pravděpodobnost P, že ve vzorku 100 položek jsou tři vadné položky.

Řešení

V tomto případě bychom mohli aplikovat binomické rozdělení pro n = 100 a p = 0,02, což je výsledkem:

Jelikož je však p malé, používáme Poissonovu aproximaci s λ = np = 2. Takže,

Odkazy

1. Kai Lai Chung Elementární teorie pravděpodobnosti se stochastickými procesy. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Rosen, diskrétní matematika a její aplikace. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Pravděpodobnost a statistické aplikace. S.A. MEXIKO ALHAMBRA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Diskrétní matematické problémy. McGRAW-HILL.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teorie a problémy pravděpodobnosti. McGRAW-HILL.