Algebraické deriváty (s příklady)

algebraické deriváty spočívají ve studiu derivace v konkrétním případě algebraických funkcí. Původ pojmu derivace sahá až do starověkého Řecka. Vývoj tohoto pojmu byl motivován potřebou řešit dva důležité problémy, jeden ve fyzice a druhý v matematice.

Ve fyzice, derivát řeší problém stanovení okamžité rychlosti pohybujícího se objektu. V matematice můžete najít tečnou přímku k křivce v daném bodě.

Ačkoliv existuje mnohem více problémů, které jsou řešeny pomocí derivátu, stejně jako jeho zobecnění, výsledky, které přišly po zavedení jeho koncepce.

Průkopníci diferenciálního počtu jsou Newton a Leibniz. Než udělíme formální definici, vyvine myšlenku z matematického a fyzického hlediska.

Index

• 1 Derivace jako sklon tečny k křivce
• 2 Derivace jako okamžitá rychlost pohybujícího se objektu
  • 2.1 Algebraická funkce
• 3 Pravidla odvození
  • 3.1 Odvozeno z konstanty
  • 3.2 Derivace výkonu
  • 3.3 Odvozeno z sčítání a odčítání
  • 3.4 Derivace produktu
  • 3.5 Odvozeno z kvocientu
  • 3.6 Pravidlo řetězce
• 4 Odkazy

Derivace jako sklon tečné přímky k křivce

Předpokládejme, že graf funkce y = f (x) je spojitý graf (bez píků nebo vrcholů nebo separací) a nechť A = (a, f (a)) je na něm pevným bodem. Chceme najít rovnici tečny k grafu funkce fv bodě A.

Vezměte jakýkoliv jiný bod P = (x, f (x)) grafu, blízko bodu A, a nakreslete sečnou čáru, která prochází přes A a P. Šikmá čára je čára, která ořezává graf křivky v jednom. nebo více bodů.

Chcete-li získat tečnou přímku, kterou chceme, musíme pouze vypočítat sklon, protože již máme bod na řádku: bod A.

Posuneme-li bod P podél grafu a přiblížíme ho blíže k bodu A, výše uvedená sečnicí čára se přiblíží k tečné přímce, kterou chceme najít. Když vezmeme limit, když "P inklinuje k A", obě linie se budou shodovat, proto i jeho svahy.

Sklon šikmé čáry je dán vztahem

Chcete-li říci, že P přístupy A je ekvivalentní s tím, že "x" se blíží "a". Sklon čáry tečny k grafu f v bodě A tedy bude roven:

Výše uvedený výraz je označen f '(a) a je definován jako derivace funkce f v bodě "a". Vidíme tedy, že analyticky, derivace funkce v bodě je limit, ale geometricky je to sklon čáry tečny k grafu funkce v bodě.

Nyní uvidíme tento pojem z hlediska fyziky. Dosáhneme stejného vyjádření předchozího limitu, i když jiným způsobem, abychom dosáhli jednomyslnosti definice.

Derivace jako okamžitá rychlost pohybujícího se objektu

Podívejme se na stručný příklad toho, co znamená okamžitá rychlost. Když se například řekne, že auto, které se dostalo k cíli, tak učinilo rychlostí 100 km / h, což znamená, že během jedné hodiny cestovalo 100 km.

To nemusí nutně znamenat, že během celé hodiny bylo auto vždy 100 km daleko, rychloměr vozidla mohl v některých okamžicích označit méně nebo více. Pokud měl potřebu zastavit se na semaforu, rychlost v té chvíli byla 0 km. Po hodině však byla trasa 100 km.

To je to, co je známo jako průměrná rychlost a je dáno podílem ujeté vzdálenosti mezi uplynulým časem, jak jsme právě viděli. Okamžitá rychlost, na druhé straně, je ta, která označí jehlu rychloměru automobilu v okamžiku (čas) určeném.

Podívejme se na to nyní všeobecněji. Předpokládejme, že se objekt pohybuje podél čáry a že toto posunutí je reprezentováno pomocí rovnice s = f (t), kde proměnná t měří čas a proměnnou s posunutí, s ohledem na jeho počátek v okamžik t = 0, kdy je také nula, tj. f (0) = 0.

Tato funkce f (t) je známa jako funkce polohy.

Je hledán výraz pro okamžitou rychlost objektu v pevném okamžiku "a". Při této rychlosti ji označíme písmenem V (a).

Nechť t být každý okamžik v blízkosti okamžiku "a". V časovém intervalu mezi „a“ a „t“ je změna polohy objektu dána f (t) -f (a).

Průměrná rychlost v tomto časovém intervalu je:

Což je aproximace okamžité rychlosti V (a). Tato aproximace bude lepší, když se přiblíží "a". Proto,

Všimněte si, že tento výraz je roven výrazu získanému v předchozím případě, ale z jiné perspektivy. Toto je to, co je známo jako derivace funkce f v bodě "a" a je označeno f '(a), jak je uvedeno výše.

Všimněte si, že provedení změny h = x-a máme, že když "x" inklinuje k "a", "h" inklinuje k 0 a předchozí limit je transformován (ekvivalentně) na:

Oba výrazy jsou rovnocenné, ale někdy je lepší použít jeden místo druhého, v závislosti na případu.

Derivace funkce f je pak definována obecněji v libovolném bodě "x" patřící do její domény jako

Nejběžnější zápis pro reprezentaci derivace funkce y = f (x) je ten, který jsme právě viděli (f 'o a'). Další široce používaný zápis je však zápis Leibniz, který je reprezentován jako některý z následujících výrazů:

Vzhledem k tomu, že derivát je v podstatě limitem, může nebo nemusí existovat, protože limity vždy neexistují. Pokud existuje, je řečeno, že dotyčná funkce je v daném bodě diferencovatelná.

Algebraická funkce

Algebraická funkce je kombinací polynomů pomocí součtů, odčítání, produktů, kvocientů, sil a radikálů.

Polynom je vyjádření formy

P_n= a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+ a_n-2x^n-2+... + a₂x²+ a₁x + a₀

Kde n je přirozené číslo a všechny a_i, s i = 0,1, ..., n jsou racionální čísla a a_n≠ 0 V tomto případě se říká, že stupeň tohoto polynomu je n.

Níže jsou uvedeny příklady algebraických funkcí:

Zde nejsou zahrnuty exponenciální, logaritmické a trigonometrické funkce. Pravidla odvozování, která uvidíme níže, platí pro funkce obecně, ale omezíme se a použijeme je v případě algebraických funkcí.

Bypass pravidla

Odvozeno z konstanty

Stanoví, že derivace konstanty je nulová. To znamená, že pokud f (x) = c, pak f '(x) = 0. Například derivace konstantní funkce 2 se rovná 0.

Odvozeno z moci

Pokud f (x) = xⁿ, pak f '(x) = nx^n-1. Například derivace x³ Je to 3x². V důsledku toho získáme, že derivace funkce identity f (x) = x je f '(x) = 1x^1-1= x⁰= 1.

Další příklad je následující: být f (x) = 1 / x², pak f (x) = x^-2 a f '(x) = - 2x^-2-1= -2x^-3.

Tato vlastnost je také platným kořenem, protože kořeny jsou racionální síly a výše uvedené platí i v tomto případě. Například derivace druhé odmocniny je dána

Odvozeno ze součtu a odčítání

Jestliže f a g jsou diferencovatelné funkce v x, pak součet f + g je také jiný a že (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

Analogicky máme (f-g) '(x) = f' (x) -g '(x). Jinými slovy, derivace součtu (odčítání) je součtem (nebo odečtením) derivátů.

Příklad

Pokud h (x) = x²+x-1

h '(x) = (x²) + (x) '- (1)' = 2x + 1-0 = 2x + 1.

Odvozen z produktu

Jestliže f a g jsou diferencovatelné funkce v x, pak je produkt fg také diferencovatelný v x a je splněn

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

V důsledku toho máme, že pokud c je konstanta a f je diferencovatelná funkce v x, pak cf je také diferencovatelná v x a (cf) '(x) = cf' (X).

Příklad

Pokud f (x) = 3x (x²+1)

f '(x) = (3x)' (x²+1) + (3x) (x²+1) '= 3 (x)' (x²+1) + 3x [(x²) „+ (1)“]

= 3 (1) (x²+1) + 3x [(2x^2-1) +0] = 3 (x²+1) + 3x (2x) = 3x²+3 + 6x²

= 9x²+3.

Odvozeno z kvocientu

Jestliže f a g jsou diferencovatelné v x a g (x) ≠ 0, pak f / g je také rozlišitelný v x, a to je pravda, že

Příklad: jestliže h (x) = x³/ (x²-5x)

h '(x) = [(x³) “(x⁵-5x) - (x³) (x⁵-5x) '] / (x⁵-5x)²= [(3x²) (x⁵-5x) - (x³) (5x⁴-5)] / (x⁵-5x)².

Řetězové pravidlo

Toto pravidlo umožňuje odvození složení funkcí. To stanoví následující: jestliže y = f (u) je differentiable v u, yu = g (x) je differentiable v x, pak složená funkce f (g (x)) je differentiable v x, a to je splněno to [f (\ t g (x))] '= f' (g (x)) g '(x).

To znamená, že derivace složené funkce je výsledkem derivace vnější funkce (vnější derivace) derivací vnitřní funkce (vnitřní derivace).

Příklad

Pokud f (x) = (x⁴-2x)³, pak

f '(x) = 3 (x⁴-2x)²(x⁴-2x) '= 3 (x⁴-2x)²(4x³-2).

Existují také výsledky pro výpočet derivace inverzní funkce, stejně jako zobecnění na deriváty vyššího řádu. Aplikace jsou rozsáhlé. Mezi nimi vyzdvihují své nástroje v problematice optimalizace a maximálních a minimálních funkcí.

Odkazy

1. Alarcon, S., González, M., & Quintana, H. (2008). Diferenciální výpočet. ITM.
2. Cabrera, V. M. (1997). Výpočet 4000. Editorial Progreso.
3. Castaño, H. F. (2005). Matematika před výpočtem. Univerzita Medellin.
4. Eduardo, N. A. (2003). Úvod do výpočtu. Mezní verze.
5. Zdroje, A. (2016). ZÁKLADNÍ MATEMATIKA. Úvod do výpočtu. Lulu.com.
6. Purcell, E. J., Rigdon, S.E., & Varberg, D.E. (2007). Výpočet. Pearson Education.
7. Saenz, J. (2005). Diferenciální výpočet (Druhé vydání). Barquisimeto: Hypotenuse.
8. Thomas, G. B., & Weir, M. D. (2006). Výpočet: několik proměnných. Pearson Education.