Postupné derivace (s řešenými cvičeními)

 následných derivátů jsou deriváty funkce po druhém derivátu. Proces výpočtu následných derivátů je následující: máme funkci f, kterou můžeme odvodit, a tím získat derivační funkci f '. K této derivaci f můžeme znovu odvodit, získat (f ')'.

Tato nová funkce se nazývá druhá derivace; všechny deriváty vypočtené z druhého jsou postupné; Tyto, nazývané také vyšší řády, mají velké aplikace, jako je poskytování informací o grafu funkce, druhý derivační test pro relativní extrémy a určování nekonečných řad.

Index

• 1 Definice
  • 1.1 Příklad 1
  • 1.2 Příklad 2
• 2 Rychlost a zrychlení
  • 2.1 Příklad 1
  • 2.2 Příklad 2
• 3 Aplikace
  • 3.1 Zjednodušená derivace
  • 3.2 Příklad
  • 3.3 Relativní konce
  • 3.4 Příklad
  • 3.5 Taylorovy řady
  • 3.6 Příklad
• 4 Odkazy

Definice

Pomocí Leibnizovy notace máme, že derivace funkce "a" vzhledem k "x" je dy / dx. Chcete-li vyjádřit druhou derivaci "a" pomocí notace Leibniz, píšeme takto:

Obecně můžeme následnými deriváty vyjádřit Leibnizovou notací, kde n představuje pořadí derivátu.

Další použité údaje jsou následující:

Některé příklady, kde můžeme vidět různé zápisy, jsou:

Příklad 1

Získat všechny deriváty funkce f definované:

Pomocí obvyklých derivačních technik máme, že derivace f je:

Opakováním procesu můžeme získat druhou derivaci, třetí derivaci a tak dále.

Všimněte si, že čtvrtá derivace je nula a derivace nuly je nulová, takže musíme:

Příklad 2

Vypočítejte čtvrtou derivaci následující funkce:

Výsledkem je odvození dané funkce:

Rychlost a zrychlení

Jednou z motivací, které vedly k objevení derivace, bylo hledání definice okamžité rychlosti. Formální definice je následující:

Nechť y = f (t) je funkce, jejíž graf popisuje trajektorii částice v okamžiku t, pak jeho rychlost v okamžiku t je dána vztahem:

Jakmile získáme rychlost částice, můžeme vypočítat okamžité zrychlení, které je definováno následovně:

Okamžité zrychlení částice, jejíž dráha je dána hodnotou y = f (t), je:

Příklad 1

Částice se pohybuje po čáře podle funkce pozice:

Kde se "y" měří v metrech a "t" v sekundách.

- V jaké chvíli je vaše rychlost 0?

- V jakém okamžiku je vaše zrychlení 0?

Při odvozování funkce polohy "a" máme za to, že její rychlost a zrychlení jsou dány:

Aby bylo možné odpovědět na první otázku, stačí určit, kdy se funkce v stane nulou; toto je:

Obdobně následujeme následující otázku:

Příklad 2

Částice se pohybuje po čáře podle následující rovnice pohybu:

Určete "t, y" a "v", když a = 0.

Vědět, že rychlost a zrychlení jsou dány

Pokračujeme v získávání a získávání:

Tím a = 0 máme:

Z toho můžeme usuzovat, že hodnota t pro a rovna nule je t = 1.

Poté, když hodnotíme funkci polohy a funkci rychlosti při t = 1, musíme:

Aplikace

Zjednodušená derivace

Následné deriváty mohou být také získány implicitní derivací.

Příklad

Vzhledem k následující elipse najděte "a":

Odvození implicitně s ohledem na x máme:

Pak se implicitně odvozuje implicitně s ohledem na x, což nám dává:

Konečně máme:

Relativní konce

Další využití, které můžeme poskytnout derivátům druhého řádu, je ve výpočtu relativních konců funkce.

Kritérium prvního derivátu pro lokální extrémy nám říká, že pokud máme funkci f spojitou v rozsahu (a, b) a existuje c, které patří do tohoto intervalu, tak je f 'zrušeno v c (tj. C). je kritický bod), jeden z těchto tří případů může nastat:

- Jestliže f '(x)> 0 pro libovolné x patřící k (a, c) a f' (x)<0 para x perteneciente a (c,b), entonces f(c) es un máximo local.

- Pokud f (x) < 0 para cualquier x perteneciente a (a,c) y f'(x)>0 pro x patřící k (c, b), pak f (c) je místní minimum.

- Jestliže f '(x) má stejné znaménko v (a, c) a v (c, b), znamená to, že f (c) není lokální koncový bod.

Pomocí kritéria druhého derivátu můžeme vědět, zda kritické číslo funkce je maximální nebo lokální minimum, aniž by bylo nutné vidět, co je znakem funkce ve výše uvedených intervalech.

Kritérium druhé derivace nám říká, že pokud f '(c) = 0 a že f "(x) je spojité v (a, b), stává se, že když f" (c)> 0 pak f (c) je místní minimum a pokud f "(c) < 0 entonces f(c) es un máximo local.

Pokud f "(c) = 0, nemůžeme nic uzavřít.

Příklad

Vzhledem k funkci f (x) = x⁴ + (4/3) x³ - 4x², najít relativní maxima a minima pro použití kritéria druhého derivátu.

Nejprve vypočítáme f '(x) a f "(x) a máme:

f '(x) = 4x³ + 4x² - 8x

f "(x) = 12x² + 8x - 8

Nyní, f '(x) = 0 jestliže, a jediný jestliže 4x (x + 2) (x - 1) = 0, a toto se stane když x = 0, x = 1 nebo x = - 2 \ t.

K určení, zda získaná kritická čísla jsou relativní extrémy, stačí vyhodnotit v f "a tedy pozorovat jeho znaménko.".

f "(0) = - 8, takže f (0) je lokální maximum.

f "(1) = 12, takže f (1) je místní minimum.

f "(- 2) = 24, takže f (- 2) je místní minimum.

Taylorovy řady

Nechť f je funkce definovaná následovně:

Tato funkce má poloměr konvergence R> 0 a má derivace všech řádů v (-R, R). Následné deriváty f nám:

Když vezmeme x = 0, můžeme získat hodnoty c_n založené na jejích derivátech: \ t

Pokud vezmeme n = 0 jako funkci f (tj. F ^ 0 = f), pak můžeme funkci přepsat následovně:

Vezměme nyní funkci jako sérii sil v x = a:

Provádíme-li analogickou analýzu s předchozí, museli bychom napsat funkci f jako:

Tyto série jsou známé jako Taylorovy řady fv a. Když a = 0 máme konkrétní případ, který se nazývá série Maclaurin. Tento typ řady má velký význam zejména v numerické analýze, protože díky nim můžeme definovat funkce v počítačích, jako jsou např.^x , sin (x) a cos (x).

Příklad

Získejte Maclaurin série pro e^x.

Všimněte si, že pokud f (x) = e^x, potom f⁽ⁿ⁾(x) = e^x a f⁽ⁿ⁾(0) = 1, což je důvod, proč jeho série Maclaurin je:

Odkazy

1. Frank Ayres, J., & Mendelson, E. (s.f.). 5ed výpočet. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). VÝPOČET s analytickou geometrií. HARLA, S.A.
3. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Výpočet. Mexiko: Pearsonovo vzdělávání.
4. Saenz, J. (2005). Diferenciální výpočet. Hypotenuse.
5. Saenz, J. (s.f.). Komplexní kalkul. Hypotenuse.