Axiomatické metody, kroky, příklady



axiomatická metoda nebo také nazvaný Axiomatics je formální procedura používaná vědami prostředky který sdělení nebo výroky volaly axioms jsou formulovány, spojený k sobě vzájemným odpočtem vztah a který být východisko pro hypotézu nebo podmínky určitého systému..

Tato obecná definice musí být koncipována v rámci vývoje, který tato metodika měla v průběhu historie. Za prvé, existuje starodávná metoda nebo obsah, narozený ve starověkém Řecku od Euclida a později vyvinutý Aristotelem.

Za druhé, již v devatenáctém století se objevila geometrie s axiomy odlišnými od Euclida. A konečně formální nebo moderní axiomatická metoda, jejímž maximálním exponentem byl David Hilbert.

Tento postup byl v průběhu času základem deduktivní metody používané v geometrii a logice, kde vznikl. To bylo také používáno ve fyzice, chemii a biologii.

A to bylo dokonce aplikováno na právní vědu, sociologii a politickou ekonomii. V současné době je však jeho nejvýznamnější oblastí použití matematika a symbolická logika a některá odvětví fyziky, jako je termodynamika, mechanika a další disciplíny..

Index

  • 1 Charakteristika 
    • 1.1 Stará axiomatická metoda nebo obsah 
    • 1.2 Neeuklidovská axiomatická metoda
    • 1.3 Moderní nebo formální axiomatická metoda
  • 2 kroky 
  • 3 Příklady
  • 4 Odkazy

Vlastnosti

Ačkoliv základním rysem této metody je formulace axiomů, nejsou vždy posuzovány stejným způsobem.

Existují některé, které mohou být definovány a konstruovány libovolným způsobem. A další, podle modelu, ve kterém je uvažována jeho intuitivně zaručená pravda.

Abychom přesně porozuměli tomu, co tento rozdíl spočívá, a jeho důsledky, je nutné přezkoumat vývoj této metody.

Stará axiomatická metoda nebo obsah 

Je to ten, který vznikl ve starověkém Řecku kolem 5. století před naším letopočtem. Jeho oblastí použití je geometrie. Základním dílem této etapy jsou prvky Euclida, i když se má za to, že před ním Pythagoras již porodil axiomatickou metodu.

Řekové tedy berou určitá fakta jako axiomy, aniž by vyžadovali jakýkoli logický důkaz, tj. Bez nutnosti demonstrace, protože pro ně jsou samozřejmou pravdou.

Pro jeho část Euclides představuje pět axioms pro geometrii: \ t

1 - Vzhledem ke dvěma bodům je čára, která je obsahuje nebo je propojuje.

2-Libovolný segment může pokračovat nepřetržitě na neomezené linii na obou stranách.

3 - Můžete nakreslit kruh, který má střed v libovolném bodě a jakýkoliv poloměr.

4-pravý úhel je stejný.

5-Vezmeme-li jakoukoliv přímku a jakýkoli bod, který v ní není, je přímka rovnoběžná s tím, která obsahuje tento bod. Tato axioma je později známa jako axiom paralel a byla také vyjádřena jako: bodem mimo čáru lze nakreslit jednu paralelu.

Nicméně, oba Euclid a pozdnější matematici, souhlasit, že pátá axiom není jak jasný intuitivně jak jiný 4. Dokonce během Renaissance se snaží odvodit pátý jiných 4, ale to není možné..

Toto dělalo to už v devatenáctém století, ti kdo udržoval pět byl podporovatelé euclidean geometrie a ti kdo popřel pátý, byli ti kdo vytvořil non-Euclidean geometries \ t.

Neeuklidovská axiomatická metoda

Je to právě Nikolaj Ivanovič Lobachevski, János Bolyai a Johann Karl Friedrich Gauss, kteří vidí možnost konstruování, bez rozporu, geometrie, která pochází ze systémů axiomů odlišných od systémů Euclid. Toto ničí víru v absolutní nebo a priori pravdu axiomů a teorií, které z nich pocházejí..

Axiomy tedy začínají být koncipovány jako výchozí body dané teorie. Také jak jejich volba, tak i problém jejich platnosti jedním nebo druhým způsobem se začínají vztahovat na fakta mimo axiomatickou teorii.

Tímto způsobem se objevují geometrické, algebraické a aritmetické teorie konstruované pomocí axiomatické metody.

Tato etapa vrcholí vytvořením axiomatických systémů pro aritmetiku, jako je Giuseppe Peano v roce 1891; geometrie Davida Huberta v roce 1899; prohlášení a predikční výpočty Alfreda Northa Whiteheada a Bertranda Russella v Anglii v roce 1910; axiomatická teorie souborů Ernsta Friedricha Ferdinanda Zermela v roce 1908.

Moderní nebo formální axiomatická metoda

Právě David Hubert iniciuje koncepci formální axiomatické metody, která vede k jejímu vyvrcholení, David Hilbert.

Je to právě Hilbert, kdo formalizuje vědecký jazyk, s ohledem na jeho tvrzení jako vzorce nebo posloupnosti znaků, které samy o sobě nemají žádný význam. Význam mají jen v určité interpretaci.

VZáklady geometrie„Vysvětluje první příklad této metodiky. Odtud se geometrie stává vědou o čistých logických důsledcích, které jsou extrahovány ze systému hypotéz nebo axiomů, lépe artikulovaných než euklidovský systém.

Je to proto, že ve starém systému je axiomatická teorie založena na důkazech axiomů. Zatímco základ formální teorie je dán demonstrací non-rozpor jeho axioms.

Kroky

Postup, který provádí axiomatické strukturování ve vědeckých teoriích, uznává:

a-výběr určitého počtu axiomů, tj. řada návrhů určité teorie, které jsou přijímány, aniž by bylo nutné je demonstrovat.

b-koncepty, které jsou součástí těchto propozic, nejsou určeny v rámci dané teorie.

c-pravidla vymezení a dedukce dané teorie jsou pevně stanovena a umožňují v rámci teorie zavést nové koncepty a logicky odvodit některé tvrzení z jiných.

d-ostatní tvrzení teorie, tj. věta, jsou odvozeny z a na základě c.

Příklady

Tato metoda může být ověřena demonstrací dvou nejznámějších Euclidových teorém: věta o noze a věta o výšce..

Oba vycházejí z pozorování tohoto řeckého geometru, že když je výška vynesena s ohledem na přepětí v pravoúhlém trojúhelníku, dva trojúhelníky vypadají více než původní. Tyto trojúhelníky jsou si navzájem podobné a zároveň podobné trojúhelníku původu. To předpokládá, že jejich příslušné homologní strany jsou proporcionální.

Lze vidět, že shodné úhly v trojúhelnících tímto způsobem ověřují podobnost, která existuje mezi třemi zúčastněnými trojúhelníky podle kritéria podobnosti AAA. Toto kritérium má za to, že když dva trojúhelníky mají všechny své stejné úhly, jsou podobné.

Jakmile jsou trojúhelníky ukázány jako podobné, mohou být stanoveny proporce uvedené v první větě. Uvádí, že v pravoúhlém trojúhelníku je měření každého katétru geometrickým proporcionálním průměrem mezi propustí a projekcí katétru v ní..

Druhá věta je výška věty. Určuje, že jakýkoli pravoúhlý trojúhelník o výšce, která je nakreslena podle odpony, je geometrickým proporcionálním středem mezi segmenty, které jsou určeny uvedenou geometrickou střední hodnotou na přepětí..

Samozřejmě, že obě věty mají mnoho aplikací po celém světě nejen v oblasti vzdělávání, ale také v oblasti strojírenství, fyziky, chemie a astronomie..

Odkazy

  1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Geometrie, formalismus a intuice: David Hilbert a formální axiomatická metoda (1895-1905). Philosophy Magazine, svazek 39 Núm. 2, str.121-146. Převzato z webu revtas.ucm.es.
  2. Hilbert, Davide. (1918) Axiomatické myšlení. V W. Ewald, editor, od Kant k Hilbert: zdrojová kniha v založení matematiky. Svazek II, str. 1105-1114. Oxford University Press. 2005 a.
  3. Hintikka, Jaako. (2009). Co je to axiomatická metoda? Synthese, listopad 2011, svazek 189, str. 69-85. Převzato z odkazu.springer.com.
  4. López Hernández, José. (2005). Úvod do filosofie současného práva. (str. 48-49). Převzato ze stránek books.google.com.ar.
  5. Nirenberg, Ricardo. (1996) Axiomatická metoda, četbou Ricardo Nirenberg, podzim 1996, univerzita u Albany, projektovat renesanci. Převzato z Albany.edu.
  6. Venturi, Giorgio. (2015) Hilbert mezi formální a neformální stránkou matematiky. Rukopis vol. 38 č. 2, Campinas červenec / srpen 2015. Převzato z scielo.br.