Co jsou relativní bratranci? Charakteristiky a příklady

Říká se to příbuzní bratranci (coprimos nebo bratranci příbuzní ke každému jiný) k nějakému páru celých čísel, která nemají nějaký dělitel společný, kromě 1 \ t.

Jinými slovy, dvě celá čísla jsou příbuzní bratranci, pokud ve svém rozkladu v prvočíselných číslech nemají společný faktor.

Například, jestliže jsou vybrány 4 a 25, rozložení primárního faktoru každého z nich je 2, resp. Jak je zřejmé, tyto nemají žádný společný faktor, proto 4 a 25 jsou příbuzní bratranci.

Na druhé straně, pokud jsou vybrány 6 a 24, při jejich rozkladu v prvočíselných faktorech získáme, že 6 = 2 * 3 a 24 = 2³ * 3.

Jak vidíte, tyto poslední dva výrazy mají alespoň jeden společný faktor, proto nejsou relativní prvočísla.

Relativní bratranci

Jedna věc, na kterou je třeba dávat pozor, je to, že říkat, že dvojice celých čísel je relativní připravuje, je, že to neznamená, že některý z nich je prvočíslem.

Na druhé straně, definice nahoře může být shrnuta následovně: dvě celá čísla “a” a “b” být relativní připraví jestliže, a jediný jestliže, největší společný dělitel těchto je 1, to je, mcd (\ t a, b) = 1.

Dva bezprostřední závěry této definice jsou, že:

-Jestliže "a" (nebo "b") je prvočíslo, pak mcd (a, b) = 1.

-Jsou-li "a" a "b" prvočísla, pak mcd (a, b) = 1.

To znamená, že pokud alespoň jedno z vybraných čísel je prvočíslo, pak přímo dvojice čísel jsou relativní.

Další funkce

Další výsledky, které se používají k určení, zda jsou dvě čísla relativní připravena, jsou:

-Jestliže dvě celá čísla jsou konsekutivní pak tito jsou příbuzní bratranci.

-Dvě přirozená čísla "a" a "b" jsou relativní prvočísla, pokud a pouze tehdy, jsou-li čísla "(2 ^ a) -1" a "(2 ^ b) -1" relativní prvočísel.

-Dvě celá čísla "a" a "b" jsou relativní prvočísla, pokud a pouze tehdy, když vyneseme bod (a, b) do kartézské roviny a sestavíme čáru, která prochází původem (0,0) a (a). , b) neobsahuje žádné body s celkovými souřadnicemi.

Příklady

1.- Uvažujme celá čísla 5 a 12. Prvním faktorem dekompozice obou čísel jsou: 5 a 2² * 3. Závěrem lze říci, že gcd (5,12) = 1, proto 5 a 12 jsou relativní primy.

2.- Nechte čísla -4 a 6. Pak -4 = -2² a 6 = 2 * 3, takže LCD (-4,6) = 2 ≠ 1. V závěru -4 a 6 nejsou příbuzní bratranci.

Pokud budeme pokračovat v grafu čáry, která prochází uspořádanými páry (-4,6) a (0,0), a určíme rovnici tohoto řádku, můžeme ověřit, že prochází bodem (-2,3).

Opět se dospělo k závěru, že -4 a 6 nejsou příbuzní bratranci.

3.- Čísla 7 a 44 jsou relativní připravena a díky výše uvedenému lze rychle uzavřít, protože číslo 7 je prvočíslo.

4.- Uvažujme čísla 345 a 346. Při dvou po sobě následujících číslech se ověřuje, že mcd (345,346) = 1, tedy 345 a 346 jsou relativní připravení.

5.- Jestliže čísla 147 a 74 jsou zvažováni, pak tito jsou příbuzní bratranci, protože 147 = 3 * 7? A 74 = 2 * 37, proto gcd (147,74) = 1 \ t.

6.- Čísla 4 a 9 jsou relativní. Pro demonstraci toho může být použita druhá charakterizace uvedená výše. Ve skutečnosti 2 ^ 4 = 16-1 = 15 a 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.

Získaná čísla jsou 15 a 511. Prvotní rozklady těchto čísel jsou 3 * 5 a 7 * 73, takže mcd (15,511) = 1.

Jak vidíte, použití druhé charakterizace je delším a pracnějším úkolem než přímým ověřením.

7.- Zvažte čísla -22 a -27. Pak lze tato čísla přepsat následovně: -22 = -2 * 11 a -27 = -3³. Proto gcd (-22, -27) = 1, takže -22 a -27 jsou relativní primery.

Odkazy

1. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Úvod do teorie čísel. EUNED.
2. Bourdon, P. L. (1843). Aritmetické prvky. Knihkupectví pánů a synů dětí Calleja.
3. Castañeda, S. (2016). Základní kurz teorie čísel. Univerzita severu.
4. Guevara, M. H. (s.f.). Sada celých čísel. EUNED.
5. Vyšší institut pro vzdělávání učitelů (Španělsko), J. L. (2004). Čísla, formy a objemy v prostředí dítěte. Ministerstvo školství.
6. Palmer, C. I., & Bibb, S. F. (1979). Praktická matematika: aritmetika, algebra, geometrie, trigonometrie a slide slide (dotisk ed.). Reverte.
7. Rock, N. M. (2006). Algebra I je snadné! Tak snadné. Team Rock Press.
8. Smith, S.A. (2000). Algebra. Pearson Education.
9. Szecsei, D. (2006). Základní matematika a pre-algebra (znázorněno na obr.). Kariéra Tisk.
10. Toral, C., & Preciado, M. (1985). 2. Matematický kurz. Editorial Progreso.
11. Wagner, G., Caicedo, A., & Colorado, H. (2010). Základní principy aritmetiky. ELIZCOM S.A.S.