Vlastnosti rovnosti

vlastnosti rovnosti odkazují na vztah mezi dvěma matematickými objekty, buď čísly nebo proměnnými. To je označeno symbolem "=", který vždy jde mezi tyto dva objekty. Tento výraz se používá k určení, že dva matematické objekty představují stejný objekt; jiným slovem, že dva objekty jsou totéž.

Existují případy, kdy je triviální používat rovnost. Například je jasné, že 2 = 2. Pokud však jde o proměnné, není již triviální a má specifická použití. Například pokud máte y = x a na druhé straně x = 7, můžete usoudit, že y = 7 také.

Předchozí příklad je založen na jedné z vlastností rovnosti, jak bude brzy viděno. Tyto vlastnosti jsou nezbytné pro řešení rovnic (rovností zahrnujících proměnné), které tvoří velmi důležitou součást matematiky.

Index

• 1 Jaké jsou vlastnosti rovnosti?
  • 1.1 Reflexní vlastnosti
  • 1.2 Symetrická vlastnost
  • 1.3 Přechodný majetek
  • 1.4 Jednotná vlastnost
  • 1.5 Zrušení majetku
  • 1.6 Náhradní majetek
  • 1.7 Majetek moci v rovnosti
  • 1.8 Vlastnost kořene v rovnosti
• 2 Odkazy

Jaké jsou vlastnosti rovnosti?

Reflexní vlastnosti

Reflexní vlastnost, v případě rovnosti, říká, že každé číslo se rovná sobě a je vyjádřeno jako b = b pro jakékoliv reálné číslo b.

V konkrétním případě rovnosti se tato vlastnost jeví jako zřejmá, ale v jiném typu vztahu mezi čísly to není. Jinými slovy, ne každý vztah reálných čísel tuto vlastnost naplňuje. Například takový případ „méně než“ vztahu (<); ningún número es menor que sí mismo.

Symetrická vlastnost

Symetrická vlastnost pro rovnost říká, že pokud a = b, pak b = a. Bez ohledu na to, v jakém pořadí se proměnné používají, bude to zachováno vztahem rovnosti.

Určitou analogii této vlastnosti lze pozorovat s komutativní vlastností v případě přidávání. Například, protože této vlastnosti to je ekvivalentní psát y = 4 nebo 4 = y.

Přechodná vlastnost

Transitivní vlastnost v rovnosti uvádí, že pokud a = b a b = c, pak a = c. Například 2 + 7 = 9 a 9 = 6 + 3; proto máme u tranzitivní vlastnosti 2 + 7 = 6 + 3.

Jednoduchá aplikace je následující: předpokládejme, že Julian je 14 let a že Mario je stejně starý jako Rosa. Pokud je Rosa stejná jako Julian, jak stará je Mario??

Za tímto scénářem se tranzitivní vlastnost používá dvakrát. Matematicky to je interpretováno takto: buď "a" věk Mario, "b" věk Rosy a "c" věk Juliana. Je známo, že b = c a c = 14.

Pro tranzitivní vlastnost máme b = 14; Rosa má 14 let. Protože a = b a b = 14, používáme opět tranzitivní vlastnost, máme a = 14; to je, že Marioův věk je také 14 let.

Jednotná vlastnost

Jednotná vlastnost je taková, že pokud se obě strany rovnosti přidají nebo násobí stejnou částkou, rovnost se zachová. Například, pokud 2 = 2, pak 2 + 3 = 2 + 3, což je jasné, pak 5 = 5. Tato vlastnost má větší užitek, pokud jde o řešení rovnice.

Předpokládejme například, že budete vyzváni k vyřešení rovnice x-2 = 1. Je vhodné si uvědomit, že řešení rovnice spočívá v explicitním určování proměnné (nebo proměnných), která je zahrnuta na základě určitého čísla nebo dříve zadané proměnné..

Vrátíme-li se k rovnici x-2 = 1, je třeba explicitně zjistit, kolik x stojí. K tomu musí být proměnná vymazána.

To bylo chybně učil, že v tomto případě, jak číslo 2 je záporný, to přejde na druhou stranu rovnosti s pozitivním znamením. Ale není správné říkat to takhle.

V podstatě to, co se děje, je aplikovat jednotný majetek, jak uvidíme níže. Myšlenka je vymazat "x"; to znamená, nechte to na jedné straně rovnice. Podle konvencí je to obvykle vlevo.

Pro tento účel je číslo, které chcete "odstranit", -2. Způsob, jak to udělat, by bylo přidání 2, protože -2 + 2 = 0 a x + 0 = 0. Aby to bylo možné provést bez změny rovnosti, musí být na druhé straně použita stejná operace.

To umožňuje, aby byla jednotná vlastnost realizována: jako x-2 = 1, je-li číslo 2 přidáno na obou stranách rovnosti, jednotná vlastnost říká, že to samé není změněno. Pak máme to x-2 + 2 = 1 + 2, což je ekvivalentní tomu, že x = 3. S tím by se rovnice vyřešila.

Podobně, pokud chcete vyřešit rovnici (1/5) y-1 = 9, můžete použít jednotnou vlastnost následujícím způsobem:

Obecněji lze učinit následující prohlášení:

- Pokud a-b = c-b, pak a = c.

- Pokud x-b = y, pak x = y + b.

- Pokud (1 / a) z = b, pak z = a ×

- Jestliže (1 / c) a = (1 / c) b, pak a = b.

Storno nemovitost

Zrušení majetku je zvláštním případem jednotného vlastnictví, zejména s přihlédnutím k případu odčítání a dělení (které nakonec také odpovídá sčítání a násobení). Tato vlastnost zachází s tímto případem odděleně.

Například, pokud 7 + 2 = 9, pak 7 = 9-2. Nebo pokud 2y = 6, pak y = 3 (dělení dvěma na obou stranách).

Analogicky k předchozímu případu lze prostřednictvím vlastnosti zrušení stanovit následující prohlášení:

- Pokud a + b = c + b, pak a = c.

- Jestliže x + b = y, pak x = y-b.

- Pokud az = b, pak z = b / a.

- Pokud ca = cb, pak a = b.

Náhradní majetek

Známe-li hodnotu matematického objektu, vlastnost substituce uvádí, že tato hodnota může být nahrazena jakoukoliv rovnicí nebo výrazem. Například, jestliže b = 5 a a = bx, pak nahrazení hodnoty “b” v druhé rovnosti, my máme to a = 5x \ t.

Další příklad je následující: jestliže "m" rozdělí "n" a také "n" rozdělí "m", pak to musí být, že m = n.

Ve skutečnosti, říkat, že “m” rozdělí “n” (nebo ekvivalentně, to “m” je dělitel “n”) znamená, že divize m? N je přesný; to je, tím, že rozdělí “m” “n” vy dostanete celé číslo, ne desetinné číslo. Toto může být vyjádřeno tím, že říká, že existuje celé číslo "k" takové, že m = k × n.

Protože “n” také rozdělí “m”, pak tam existuje celé číslo “p” takový to n = p × m. Pro substituční vlastnost máme, že n = p × k × n, a pro to, aby k tomu došlo, existují dvě možnosti: n = 0, v tomto případě bychom měli identitu 0 = 0; nebo p × k = 1, kde identita by musela být n = n.

Předpokládejme, že "n" je nenulové. Pak nutně p × k = 1; proto p = 1 a k = 1. Opětovným použitím substituční vlastnosti při nahrazení k = 1 v rovnici m = k × n (nebo ekvivalentně, p = 1 v n = p × m) se nakonec získá, že m = n, což bylo to, co bylo požadováno, aby bylo prokázáno.

Vlastnictví moci v rovnosti

Jak předtím to bylo viděno to jestliže operace je dělána jako suma, násobení, odčítání nebo dělení v obou termínech rovnosti, to je chráněno, stejným způsobem jiné operace mohou být aplikovány to nemění rovnost \ t.

Klíčem je vždy to udělat na obou stranách rovnosti a předem se ujistit, že operace může být provedena. Takový je případ zmocnění; jestliže, jestliže obě strany rovnice jsou zvýšeny ke stejné moci, tam je ještě rovnost.

Například, jako 3 = 3, pak 3²= 3² (9 = 9). Obecně, dané celé číslo “n”, jestliže x = y, pak xⁿ= yⁿ.

Vlastnost kořene v rovnosti

Toto je zvláštní případ potenciace a je aplikován když síla je non-celé číslo racionální číslo, takový jak?, Který reprezentuje druhou odmocninu. Tato vlastnost uvádí, že pokud je stejný kořen použit na obou stranách rovnosti (pokud je to možné), rovnost je zachována.

Na rozdíl od předchozího případu, musíte být opatrní s paritou kořene, který se bude aplikovat, protože je dobře známo, že sudý kořen záporného čísla není dobře definován.

V případě, že radikál je dokonce, není problém. Například pokud x³= -8, i když je to rovnost, nelze použít druhou odmocninu na obou stranách, například. Pokud však můžete použít kubický kořen (což je ještě výhodnější, chcete-li explicitně znát hodnotu x), získáte to x = -2.

Odkazy

1. Aylwin, C. U. (2011). Logika, sady a čísla. Mérida - Venezuela: Rada publikací, Universidad de Los Andes.
2. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematika 1 ŠVP. Prahová hodnota.
3. Lira, M. L. (1994). Simon a matematika: Matematický text pro druhý základní ročník: studentská kniha. Andres Bello.
4. Preciado, C. T. (2005). Matematický kurz 3o. Editorial Progreso.
5. Segovia, B. R. (2012). Matematické činnosti a hry s Miguelem a Lucií. Baldomero Rubio Segovia.
6. Toral, C., & Preciado, M. (1985). 2. Matematický kurz. Editorial Progreso.