Vlastnosti produktu Cross, vlastnosti a řešené úlohy



Křížový produkt nebo produktový vektor Je to způsob, jak násobit dva nebo více vektorů. Existují tři způsoby, jak násobit vektory, ale žádný z nich není násobením v obvyklém smyslu slova. Jedna z těchto forem je známa jako vektorový produkt, což má za následek třetí vektor.

Vektorový produkt, který se také nazývá křížový produkt nebo externí produkt, má odlišné algebraické a geometrické vlastnosti. Tyto vlastnosti jsou velmi užitečné, zejména ve studiu fyziky.

Index

  • 1 Definice
  • 2 Vlastnosti
    • 2.1 Vlastnost 1
    • 2.2 Vlastnost 2
    • 2.3 Vlastnost 3
    • 2.4 Vlastnost 4 (trojitý skalární produkt)
    • 2.5 Vlastnost 5 (trojitý vektorový produkt)
    • 2.6 Vlastnost 6
    • 2.7 Vlastnost 7
    • 2.8 Vlastnost 8
  • 3 Aplikace
    • 3.1 Výpočet objemu rovnoběžnostěnu
  • 4 Řešené úlohy
    • 4.1 Cvičení 1
    • 4.2 Cvičení 2
  • 5 Odkazy

Definice

Formální definice vektorového produktu je následující: jestliže A = (a1, a2, a3) a B = (b1, b2, b3) jsou vektory, pak vektorový produkt A a B, který budeme označovat jako AxB, je:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

Kvůli notaci AxB, to čte jak “kříž B” \ t.

Příkladem použití externího výrobku je, že pokud A = (1, 2, 3) a B = (3, -2, 4) jsou vektory, pak pomocí definice vektorového produktu máme:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Jiný způsob, jak vyjádřit vektorový produkt, je dán zápisem determinantů.

Výpočet determinantu druhého řádu je dán:

Vzorec vektorového produktu uvedený v definici lze proto přepsat takto:

Toto je obvykle zjednodušené ve třetím pořadí determinant takto: \ t

Kde i, j, k představují vektory, které tvoří základ R3.

Pomocí tohoto způsobu vyjádření křížového produktu máme, že předchozí příklad lze přepsat jako:

Vlastnosti

Některé vlastnosti, které má vektorový produkt, jsou následující:

Nemovitost 1

Pokud A je libovolný vektor v R3, Musíme:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Tyto vlastnosti lze snadno zkontrolovat pouze pomocí definice. Pokud A = (a1, a2, a3) musíme:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Pokud i, j, k představují jednotkovou bázi R3, Můžeme je napsat takto:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Pak musíme splnit následující vlastnosti:

Jako pravidlo mnemotechniky, pro zapamatování těchto vlastností se obvykle používá následující kruh:

Zde bychom měli poznamenat, že každý vektor sám o sobě má za následek vektor 0 a zbytek produktů lze získat následujícím pravidlem:

Křížový produkt dvou po sobě následujících vektorů ve směru hodinových ručiček dává následující vektor; a když uvažujeme proti směru hodinových ručiček, výsledkem je následující vektor se záporným znaménkem.

Díky těmto vlastnostem vidíme, že vektorový produkt není komutativní; stačí si všimnout, že i x j ≠ j x i. Následující vlastnost nám říká, jak se AxB a BxA týkají obecně.

Nemovitost 2

Jestliže A a B jsou R vektory3, Musíme:

AxB = - (BxA).

Demonstrace

Pokud A = (a1, a2, a3) a B = (b1, b2, b3), máme definici externího produktu:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Můžeme také pozorovat, že tento produkt není asociativní s následujícím příkladem:

ix (ixj) = ixk = - j ale (ixi) xj = 0xj = 0

Z toho můžeme pozorovat, že:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Vlastnost 3

Jestliže A, B, C jsou R vektory3 a r je reálné číslo, platí následující:

- Ax (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Díky těmto vlastnostem můžeme vektorový produkt vypočítat pomocí zákonů algebry za předpokladu, že je objednávka respektována. Například:

Pokud A = (1, 2, 3) a B = (3, -2, 4), můžeme je přepsat na základě kanonického základu R3.

A = i + 2j + 3k a B = 3i - 2j + 4k. Použitím předchozích vlastností:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Vlastnost 4 (trojitý skalární výrobek)

Jak jsme uvedli na začátku, existují i ​​jiné způsoby, jak násobit vektory kromě vektorového produktu. Jeden z těchto způsobů je skalární produkt nebo interní produkt, který je označován jako A ∙ B a jehož definice je:

Pokud A = (a1, a2, a3) a B = (b1, b2, b3), pak A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Vlastnost, která se týká obou produktů, je známa jako trojitý skalární produkt.

Pokud A, B a C jsou R vektory3, pak A ∙ BxC = AxB ∙ C

Jako příklad, pojďme se podívat, že dané A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) a C = (- 5, 1, - 4), tato vlastnost je splněna.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

Na druhé straně:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Dalším trojitým produktem je Ax (BxC), který je známý jako trojitý vektorový produkt.

Vlastnost 5 (trojitý vektorový produkt)

Jestliže A, B a C jsou R vektory3,  pak:

Ax (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

Jako příklad, pojďme se podívat, že dané A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) a C = (- 5, 1, - 4), tato vlastnost je splněna.

Z předchozího příkladu víme, že BxC = (- 18, - 22, 17). Pojďme spočítat Ax (BxC):

Ax (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

Na druhou stranu musíme:

∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Musíme tedy:

(A 'C) B - (A' B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, -4)

Nemovitost 6

Je to jedna z geometrických vlastností vektorů. Jestliže A a B jsou dva vektory v R3 a Θ je úhel, který je vytvořen mezi nimi, pak:

|| AxB || = || A |||| B || sin (Θ), kde || ∙ || označuje modul nebo velikost vektoru.

Geometrická interpretace této vlastnosti je následující:

Nechť A = PR a B = PQ. Pak úhel tvořený vektory A a B je úhel P trojúhelníku RQP, jak je znázorněno na následujícím obrázku.

Proto je plocha rovnoběžníku se sousedními stranami PR a PQ || A |||| B || sin (Θ), protože můžeme brát jako základ || A || a jeho výška je dána || B || sin (Θ).

Z tohoto důvodu můžeme konstatovat, že || AxB || je plocha uvedeného rovnoběžníku.

Příklad

Vzhledem k následujícím vrcholům čtyřúhelníku P (1, -2,3), Q (4, 3, -1), R (2, 2,1) a S (5,7, -3) ukazují, že uvedený čtyřúhelník je paralelogram a najít jeho oblast.

Nejprve určíme vektory, které určují směr stran čtyřúhelníku. To je:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Jak můžeme pozorovat A a C mají stejný vektorový režisér, pro který máme oba paralelní; Stejným způsobem se to děje s B a D. Proto jsme dospěli k závěru, že PQRS je paralelogram.

Abychom měli plochu uvedeného rovnoběžníku, vypočítáme BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Proto bude čtvercová plocha:

|| BxA ||2 = (- 6)2 + (- 2)2 + (- 7)2 = 36 + 4 + 49 = 89.

Lze konstatovat, že rovnoběžníková plocha bude druhou odmocninou 89.

Nemovitost 7

Dva vektory A a B jsou paralelní v R3 ano a pouze pokud AxB = 0

Demonstrace

Je jasné, že pokud A nebo B jsou nulovým vektorem, vyplývá to, že AxB = 0. Jelikož je nulový vektor rovnoběžný s jakýmkoliv jiným vektorem, pak je vlastnost platná.

Pokud žádný z těchto dvou vektorů není nulovým vektorem, máme, že jejich velikost se liší od nuly; to znamená obojí || A || As 0 jako || B || ≠ 0, takže budeme muset || AxB || = 0 jestliže a jediný jestliže sin (?) = 0, a toto se stane jestliže a jediný jestliže if =? Nebo? = 0 \ t.

Můžeme tedy uzavřít AxB = 0 pouze tehdy, když Θ = π nebo Θ = 0, což se děje pouze tehdy, když jsou oba vektory navzájem paralelní.

Nemovitost 8

Jestliže A a B jsou dva vektory v R3, pak AxB je kolmá jak na A, tak na B.

Demonstrace

Pro tuto ukázku nezapomeňte, že dva vektory jsou kolmé, pokud je A ∙ B rovna nule. Navíc víme, že:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, ale AxA se rovná 0. Proto musíme:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Můžeme tedy konstatovat, že A a AxB jsou vzájemně kolmé. Podobným způsobem musíme:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Jako BxB = 0 musíme:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Proto jsou AxB a B vzájemně kolmé a tím je demonstrována vlastnost. To je velmi užitečné, protože nám umožňují určit rovnici roviny.

Příklad 1

Získat rovnici roviny, která prochází body P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) a R (2, 1, 3).

Nechť A = QR = (2 - 3,1 + 2, 3 - 2) a B = PR = (2 - 1,1 - 3, 3 - 2). Pak A = - i + 3j + k a B = i - 2j + k. Pro nalezení roviny tvořené těmito třemi body stačí najít vektor, který je normální k rovině, což je AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

S tímto vektorem a s ohledem na bod P (1, 3, 2) můžeme určit rovnici roviny následovně:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Takže máme rovnici roviny 5x + 2y - z - 9 = 0.

Příklad 2

Najděte rovnici roviny, která obsahuje bod P (4, 0, - 2) a která je kolmá na každou z rovin x - y + z = 0 a 2x + y - 4z - 5 = 0 .

Víme, že normální vektor k rovině ax + o + cz + d = 0 je (a, b, c), máme, že (1, -1,1) je normální vektor x - y + z = 0 y ( 2.1, - 4) je normální vektor 2x + y - 4z - 5 = 0.

Proto musí být normální vektor k požadované rovině kolmý na (1, -1,1) a a (2, 1, - 4). Uvedený vektor je:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Pak máme, že hledaná rovina je ta, která obsahuje bod P (4,0, - 2) a má vektor (3,6,3) jako normální vektor.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

Aplikace

Výpočet objemu rovnoběžnostěnu

Aplikace, která má trojitý skalární produkt, má být schopna vypočítat objem rovnoběžnostěnu, jehož hrany jsou dány vektory A, B a C, jak je znázorněno na obrázku:

Tuto aplikaci můžeme odvodit následujícím způsobem: jak jsme říkali dříve, vektor AxB je vektor, který je kolmý k rovině A a B. Také máme, že vektor - (AxB) je jiný vektor kolmý k uvedené rovině.

Vybíráme normální vektor, který tvoří nejmenší úhel s vektorem C; bez ztráty obecnosti nechte AxB být vektorem, jehož úhel s C je nejmenší.

Máme, že jak AxB, tak C mají stejný výchozí bod. Navíc víme, že plocha rovnoběžníku, který tvoří základ rovnoběžníku, je || AxB ||. Pokud je tedy výška rovnoběžnostěnu dána h, máme, že jeho objem bude:

V = || AxB || h.

Na druhou stranu považujeme skalární součin mezi AxB a C, který lze popsat následovně:

Podle trigonometrických vlastností však máme, že h = || C || cos (Θ), takže musíme:

Tímto způsobem musíme:

Obecně platí, že objem rovnoběžnostěn je dán absolutní hodnotou trojnásobného skalárního produktu AxB ∙ C.

Vyřešená cvičení

Cvičení 1

Vzhledem k bodům P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) a S = (2, 6, 9), tyto body tvoří hranol, jehož hrany jsou to PQ, PR a PS. Určete objem uvedeného rovnoběžnostěnu.

Řešení

Pokud vezmeme:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Při použití vlastnosti trojitého skalárního produktu musíme:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB = C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 + 80 = 52.

Proto máme, že objem uvedeného rovnoběžníku je 52.

Cvičení 2

Určete objem hranolu, jehož hrany jsou dány A = PQ, B = PR a C = PS, kde body P, Q, R a S jsou (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) a (2, 2, 5).

Řešení

Nejdříve máme A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Vypočítáme AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Pak vypočítáme AxB ∙ C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Došli jsme tedy k závěru, že objem uvedené hranolky je 1 kubická jednotka.

Odkazy

  1. Leithold, L. (1992). VÝPOČET s analytickou geometrií. HARLA, S.A.
  2. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Fyzika Vol. Mexiko: Continental.
  3. Saenz, J. (s.f.). Vektorový výpočet 1ed. Hypotenuse.
  4. Spiegel, M. R. (2011). Vektorová analýza 2ed. Mc Graw Hill.
  5. Zill, D. G., & Wright, W. (2011). Výpočet různých proměnných 4ed. Mc Graw Hill.