Definice šestiúhelníkové pyramidy, charakteristika a příklady výpočtu



Jeden hexagonální pyramida je polyhedron tvořený šestiúhelníkem, který je základ, a šest trojúhelníků, které začínají od vrcholů šestiúhelníku a se shodují v bodě mimo rovinu, která obsahuje základnu. V tomto bodě souběhu to je známé jako vrchol nebo vrchol pyramidy.

Mnohostěn je uzavřené trojrozměrné geometrické těleso, jehož plochy jsou ploché postavy. Šestiúhelník je uzavřená plochá postava (mnohoúhelník) tvořená šesti stranami. Jestliže šest stran má stejnou délku a tvoří stejné úhly, to je říkáno být pravidelný; jinak je nepravidelný.

Index

  • 1 Definice
  • 2 Charakteristiky
    • 2.1 Konkávní nebo konvexní
    • 2.2 Hrany
    • 2.3 Apotema
    • 2.4 Označuje
  • 3 Jak vypočítat plochu? Vzorce
    • 3.1 Výpočet v nepravidelných hexagonálních pyramidách
  • 4 Jak vypočítat objem? Vzorce
    • 4.1 Výpočet v nepravidelných hexagonálních pyramidách
  • 5 Příklad
    • 5.1 Řešení
  • 6 Odkazy

Definice

Hexagonální pyramida obsahuje sedm tváří, základnu a šest bočních trojúhelníků, z nichž základna je jediná, která se nedotkne vrcholu.

Říká se, že pyramida je přímá, pokud jsou všechny boční trojúhelníky rovnoramenné. V tomto případě je výška pyramidy segmentem, který vede od vrcholu k středu šestiúhelníku.

Obecně, výška pyramidy je vzdálenost mezi vrcholem a rovinou základny. Říká se, že pyramida je šikmá, pokud ne všechny boční trojúhelníky jsou rovnoramenné.

Pokud je šestiúhelník pravidelný a pyramida je také rovná, je to prý pravidelná hexagonální pyramida. Podobně, jestliže šestiúhelník je nepravidelný nebo pyramida je šikmá, to je řekl, aby byl nepravidelný hexagonální pyramida..

Vlastnosti

Konkávní nebo konvexní

Polygon je konvexní, pokud míra všech vnitřních úhlů je menší než 180 stupňů. Geometricky, toto je ekvivalentní říkat, že, daný pár bodů uvnitř polygonu, úsečka linky, která spojí je obsažena v mnohoúhelníku. Jinak je řečeno, že mnohoúhelník je konkávní.

Pokud je šestiúhelník konvexní, je řečeno, že pyramida je hexagonální konvexní pyramida. Jinak bude řečeno, že se jedná o konkávní hexagonální pyramidu.

Okraje

Hrany pyramidy jsou po stranách šesti trojúhelníků, které ji tvoří.

Apotema

Apothem pyramidy je vzdálenost mezi vrcholem a stranami základny pyramidy. Tato definice dává smysl pouze tehdy, když je pyramida pravidelná, protože pokud je nepravidelná, tato vzdálenost se liší v závislosti na uvažovaném trojúhelníku..

V kontrastu, v pravidelných pyramidách apothem odpovídá výšce každého trojúhelníku (protože každý je isosceles) a bude stejný ve všech trojúhelnících \ t.

Základem základny je vzdálenost mezi jednou ze stran základny a jejím středem. Způsob, jakým je definován, má smysl i v pravidelných pyramidách.

Označuje

Výška hexagonální pyramidy bude označena h, apotem základny (v běžném případě) APb a apotem pyramidy (i v běžném případě) AP.

Charakteristikou pravidelných hexagonálních pyramid je to h, APb a AP tvoří pravý trojúhelník hypotézy AP a nohy h a APb. Podle Pythagoreanovy věty musíte AP = √ (h^ 2 + APb ^ 2).

Předchozí obrázek představuje pravidelnou pyramidu.

Jak vypočítat plochu? Vzorce

Zvažte pravidelnou hexagonální pyramidu. Buďte přizpůsobeni každé straně šestiúhelníku. Pak A odpovídá míře základny každého trojúhelníku pyramidy, a tedy i okrajů základny.

Plocha mnohoúhelníku je součinem obvodu (součet stran) apotem základny, dělený dvěma. V případě šestiúhelníku by to bylo 3 * A * APb.

Lze pozorovat, že plocha pravidelné hexagonální pyramidy se rovná šestinásobku plochy každého trojúhelníku pyramidy plus ploše základny. Jak bylo uvedeno výše, výška každého trojúhelníku odpovídá apotému pyramidy, AP.

Proto je plocha každého trojúhelníku pyramidy dána A * AP / 2. Oblast pravidelné hexagonální pyramidy je tedy 3 * A * (APb + AP), kde A je okraj základny, APb je apotem základny a AP apotem pyramidy.

Výpočet v nepravidelných hexagonálních pyramidách

V případě nepravidelné šestiúhelníkové pyramidy neexistuje přímý vzorec pro výpočet plochy jako v předchozím případě. Je to proto, že každý trojúhelník pyramidy bude mít jinou oblast.

V tomto případě musí být plocha každého trojúhelníku vypočtena zvlášť a plocha základny. Pak bude plocha pyramidy součtem všech dříve vypočtených ploch.

Jak vypočítat objem? Vzorce

Objem pyramidy pravidelného hexagonálního tvaru je součinem výšky pyramidy podle plochy základny mezi třemi. Objem pravidelné hexagonální pyramidy je tedy dán A * APb * h, kde A je okraj základny, APb je apotem základny a h je výška pyramidy.

Výpočet v nepravidelných hexagonálních pyramidách

Analogicky k ploše v případě nepravidelné šestiúhelníkové pyramidy neexistuje přímý vzorec pro výpočet objemu, protože hrany základny nemají stejné měřítko, protože se jedná o nepravidelný mnohoúhelník..

V tomto případě musí být plocha základny vypočtena zvlášť a objem bude (h * základní plocha) / 3.

Příklad

Vypočítejte plochu a objem pravidelné šestiúhelníkové pyramidy o výšce 3 cm, jejíž základna je pravidelný šestiúhelník o rozměru 2 cm na každé straně a okraj základny je 4 cm..

Řešení

Nejprve musíme vypočítat apotem pyramidy (AP), což je jediné chybějící údaje. Když se podíváme na obrázek nahoře, uvidíte, že výška pyramidy (3 cm) a okraj základny (4 cm) tvoří pravý trojúhelník; proto pro výpočet apotem pyramidy používáme Pythagorův teorém:

AP = √ (3 ^ 2 + 9 ^ 2) = √ (25) = 5.

Z výše uvedeného vyplývá, že plocha je rovna 3 * 2 * (4 + 5) = 54 cm ^ 2.

Na druhé straně, s použitím vzorce objemu získáme, že objem dané pyramidy je 2 * 4 * 3 = 24 cm ^ 3.

Odkazy

  1. Billstein, R., Libeskind, S., & Lott, J. W. (2013). Matematika: přístup k řešení problémů učitelů základních škol. López Mateos Editori.
  2. Fregoso, R. S., & Carrera, S. A. (2005). Matematika 3. Editorial Progreso.
  3. Gallardo, G., & Pilar, P. M. (2005). Matematika 6. Editorial Progreso.
  4. Gutiérrez, C. T., & Cisneros, M. P. (2005). 3. Matematický kurz. Editorial Progreso.
  5. Kinsey, L., & Moore, T. E. (2006). Symetrie, tvar a prostor: Úvod do matematiky přes geometrii (ilustrovaný, dotisk ed.). Springer Science & Business Media.
  6. Mitchell, C. (1999). Oslňující Matematika Line vzory (Ilustrovaná ed.). Scholastic Inc.
  7. R., M. P. (2005). Kreslím 6º. Editorial Progreso.