Paralelní charakteristiky, typy, plocha, objem

A rovnoběžnostěn je geometrické těleso tvořené šesti plochami, jehož hlavní charakteristikou je, že všechny jejich plochy jsou rovnoběžníky a také jejich protilehlé plochy jsou vzájemně rovnoběžné. Je to společný mnohostěn v našem každodenním životě, protože ho můžeme najít v krabicích s botami, tvaru cihly, tvaru mikrovlnné trouby atd..

Být polyhedron, hranolek uzavírá konečný objem a všechny jeho tváře jsou ploché. To je část skupiny hranolů, který být ti polyhedra ve kterém všechny jejich vrcholy jsou obsaženy ve dvou paralelních rovinách..

Index

• 1 Prvky Parallelepiped
  • 1.1 Tváře
  • 1.2 Hrany
  • 1.3
  • 1.4 Diagonální
  • 1.5 Střed
• 2 Charakteristika paralelního řezu
• 3 Typy
  • 3.1 Výpočet úhlopříček
• 4 Oblast
  • 4.1 Plocha ortohedronu
  • 4.2 Plocha krychle
  • 4.3 Plocha rhombohedronu
  • 4.4 Plocha kosočtverce
• 5 Objem hranolu
  • 5.1 Perfektní hranol
• 6 Bibliografie

Prvky rovnoběžnostěnu

Tváře

Jsou to všechny oblasti tvořené rovnoběžníky, které omezují hranolek. Rovnoběžník má šest ploch, kde každá strana má čtyři sousední plochy a jednu protilehlou. Kromě toho je každá strana rovnoběžná s její protilehlou stranou.

Okraje

Jsou to společná strana dvou tváří. Celkem má hranol dvanáct hran.

Vertex

Je to společný bod tří ploch, které jsou vedle sebe dva až dva. Rovnoběžník má osm vrcholů.

Diagonální

Vzhledem ke dvěma protilehlým stranám rovnoběžnostěnu můžeme nakreslit úsečku, která vede od vrcholu jednoho obličeje k opačnému vrcholu druhého..

Tento segment je známý jako úhlopříčka rovnoběžnostěnu. Každá hranolka má čtyři úhlopříčky.

Downtown

Je to bod, ve kterém se protínají všechny úhlopříčky.

Charakteristiky hranolu

Jak jsme zmínili, toto geometrické tělo má dvanáct hran, šest ploch a osm vrcholů.

V rovnoběžníku můžete identifikovat tři sady tvořené čtyřmi hranami, které jsou vzájemně rovnoběžné. Kromě toho hrany těchto sad také splňují vlastnost, že mají stejnou délku.

Další vlastnost, kterou mají hranolky, je to, že jsou konvexní, to znamená, že pokud vezmeme jakýkoliv pár bodů, které patří do vnitřku hranolu, bude segment určený uvedeným párem bodů také uvnitř hranolu..

Navíc, rovnoběžnostěnky konvexní polyhedra odpovídají Euler teorému pro polyhedra, který nám dává vztah mezi množstvím tváří, počtem okrajů a počtem vrcholů. Tento vztah je uveden ve formě následující rovnice:

C + V = A + 2

Tato vlastnost je známá jako Eulerova charakteristika.

Kde C je počet tváří, V počet vrcholů a A počet hran.

Typy

Můžeme klasifikovat rovnoběžníky založené na jejich tvářích v následujících typech:

Ortopedické

Jsou to hranolky, kde jsou jejich tváře tvořeny šesti obdélníky. Každý obdélník je kolmý na ty, které sdílí hranu. Jsou to nejběžnější v našem každodenním životě, což je obvyklý způsob obuvi krabic a cihel.

Kostka nebo pravidelný hexahedron

Toto je zvláštní případ předchozího, kde každá z tváří je čtverec.

Kostka je také součástí geometrických těles nazývaných platonické pevné látky. Platonická pevná látka je konvexní mnohostěn, takže obě jeho strany a jeho vnitřní úhly jsou si navzájem stejné.

Romboedro

Je to hranolek s diamanty na tváři. Tyto diamanty jsou si navzájem rovné, protože sdílejí hrany.

Romboiedro

Jeho šest tváří jsou kosodélníky. Připomeňme, že kosodélník je mnohoúhelník se čtyřmi stranami a čtyřmi úhly, které se rovnají dvěma až dvěma. Rhomboidy jsou rovnoběžníky, které nejsou ani čtvercové, ani obdélníkové, ani kosočtverce.

Na druhé straně šikmé hranolky jsou ty, ve kterých alespoň jedna výška nesouhlasí s jeho hranou. V této klasifikaci můžeme zahrnout rhombohedrony a rhombichedrony.

Diagonální výpočet

Pro výpočet úhlopříčky ortohedronu můžeme použít Pythagoreanovu teorém pro R³.

Připomeňme, že orthohedron má charakteristiku, že každá strana je kolmá se stranami, které sdílejí okraj. Z této skutečnosti můžeme odvodit, že každá hrana je kolmá na ty, které sdílejí vrchol.

Pro výpočet délky úhlopříčky ortohedronu postupujeme následovně:

1. Vypočítáme úhlopříčku jedné z tváří, kterou položíme jako základnu. K tomu používáme Pythagorův teorém. Pojmenujte tuto úhlopříčku d_b.

2. Pak s d_b můžeme vytvořit nový pravoúhlý trojúhelník tak, že přepona uvedeného trojúhelníku je hledaná úhlopříčka D.

3. Opět používáme Pythagorův teorém a máme, že délka uvedené úhlopříčky je:

Dalším způsobem, jak spočítat úhlopříčky graficky, je součet volných vektorů.

Připomeňme, že dva volné vektory A a B jsou přidány umístěním ocasu vektoru B špičkou vektoru A.

Vektor (A + B) je vektor, který začíná u ocasu A a končí na špičce B.

Uvažujme rovnoběžnostěn, ke kterému chceme vypočítat úhlopříčku.

Identifikujeme hrany s vhodně orientovanými vektory.

Pak přidáme tyto vektory a výsledný vektor bude úhlopříčka rovnoběžnostěnu.

Oblast

Plocha rovnoběžnostěnu je dána součtem každé plochy jejich ploch.

Pokud určíme jednu ze stran jako základnu,

A_L + 2A_B = Celková plocha

Kde A_L je roven součtu ploch všech stran přiléhajících k základně, nazývaných boční plocha a A_B je základní plocha.

V závislosti na typu hranolu, se kterým pracujeme, můžeme tento vzorec přepsat.

Plocha ortohedronu

Je dána vzorcem

A = 2 (ab + bc + ca).

Příklad 1

Vzhledem k následujícímu ortohedronu, se stranami a = 6 cm, b = 8 cm a c = 10 cm, se vypočte plocha rovnoběžnostěnu a délka jeho úhlopříčky.

Použití vzorce pro oblast ortohedron, který musíme

A = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 cm².

Protože to je ortohedron, délka některého jeho čtyř úhlopříček je stejný.

Pomocí Pythagoreanovy věty o prostoru musíme

D = (6)² + 8² + 10²)^1/2 = (36 + 64 + 100)^1/2 = (200)^1/2

Plocha krychle

Protože každá hrana má stejnou délku, máme a = b a a = c. Nahrazení v předchozím vzorci máme

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a²) = 6a²

A = 6a²

Příklad 2

Krabice herní konzole má tvar kostky. Pokud chceme zabalit tuto krabičku s dárkovým papírem, kolik papíru bychom strávili s vědomím, že délka hran krychle je 45 cm?

Použijeme-li vzorec oblasti krychle, získáte to

A = 6 (45 cm)² = 6 (2025 cm)²= 12150 cm²

Oblast rhombohedron

Protože všechny jejich tváře jsou stejné, stačí spočítat plochu jednoho z nich a vynásobit ho šesti.

Plochu diamantu můžeme vypočítat pomocí úhlopříček s následujícím vzorcem

A_R = (Dd) / 2

Z tohoto vzorce vyplývá, že celková plocha rhombohedronu je

A_T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Příklad 3

Plochy následujících rhombohedronů jsou tvořeny kosočtvercem, jehož úhlopříčky jsou D = 7 cm a d = 4 cm. Vaše oblast bude

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm².

Plocha kosočtverce

Pro výpočet plochy kosočtverce musíme vypočítat plochu kosodélníků, které ji tvoří. Vzhledem k tomu, že rovnoběžníky splňují vlastnost, že protilehlé strany mají stejnou oblast, můžeme tyto strany spojit ve třech párech.

Tímto způsobem budeme mít vaši oblast

A_T = 2b₁h₁ + 2b₂h₂ + 2b₃h₃

Kde b_i jsou základny spojené se stranami a_i jeho relativní výška odpovídající základnám.

Příklad 4

Zvažte následující rovnoběžnostěn,

kde strana A a strana A '(její protější strana) mají jako základnu b = 10 a pro výšku h = 6. Označená plocha bude mít hodnotu

A₁ = 2 (10) (6) = 120

B a B 'mají b = 4 a h = 6, pak

A₂ = 2 (4) (6) = 48

A C a C 'mají b = 10 a h = 5, takže

A₃ = 2 (10) (5) = 100

Konečně oblast rhombohedron je

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Objem rovnoběžnostěnu

Vzorec, který nám udává objem rovnoběžnostěnu, je součinem plochy jedné z jejích ploch výškou odpovídající uvedené ploše..

V = A_Ch_C

V závislosti na typu rovnoběžnostěnu lze uvedený vzorec zjednodušit.

Tak například máme objem ortohedronu

V = abc.

Kde a, b a c představují délku hran ortohedronu.

A v konkrétním případě krychle je

V = a³

Příklad 1

Existují tři různé modely boxů cookies a chcete vědět, ve kterém z těchto modelů můžete uložit více cookies, to znamená, který z těchto boxů má nejvyšší hlasitost..

První je krychle, jejíž okraj má délku a = 10 cm

Jeho objem bude V = 1000 cm³

Druhá má hrany b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

Jeho objem je tedy V = 765 cm³

Třetí má e = 9 cm, f = 9 cm a g = 13 cm

Jeho objem je V = 1053 cm³

Proto je pole s největším objemem třetí.

Další metoda k získání objemu rovnoběžnostěnu je uchýlit se k algebře vektoru. Zejména trojitý skalární produkt.

Jeden z geometrických výkladů, který má trojnásobný skalární produkt je objem rovnoběžnostěnu, jehož okraje jsou tři vektory, které sdílejí stejný vrchol jako výchozí bod \ t.

Pokud tedy máme rovnoběžnostěn a chceme vědět, jaký je jeho objem, stačí jej reprezentovat v souřadném systému v R³ odpovídající jednomu z jeho vrcholů.

Pak reprezentujeme hrany, které se shodují v počátcích s vektory, jak je znázorněno na obrázku.

Tímto způsobem máme, že objem uvedeného rovnoběžníku je dán

V = | AxB ∙ C |

Nebo ekvivalentně je objem determinantem matice 3 × 3, tvořené složkami okrajových vektorů.

Příklad 2

Znázorněním dalšího rovnoběžnostěnu v R³ vidíme, že vektory, které jej určují, jsou následující

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) a w = (-0,25, -4, 4)

Pomocí trojitého skalárního produktu máme

V = | (uxv) ∙ w |

uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0.25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Z toho vyvozujeme, že V = 60

Vezměte v úvahu následující rovnoběžnostěnky v R3, jejichž hrany jsou určeny vektory

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) a C = (3, 4, 4)

Použití determinantů nám to dává

Takže máme, že objem uvedeného rovnoběžníku je 112.

Obě jsou ekvivalentními způsoby výpočtu objemu.

Perfektní hranol

To je znáno jak Eulerova cihla (nebo Eulerův blok) k orthohedron, který splní vlastnost že jak délka jeho okrajů tak délka diagonálů každého jeho obličejů jsou celá čísla.

Zatímco Euler nebyl první vědec, který studoval ortohedrony, které se s tímto majetkem setkávají, našel o nich zajímavé výsledky.

Menší Eulerova cihla byla objevena Paulem Halckem a délky jejích hran jsou a = 44, b = 117 a c = 240.

Otevřený problém v teorii čísel je následující

Jsou tam dokonalé ortohedrony?

V současné době nelze tuto otázku zodpovědět, protože nebylo možné prokázat, že tyto orgány neexistují, ale ani nebyly nalezeny žádné.

Ukázalo se, že perfektní hranolky existují. První, která má být objevena, má délku svých okrajů hodnoty 103, 106 a 271.

Bibliografie

1. Guy, R. (1981). Nevyřešené problémy v teorii čísel. Springer.
2. Landaverde, F. d. (1997). Geometrie. Pokrok.
3. Leithold, L. (1992). VÝPOČET s analytickou geometrií. HARLA, S.A.
4. Rendon, A. (2004). Technický výkres: Sešit 3 2. Baccalaureate . Tebar.
5. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Fyzika Vol. Mexiko: Continental.