Částečné frakční případy a příklady



částečné frakce oni jsou zlomky tvořené polynomials, ve kterém jmenovatel může být lineární nebo kvadratický polynomial, a, navíc, moci být zvýšen k nějaké síle. Někdy, když máme racionální funkce, je velmi užitečné tuto funkci přepsat jako součet dílčích zlomků nebo jednoduchých zlomků.

Je tomu tak proto, že tímto způsobem můžeme lépe pracovat s těmito funkcemi, zejména v případech, kdy je nutné tuto aplikaci integrovat. Racionální funkce je jednoduše kvocientem mezi dvěma polynomy a může být správná nebo nesprávná.

Jestliže míra polynomial čitatele je menší než jmenovatel, to je nazýváno jeho vlastní racionální funkcí; jinak, to je znáno jak nesprávná racionální funkce.

Index

  • 1 Definice
  • 2 Případy
    • 2.1 Případ 1
    • 2.2 Případ 2
    • 2.3 Případ 3
    • 2.4 Případ 4
  • 3 Aplikace
    • 3.1 Komplexní výpočet
    • 3.2 Zákon hromadné akce
    • 3.3 Diferenciální rovnice: logistická rovnice
  • 4 Odkazy

Definice

Když máme nesprávnou racionální funkci, můžeme rozdělit polynom číslice mezi polynomem jmenovatele a tak přepsat zlomek p (x) / q (x) podle algoritmu dělení jako t (x) + s (x) / q (x), kde t (x) je polynom a s (x) / q (x) je racionální funkce jeho vlastního.

Parciální zlomek je nějaká řádná funkce polynomials, jehož jmenovatel je formy (ax + b)n o (ax2+ bx + c)n, pokud polynomiální sekeru2 + bx + c nemá skutečné kořeny a n je přirozené číslo.

Aby bylo možné přepsat racionální funkci v dílčích zlomcích, první věc, kterou je třeba udělat, je vyčíslit jmenovatele q (x) jako součin lineárních a / nebo kvadratických faktorů. Jakmile se tak stane, stanoví se dílčí frakce, které závisí na povaze uvedených faktorů.

Případy

Několik případů zvažujeme odděleně.

Případ 1. \ T

Faktory q (x) jsou všechny lineární a žádný se neopakuje. To je:

q (x) = (a1x + b1) (a2x + b2) ... (asx + bs)

Tam není žádný lineární faktor totožný s jiným. V tomto případě budeme psát:

p (x) / q (x) = A1/ (a1x + b1) + A2/ (a2x + b2) ... + As/ (asx + bs).

Kde A1,A2,..., As jsou konstanty, které chcete najít.

Příklad

Chceme rozložit racionální funkci na jednoduché zlomky:

(x - 1) / (x3+3x2+2x)

Pokračujeme v faktorizaci jmenovatele, to znamená:

x3 + 3x2 + 2x = x (x + 1) (x + 2)

Pak:

(x - 1) / (x3+3x2+2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Při použití nejméně společného násobku můžete získat:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Chceme získat hodnoty konstant A, B a C, které lze nalézt nahrazením kořenů, které zrušují jednotlivé termíny. Nahrazení 0 za x máme:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Nahrazení - 1 za x máme:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2.

Substituce - 2 za x máme:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

-3 = 2C

C = -3/2.

Tímto způsobem se získají hodnoty A = -1/2, B = 2 a C = -3/2..

Existuje další metoda, jak získat hodnoty A, B a C. Pokud na pravé straně rovnice x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x kombinujeme termíny, máme:

x - 1 = (A + B + C) x2 + (3A + 2B + C) x + 2A.

Protože se jedná o rovnost polynomů, máme, že koeficienty levé strany musí být rovny koeficientům na pravé straně. Výsledkem je následující systém rovnic:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

Při řešení tohoto systému rovnic získáme výsledky A = -1/2, B = 2 a C = -3/2.

Nahrazením získaných hodnot musíme:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Případ 2

Faktory q (x) jsou lineární a některé se opakují. Předpokládejme, že (ax + b) je faktor, který se opakuje "s" časy; pak, k tomuto faktoru odpovídat součtu “s” částečných zlomků.

As/ (ax + b)s + As-1/ (ax + b)s-1 +... + A1/ (ax + b).

Kde je As,As-1,..., A1 jsou to konstanty, které mají být určeny. Následující příklad vám ukáže, jak tyto konstanty určit.

Příklad

Rozložit na dílčí zlomky:

(x - 1) / (x2(x - 2)3)

Racionální funkci píšeme jako součet dílčích zlomků takto:

(x - 1) / (x2(x - 2)3) = A / x2 + B / x + C / (x - 2)3 + D / (x - 2)2 + E / (x - 2).

Pak:

x - 1 = A (x - 2)3 + B (x - 2)3x + Cx2 + D (x - 2) x2 + E (x - 2)2x2

Nahrazením 2 za x musíme:

7 = 4C, tj. C = 7/4.

Nahrazení 0 za x máme:

- 1 = -8A nebo A = 1/8.

Nahrazení těchto hodnot v předchozí rovnici a vývoj, musíme:

x - 1 = 1/8 (x3 - 6x2 + 12x - 8) + Bx (x3 - 6x2 + 12x - 8) + 7 / 4x2 +Dx3 - 2Dx2 + Př2(x2 - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x4 + (1/8 - 6B + D - 4E) x3 + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x2 +(3/2 - 8B) x - 1.

Porovnávacími koeficienty získáme následující systém rovnic:

B + E = 0;

1/8 - 6B + D - 4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Řešení systému:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

Kvůli tomu musíme:

(x - 1) / (x2(x - 2)3) = (1/8) / x2 + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2)3 + (5/4) / (x - 2)2 - (3/16) / (x - 2).

Případ 3

Faktory q (x) jsou kvadratické lineární bez opakovaného kvadratického faktoru. V tomto případě kvadratický faktor (ax2 + bx + c) odpovídá částečnému zlomku (Ax + B) / (ax)2 + bx + c), kde konstanty A a B jsou ty, které chcete určit.

Následující příklad ukazuje, jak postupovat v tomto případě

Příklad

Rozložit na jednoduché zlomky a (x + 1) / (x3 - 1).

Nejprve přistoupíme k faktoru jmenovatele, který nám dává výsledek:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

Vidíme to (x2 + x + 1) je ireducibilní kvadratický polynom; to znamená, že nemá skutečné kořeny. Jeho rozklad na dílčí zlomky bude následující:

(x + 1) / (x - 1) (x2 + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x2 + x +1)

Z toho získáme následující rovnici:

x + 1 = (A + B) x2 +(A - B + C) x + (A - C)

Pomocí rovnosti polynomů získáme následující systém:

A + B = 0;

A-B + C = 1;

A - C = 1;

Z tohoto systému máme A = 2/3, B = - 2/3 a C = 1/3. Nahrazení, musíme:

(x + 1) / (x - 1) (x2 + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x2 + x +1).

Případ 4

Konečně, případ 4 je takový, ve kterém jsou faktory q (x) lineární a kvadratické, kde jsou některé lineární kvadratické faktory opakovány..

V tomto případě ano (sekera2 + bx + c) je kvadratický faktor, který se opakuje "s" krát, pak dílčí zlomek odpovídající faktoru (ax)2 + bx + c) bude:

(A1x + B) / (ax2 + bx + c) + ... + (As-1x + Bs-1) / (ax)2 + bx + c)s-1 + (Asx + Bs) / (ax)2 + bx + c)s

Kde je As, As-1,..., A a Bs, Bs-1,..., B jsou konstanty, které chcete určit.

Příklad

Chceme rozdělit následující racionální funkci na dílčí zlomky:

(x - 2) / (x (x)2 - 4x + 5)2)

Jako x2 - 4x + 5 je neredukovatelný kvadratický faktor, máme, že jeho rozklad na dílčí zlomky je dán vztahem:

(x - 2) / (x (x)2 - 4x + 5)2) = A / x + (Bx + C) / (x2 - 4x +5) + (Dx + E) / (x2 - 4x + 5)2

Zjednodušení a rozvoj:

x - 2 = A (x2 - 4x + 5)2 + (Bx + C) (x2 - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x4 + (- 8A - 4B + C) x3 + (26A + 5B - 4C + D) x2 + (-40A + 5C + E) x + 25A.

Z výše uvedeného máme následující systém rovnic:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

Při řešení systému musíme:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 a E = - 3/5.

Při nahrazení získaných hodnot máme:

(x - 2) / (x (x)2 - 4x + 5)2) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x2 - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x2 - 4x + 5)2

Aplikace

Komplexní výpočet

Částečné zlomky se používají především pro studium integrálního počtu. Níže uvádíme několik příkladů, jak vytvořit integrály pomocí parciálních zlomků.

Příklad 1

Chceme vypočítat integrál:

Vidíme, že jmenovatel q (x) = (t + 2)2(t + 1) se skládá z lineárních faktorů, kde jeden z těchto opakování; za to jsme v případě 2.

Musíme:

1 / (t + 2)2(t + 1) = A / (t + 2)2 +B / (t + 2) + C / (t + 1)

Rovnici přepíšeme a máme:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2)2

Pokud t = - 1, musíme:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

Pokud t = - 2, dává nám to:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Pak pokud t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

Nahrazení hodnot A a C:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

Z výše uvedeného máme, že B = - 1.

Integrál přepíšeme jako:

Pokračujeme v řešení substituční metodou:

Výsledkem je:

Příklad 2

Vyřešte následující integrál:

V tomto případě můžeme faktor q (x) = x2 - 4 jako q (x) = (x - 2) (x + 2). Jasně jsme v případě 1. Proto:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Může být také vyjádřena jako:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Pokud x = - 2, máme:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

A pokud x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Musíme tedy řešit daný integrál, který je ekvivalentní řešení:

Výsledkem je:

Příklad 3

Řešení integrálu:

Máme q (x) = 9x4 + x2 , že můžeme v q (x) = x2(9x2 + 1).

Při této příležitosti máme opakovaný lineární faktor a kvadratický faktor; to znamená, že jsme v případě 3.

Musíme:

1 / x2(9x2 + 1) = A / x2 + B / x + (Cx + D) / (9x2 + 1)

1 = A (9x2 + 1) + Bx (9x)2 + 1) + Cx2 + Dx2

Seskupování a použití rovnosti polynomů, máme:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Z tohoto systému rovnic musíme:

D = -9 a C = 0

Tímto způsobem máme:

Řešením výše uvedeného máme:

Zákon hromadné akce

Zajímavá aplikace parciálních frakcí aplikovaných na integrální počet je nalezena v chemii, přesněji v zákoně masové akce.

Předpokládejme, že máme dvě látky A a B, které se spojují a tvoří látku C, takže derivace množství C vzhledem k času je úměrná součinu množství A a B v daném okamžiku.

Zákon hromadné akce můžeme vyjádřit takto:

V tomto výrazu α je počáteční množství gramů odpovídající A a β počáteční množství gramů odpovídající B.

Kromě toho r a s představují počet gramů A a B, které se spojují do tvaru r + s gramů C. Pro svou část x představuje počet gramů látky C v čase t a K je proporcionality. Výše uvedená rovnice může být přepsána jako:

Provádění následujících změn:

Máme, že se tato rovnice stane:

Z tohoto výrazu můžeme získat:

Kde ano a ≠ b, částečné zlomky mohou být použity pro integraci.

Příklad

Vezměme si například látku C, která vzniká spojením látky A s B, a to tak, že je splněn zákon hmot, kde hodnoty a a b jsou 8 a 6. Dejte rovnici, která nám dává hodnotu gramů C jako funkci času.

Nahrazením hodnot v daném hromadném zákoně máme:

Při oddělení proměnných máme:

Zde 1 / (8 - x) (6 - x) lze zapsat jako součet dílčích zlomků takto:

1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Pokud nahradíme x za 6, máme to B = 1/2; a nahrazení x pro 8, máme A = - 1/2.

Integrace dílčími zlomky máme:

Výsledkem je:

Diferenciální rovnice: logistická rovnice

Další aplikace, která může být dána dílčím zlomkům, je v logistické diferenciální rovnici. V jednoduchých modelech máme, že míra růstu populace je úměrná její velikosti; to je:

Tento případ je ideální a je považován za realistický, dokud se nestane, že zdroje dostupné v systému nestačí k udržení obyvatelstva.

V těchto situacích je rozumnější myslet si, že existuje maximální kapacita, kterou budeme nazývat L, kterou systém dokáže udržet, a že míra růstu je úměrná velikosti populace vynásobené dostupnou velikostí. Tento argument vede k následující diferenciální rovnici:

Tento výraz se nazývá logistická diferenciální rovnice. Jedná se o separovatelnou diferenciální rovnici, kterou lze řešit metodou integrace dílčích zlomků.

Příklad

Příkladem by bylo uvažovat populaci, která roste podle následující logistické diferenciální rovnice y '= 0,0004y (1000 - y), jejíž počáteční data jsou 400. Chceme znát velikost populace v čase t = 2, kde t se měří v letech.

Pokud zapíšeme a 's notací Leibniz jako funkci, která závisí na t, musíme:

Integrál levé strany lze řešit metodou integrace dílčích zlomků:

Tato poslední rovnost může být přepsána následovně:

- Substituce y = 0 máme A rovná 1/1000.

- Substituce y = 1000 máme, že B se rovná 1/1000.

U těchto hodnot je integrál ponechán následovně:

Řešením je:

Použití počátečních údajů:

Při zúčtování jsme opustili:

Pak máme, že t = 2:

Závěrem lze říci, že po 2 letech je velikost populace přibližně 597,37.

Odkazy

  1. A, R. A. (2012). Matematika 1. Andská univerzita. Rada pro publikace.
  2. Cortez, I., & Sanchez, C. (s.f.). 801 vyřešených integrálů. Národní experimentální univerzita Tachira.
  3. Leithold, L. (1992). VÝPOČET s analytickou geometrií. HARLA, S.A.
  4. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Výpočet. Mexiko: Pearsonovo vzdělávání.
  5. Saenz, J. (s.f.). Komplexní kalkul. Hypotenuse.