Jaký je součet čtverců dvou po sobě následujících čísel?

Chcete vědět co je součet čtverců dvou po sobě následujících čísel, můžete najít vzorec, s nímž stačí nahradit čísla, kterých se to týká.

Tento vzorec lze nalézt obecně, to znamená, že může být použit pro libovolný pár po sobě jdoucích čísel.

Tím, že řekneme "po sobě jdoucí čísla", implicitně říkáme, že obě čísla jsou celá čísla. A když mluvíme o „čtvercích“, odkazuje na každé číslo.

Například, jestliže my vezmeme čísla 1 a 2, jejich čtverce jsou 1? = 1 a 2? = 4, proto, součet čtverců je 1 + 4 = 5 \ t.

Na druhé straně, jestliže čísla 5 a 6 jsou vzata, jejich čtverce jsou 5? = 25 a 6? = 36, přičemž součet čtverců je 25 + 36 = 61..

Jaký je součet čtverců dvou po sobě následujících čísel?

Cílem je nyní zobecnit to, co bylo provedeno v předchozích příkladech. K tomu je třeba najít obecný způsob psaní celého čísla a jeho následného celku.

Pokud jsou pozorována dvě po sobě jdoucí celá čísla, například 1 a 2, je vidět, že 2 může být zapsáno jako 1 + 1. Podíváme-li se také na čísla 23 a 24, usuzujeme, že 24 může být napsáno jako 23 + 1.

Pro záporná celá čísla lze toto chování také ověřit. Pokud uvažujete -35 a -36, můžete vidět, že -35 = -36 + 1.

Proto pokud je vybráno celé číslo "n", pak celé číslo po sobě jdoucí "n" je "n + 1". Vztah mezi dvěma po sobě jdoucími celými čísly tak již byl vytvořen.

Jaký je součet čtverců?

Vzhledem k tomu, že dvě po sobě jdoucí celá čísla "n" a "n + 1", pak jejich čtverce jsou "n²" a "(n + 1) ²". Pomocí vlastností pozoruhodných produktů může být tento poslední výraz zapsán následovně:

(n + 1) ² = n² + 2 * n * 1 + 1² = n² + 2n + 1.

Konečně, součet čtverců dvou po sobě následujících čísel je dán výrazem:

n2 + n2 + 2n + 1 = 2n2 + 2n + 1 = 2n (n + 1) +1.

Je-li předchozí vzorec podrobný, je vidět, že stačí znát nejmenší celé číslo "n", abychom věděli, co je součet čtverců, to znamená, že stačí použít menší ze dvou celých čísel.

Další perspektivou získaného vzorce je: zvolená čísla se násobí, pak se získaný výsledek vynásobí 2 a nakonec se přidá 1.

Na druhou stranu, první summand vpravo je sudé číslo a když přidáte 1, výsledek bude lichý. Toto říká, že výsledek přidání čtverců dvou po sobě následujících čísel bude vždy liché číslo.

Lze také poznamenat, že jelikož se přidávají dvě čtvercová čísla, bude tento výsledek vždy pozitivní.

Příklady

1.- Uvažujme celá čísla 1 a 2. Nejmenší celé číslo je 1. S použitím výše uvedeného vzorce docházíme k závěru, že součet čtverců je: 2 * (1) * (1 + 1) +1 = 2 * 2 + 1 = 4+ 1 = 5. Který souhlasí s účetní závěrkou na začátku.

2.- Pokud se vezmou celá čísla 5 a 6, pak součet čtverců bude 2 * 5 * 6 + 1 = 60 + 1 = 61, což se také shoduje s výsledkem získaným na začátku.

3.- Pokud jsou vybrána celá čísla -10 a -9, pak součet jejich čtverců je: 2 * (- 10) * (- 9) + 1 = 180 + 1 = 181.

4.- Nechť celá čísla v této příležitosti -1 a 0, pak součet jejich čtverců je dán 2 * (- 1) * (0) + 1 = 0 +1 = 1.

Odkazy

1. Bouzas, P. G. (2004). Algebra na střední škole: Kooperativní práce v matematice. Narcea vydání.
2. Cabello, R. N. (2007). Síla a kořeny. Publicatusbooks.
3. Cabrera, V. M. (1997). Výpočet 4000. Editorial Progreso.
4. Guevara, M. H. (s.f.). Sada celých čísel. EUNED.
5. Oteyza, E. d. (2003). Albegra. Pearson Education.
6. Smith, S.A. (2000). Algebra. Pearson Education.
7. Thomson. (2006). Absolvování GED: Matematika. InterLingua Publishing.