Výpočet aproximací pomocí diferenciálu

Aproximace v matematice je číslo, které není přesná hodnota něčeho, ale je tak blízko tomu, že je považována za užitečnou jako ta přesná hodnota.

Když jsou v matematice provedeny aproximace, je to proto, že je obtížné (nebo někdy nemožné) znát přesnou hodnotu toho, co je požadováno.

Hlavním nástrojem při práci s aproximacemi je rozdíl funkce.

Diference funkce f, označená Δf (x), není větší než derivace funkce f násobené změnou nezávislé proměnné, to znamená Δf (x) = f '(x) * Δx.

Někdy df a dx jsou používány místo Af a Ax.

Přístupy pomocí diferenciálu

Vzorec, který je aplikován, aby se aproximace prostřednictvím diferenciálu, vzniká přesně z definice derivace funkce jako limitu.

Tento vzorec je dán vztahem:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Zde se rozumí, že Ax = x-x0, tedy x = x0 + Ax. Pomocí tohoto vzorce lze přepsat jako

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

Mělo by být poznamenáno, že "x0" není libovolná hodnota, ale je hodnotou takovou, že f (x0) je snadno známá; Navíc, "f (x)" je jen hodnota, kterou chceme přiblížit.

Jsou zde lepší aproximace?

Odpověď zní ano. Předchozí je nejjednodušší aproximace nazvaná "lineární aproximace".

Pro lepší kvalitu aproximací (chyba je menší) se používají polynomy s více deriváty zvanými "Taylorovy polynomy", stejně jako další numerické metody, jako je například Newtonova-Raphsonova metoda..

Strategie

Strategie, kterou je třeba dodržet, je:

- Zvolte vhodnou funkci f k provedení aproximace a hodnotu "x" tak, aby f (x) byla hodnota, kterou chcete přiblížit.

- Zvolte hodnotu "x0", v blízkosti "x", takže f (x0) lze snadno spočítat.

- Vypočtěte Δx = x-x0.

- Vypočítejte derivaci funkce a f '(x0).

- Nahraďte data ve vzorci.

Řešené aproximační cvičení

V tom, co pokračuje, existuje řada cvičení, kde se aproximace provádějí pomocí diferenciálu.

První cvičení

Přibližně √3.

Řešení

Na základě této strategie musí být zvolena vhodná funkce. V tomto případě lze vidět, že funkce, která má být zvolena, musí být f (x) = √x a přibližná hodnota je f (3) = √3.

Nyní musíme zvolit hodnotu "x0" v blízkosti "3" tak, aby f (x0) bylo snadné spočítat. Pokud zvolíte "x0 = 2", máte "x0" blízko "3", ale f (x0) = f (2) = √2 není snadné spočítat.

Hodnota "x0", která je vhodná, je "4", protože "4" se blíží "3" a také f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Jestliže "x = 3" a "x0 = 4", pak Ax = 3-4 = -1. Nyní budeme postupovat k výpočtu derivace f. To znamená f '(x) = 1/2 * √x, takže f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Nahrazení všech hodnot ve vzorci získáte:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.

Pokud je použita kalkulačka, získá se √3≈1,73205 ... To ukazuje, že předchozí výsledek je dobrou aproximací reálné hodnoty.

Druhé cvičení

Přibližně √10.

Řešení

Jako předtím je vybrána jako funkce f (x) = √x av tomto případě x = 10.

Hodnota x0, která musí být v této příležitosti zvolena, je "x0 = 9". Pak máme, že Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 a f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

Při hodnocení ve vzorci to získáte

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 ...

Pomocí kalkulačky se dostanete, že √10 ≈ 3.1622776 ... Zde můžete také vidět, že dobrá aproximace byla získána dříve.

Třetí cvičení

Přibližný √√10, kde ³√ označuje kubický kořen.

Řešení

Je zřejmé, že funkce, která by měla být použita v tomto cvičení, je f (x) = ³√x a hodnota "x" musí být "10".

Hodnota blízká "10" tak, že je znám její kořen kostky, je "x0 = 8". Pak máme, že Δx = 10-8 = 2 a f (x0) = f (8) = 2. Máme také, že f '(x) = 1/3 * ³√x², a tedy f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Nahrazením dat ve vzorci se získá:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2,166666 ... .

Kalkulačka říká, že √√10 ≈ 2.15443469 ... Proto je nalezená aproximace dobrá.

Čtvrté cvičení

Přibližně ln (1.3), kde "ln" označuje přirozenou logaritmickou funkci.

Řešení

Nejprve je zvolena funkce f (x) = ln (x) a hodnota "x" je 1,3. Nyní, když víme o logaritmické funkci, můžeme vědět, že ln (1) = 0, a také "1" se blíží "1.3". Proto je zvoleno "x0 = 1" a tak Δx = 1,3 - 1 = 0,3.

Na druhé straně f '(x) = 1 / x, takže f' (1) = 1. Při hodnocení v daném vzorci musíte:

ln (1,3) = f (1,3) ≈ 0 + 1 * 0,3 = 0,3.

Při použití kalkulačky musíte ln (1.3) ≈ 0.262364 ... Takže aproximace je dobrá.

Odkazy

1. Fleming, W., & Varberg, D.E. (1989). Matematika precalculus. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, D.E. (1989). Precalculus matematika: přístup k řešení problémů (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra a trigonometrie s analytickou geometrií. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 ed.). Cengage učení.
5. Leal, J. M., & Viloria, N. G. (2005). Plochá analytická geometrie. Mérida - Venezuela: Redakční Venezolana C. A.
6. Pérez, C. D. (2006). Precalculus. Pearson Education.
7. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Výpočet (Devátý ed.). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Diferenciální počet s časnými transcendentními funkcemi pro vědu a inženýrství (Druhé vydání ed.). Hypotenuse.
9. Scott, C. A. (2009). Kartézská geometrie roviny, část: Analytické kužely (1907) (dotisk ed.). Zdroj blesku.
10. Sullivan, M. (1997). Precalculus. Pearson Education.