Techniky rozměrové analýzy, princip homogenity a cvičení



rozměrová analýza je nástroj široce používaný v různých odvětvích vědy a techniky, aby lépe porozuměl jevům, které zahrnují přítomnost různých fyzických veličin. Tyto veličiny mají rozměry a z nich jsou odvozeny různé měrné jednotky.

Původ pojmu dimenze se nachází u francouzského matematika Josefa Fouriera, který ho vytvořil. Fourier také pochopil, že aby byly dvě rovnice srovnatelné, musí být homogenní s ohledem na jejich rozměry. To znamená, že nemůžete přidat metry s kilogramy.

Rozměrová analýza je tedy zodpovědná za studium veličin, rozměrů a homogenity fyzikálních rovnic. Z tohoto důvodu se často používá ke kontrole vztahů a výpočtů, nebo k vytvoření hypotéz o složitých otázkách, které lze následně experimentálně testovat..

Tímto způsobem je rozměrová analýza dokonalým nástrojem pro detekci chyb ve výpočtech při kontrole shody nebo nesouladu jednotek v nich používaných, zejména se zaměřením na jednotky konečných výsledků..

K projektování systematických experimentů se navíc používá rozměrová analýza. Umožňuje snížit počet nezbytných experimentů a také usnadnit interpretaci získaných výsledků.

Jedním ze základních východisek dimenzionální analýzy je, že je možné reprezentovat jakoukoliv fyzikální veličinu jako součin mocností menšího množství, známých jako základní veličiny, z nichž zbytek pochází..

Index

  • 1 Základní veličiny a rozměrový vzorec
  • 2 Metody analýzy rozměrů
    • 2.1 Rayleighova metoda
    • 2.2 Buckinghamova metoda
  • 3 Princip rozměrové homogenity
    • 3.1 Princip podobnosti
  • 4 Aplikace
  • 5 Řešené úlohy
    • 5.1 První cvičení
    • 5.2 Druhé cvičení
  • 6 Odkazy

Základní veličiny a rozměrový vzorec

Ve fyzice, základní velikosti jsou zvažovány ty to dovolit ostatním vyjádřit sebe v podmínkách těchto. Podle konvence byly zvoleny následující: délka (L), čas (T), hmotnost (M), intenzita elektrického proudu (I), teplota (θ), intenzita světla (J) a množství látky (N).

Naopak zbytek se považuje za odvozené množství. Některé z nich jsou mimo jiné: plocha, objem, hustota, rychlost, zrychlení.

Matematická rovnost je definována jako rozměrový vzorec, který představuje vztah mezi odvozeným množstvím a základními.

Metody analýzy rozměrů

Existuje několik technik nebo metod rozměrové analýzy. Dvě z nejdůležitějších jsou následující:

Rayleighova metoda

Rayleigh, který byl vedle Fouriera, jeden z předchůdců rozměrové analýzy, vyvinul přímou a velmi jednoduchou metodu, která nám umožňuje získat bezrozměrné prvky. V této metodě následují následující kroky:

1 - Definuje se funkce potenciálního charakteru závislé proměnné.

2 - Každá proměnná je změněna odpovídajícími rozměry.

3- Jsou stanoveny rovnice podmínek homogenity.

4- Neznámé hodnoty n-p jsou pevné.

5- Nahraďte exponenty, které byly vypočteny a stanoveny v potenciální rovnici.

6- Přesuňte skupiny proměnných a definujte bezrozměrná čísla.

Buckinghamova metoda

Tato metoda je založena na Buckinghamově teorémě nebo teorémě pi, která uvádí následující:

Pokud existuje vztah na homogenní rozměrové úrovni mezi číslem "n" fyzikálních veličin nebo proměnných, kde se objevují různé základní dimenze "p", existuje také vztah homogenity mezi n-p, nezávislými bezrozměrnými skupinami.

Princip rozměrové homogenity

Princip Fourier, také známý jako princip rozměrové homogenity, ovlivňuje správné strukturování výrazů, které spojují fyzikální veličiny algebraicky.

Je to princip, který má matematickou konzistenci a uvádí, že jedinou možností je odečítat nebo sčítat fyzické veličiny, které jsou stejné povahy. Není tedy možné přidat hmotu s délkou nebo časem s povrchem atd..

Stejně tak princip uvádí, že aby fyzické rovnice byly správné na úrovni rozměrů, musí mít celkový počet členů obou stran rovnosti stejný rozměr. Tento princip umožňuje zaručit koherenci fyzikálních rovnic.

Princip podobnosti

Principem podobnosti je rozšíření charakteru homogenity na rozměrové úrovni fyzikálních rovnic. Uvádí se následovně:

Fyzické zákony zůstávají nezměněny proti změně rozměrů (velikosti) fyzické skutečnosti ve stejném systému jednotek, ať už jde o změny skutečného nebo imaginárního charakteru..

Nejjasnější aplikace principu podobnosti je dána v analýze fyzikálních vlastností modelu vytvořeného v menším měřítku, pro pozdější využití výsledků v objektu v reálné velikosti.

Tato praxe je zásadní v oblastech, jako je návrh a výroba letadel a lodí a ve velkých hydraulických dílech.

Aplikace

Mezi mnoha aplikacemi dimenzionální analýzy můžeme zdůraznit níže uvedené.

- Vyhledejte možné chyby v provedených operacích

- Řešit problémy, jejichž řešení představuje některé nepřekonatelné matematické obtíže.

- Navrhněte a analyzujte malé modely.

- Udělejte pozorování o tom, jak možné modifikace vlivu modelu.

Kromě toho se při studiu mechaniky tekutin používá poměrně často rozměrová analýza.

Relevance rozměrové analýzy v mechanice tekutin je způsobena obtížností při vytváření rovnic v určitých tocích, stejně jako obtížností při jejich řešení, takže není možné získat empirické vztahy. Proto je nutné uchýlit se k experimentální metodě.

Vyřešená cvičení

První cvičení

Najděte rozměrovou rovnici rychlosti a zrychlení.

Řešení

Protože v = s / t, je pravda, že: [v] = L / T = L ∙ T-1

Podobně:

a = v / t

[a] = L / T2 = L ∙ T-2

Druhé cvičení

Určete rozměrovou rovnici množství pohybu.

Řešení

Protože hybnost je součinem hmotnosti a rychlosti, platí, že p = m ∙ v

Proto:

[p] = M ∙ L / T = M ∙ L ∙ T-2

Odkazy

  1. Rozměrová analýza (n.d.). Ve Wikipedii. Získáno 19. května 2018, z en.wikipedia.org.
  2. Rozměrová analýza (n.d.). Ve Wikipedii. Získáno 19. května 2018, z en.wikipedia.org.
  3. Langhaar, H. L. (1951), Rozměrová analýza a teorie modelů, Wiley.
  4. Fidalgo Sánchez, José Antonio (2005). Fyzika a chemie. Everest
  5. David C. Cassidy, Gerald James Holton, Floyd James Rutherford (2002). Pochopení fyziky. Birkhäuser.