Podíl:
Co je to Vektor a jaké jsou jeho charakteristiky?
A vektor je to veličina nebo jev, který má dvě nezávislé vlastnosti: velikost a směr. Termín také označuje matematické nebo geometrické znázornění takového množství.
Příklady vektorů v přírodě jsou rychlost, síla, elektromagnetická pole a hmotnost. Množství nebo jev, který ukazuje pouze velikost, bez specifického směru, se nazývá skalární.
Příklady skalárů zahrnují rychlost, hmotnost, elektrický odpor a kapacitu pevného disku.
Vektory mohou být reprezentovány graficky ve dvou nebo třech rozměrech. Velikost je zobrazena jako délka segmentu. Směr je znázorněn orientací segmentu a šipkou na jednom konci.
Výše uvedený obrázek ukazuje tři vektory ve dvou-rozměrných pravoúhlých souřadnicích (kartézská rovina) a jejich ekvivalenty v polárních souřadnicích.
Vektory ve fyzice
Ve fyzice, když máte vektor, musíte vzít v úvahu dvě veličiny: jeho směr a velikost. Množství, která mají pouze jednu velikost, se nazývají skaláry. Je-li směr uveden skalární veličině, vytvoří se vektor.
Vizuálně vidíte vektory nakreslené jako šipky, což je dokonalé, protože šipka má jasný směr a jasnou velikost (délka šipky).
Na následujícím obrázku šipka představuje vektor, který začíná na úpatí šipky (nazývané také ocas) a končí v hlavě.
Ve fyzice, tučný dopis je obvykle používán reprezentovat vektor, ačkoli to může také být reprezentováno jako dopis s šipkou na tom..
Šipka znamená, že nejde jen o skalární hodnotu, kterou by reprezentovala A, ale také něco se směrem.
Rozdíly mezi vektorem a skalárem
Hodnoty, které nejsou vektory, jsou skalární. Například takové množství 500 jablek je skalární, nemá adresu, je to jen velikost. Čas je také skalární, nemá žádný směr.
Rychlost je však vektor, protože určuje nejen velikost (rychlost) trasy, ale také směr (a směr) trasy..
Například čára působení vektoru rychlosti může
30 ° od vodorovné roviny. Proto víme, jakým směrem se objekt pohybuje.
Nicméně, to ještě neuvádí směr cesty, zda se pohybuje od nás, nebo se blíží k nám. Proto také určujeme směr, ve kterém vektor působí přes šipku.
Síla, zrychlení a ujetá vzdálenost jsou také vektory. Například, říkat, že auto se pohybovalo 10 metrů neuvádí, kterým směrem se pohyboval. Pro úplnou specifikaci pohybu je také nutné určit směr a směr pohybu.
Síla je také vektor, protože když vytáhnete objekt směrem k sobě, přiblíží se vám, a pokud objekt odtáhnete od sebe. Tak síla má směr a smysl, a proto, to je vektor.
Příklad
Jako příklady informací, které vektor poskytuje, máme následující:
Hledejte zlatou tašku
Předpokládejme, že učitel vám řekne: "Taška zlata je mimo učebnu, abych ji našla, pohněte 20 metrů." Toto prohlášení vás jistě zaujme, nicméně v prohlášení není dostatek informací, aby bylo možné najít zlatou tašku.
Posunutí potřebné k nalezení zlatého sáčku nebylo plně popsáno. Na druhou stranu, předpokládejme, že vám učitel říká: „Vně učebny se nachází pytel zlata, který se nachází ve středu dveří třídy 20 metrů ve směru 30 ° západně od severu“..
Toto prohlášení nyní poskytuje úplný popis vektoru posunutí, který uvádí velikost (20 metrů) a směr (30 ° západně od severu) s ohledem na referenční nebo odletovou polohu (střed dveří třídy). ).
Vektorové veličiny nejsou plně popsány, pokud není uvedena velikost ani směr.
Posunutí vozu
Když se pohybujeme v autě, používáme různé vektory. Tyto vektory se objevují při každé změně rychlosti.
Když zrychlíme předběhnout další auto, přidáváme proměnné směru a rychlosti, které tvoří nový vektor.
Na druhou stranu, když chceme snížit rychlost, odečítáme vektory odpovídající uvedenému zpomalení.
V jiném smyslu, když se obrátíme bez změny rychlosti, upravujeme smysl pro vektor, který vychází z pohybu auta..
Otevřete dveře
Když otevřeme dveře, použijeme několik vektorů. Nejprve musíme vytisknout sílu v daném směru, abychom otočili knoflíkem dveří, pak musíme tlačit dveře v daném směru a vytisknout sílu..
Tyto hodnoty síly a směru odpovídají vektorům, které se používají k otevření dveří. Proces zavírání dveří bude generovat nový vektor, ve kterém bude jeho hodnota záporná ve vztahu k té, která byla původně otevřena..
Přesuňte krabici
Když chceme zatlačit krabici, která je velmi těžká, musíme vyvinout sílu na její boční plochu. Tato síla musí být vyvíjena v jednom směru, aby se krabice mohla pohybovat.
V tomto případě bude vektor vyplývat z kombinace síly a směru aplikovaného pro pohyb krabice.
V případě, že síla není použita k zatlačení krabice, ale pro její vertikální zvednutí, objeví se nový vektor.
Tento vektor se bude skládat ze svislé osy, na které je skříň zvednuta, a síly použité pro její zvednutí.
Přesuňte šachovou tašku
Stejně jako v předchozím příkladu lze šachový čip přesunout na povrch stolu - v daném směru a při použití specifické síly - změnit pozici na desce, čímž se vytvoří vektor..
To může také být zvednut mimo tabuli, vytvářet nový vektor svisle.
Stiskněte tlačítko
Botó bude stisknuto pouze jedním směrem, dáno stejným systémem, který obsahuje tlačítko.
Pro stisknutí tohoto tlačítka je nutné použít sílu prstem. Výsledkem tohoto pohybu bude vektor.
Zahrajte si kulečník
Výsledkem zásahu kulečníkové koule s dřevěným tágem je okamžitě vektor, protože má vliv dvou veličin: síly a směru.
Síla bude aplikována na kulečníkovou kouli, aby se pohybovala v určitém směru. Kulečníková koule na stole bude mít předem stanovený smysl, který bude záviset na rozhodnutí hráče.
Tahání autíčko
Když si dítě vezme své autíčko a vytáhne ho na laně, nebo ho jednoduše manipuluje rukama, bude generovat četné vektory.
Pokaždé, když dítě změní rychlost nebo směr, ve kterém se vůz pohybuje, vytvoří nový vektor.
Proměnné vektoru by se v tomto případě skládaly z energie, kterou dítě aplikuje na vůz, a ze směru, kterým se chce pohybovat..
Reprezentace vektorů
Vektorové veličiny jsou často reprezentovány vektorovými diagramy.
Vektorové diagramy představují vektor pomocí šipky nakreslené v určitém směru. Vhodné vektorové schéma by mělo mít několik charakteristik:
- Váha je jasně uvedena.
- Vektorová šipka je nakreslena (se šipkou) ve specifickém směru. Šipka vektoru má hlavu a ocas.
- Velikost a směr vektoru je jasně označen.
Adresa vektoru
Vektory mohou být směrovány na východ, na západ, na jih a na sever. Některé vektory však směřují na severovýchod (pod úhlem 45 °). Proto je zřejmá potřeba identifikovat směr vektoru, který nezávisí na severu, jihu, východu nebo západu.
Existuje řada konvencí, které popisují směr jakéhokoliv vektoru, avšak pouze dva z nich budou vysvětleny níže.
Směr vektoru je často vyjádřen jako úhel natočení vektoru kolem jeho "ocasu" na východ, západ, sever nebo jih..
Například, to může být říkal, že vektor má adresu 40 ° severně od západu (znamenat, že vektor ukazovat na západ byl otočený 40 ° k severu směr) nebo že to má směr 65 ° mír. na východ od jihu (což znamená, že vektor směřující na jih se otočil o 65 ° východně).
2 - Směr vektoru je často vyjádřen jako úhel natočení ve směru proti směru hodinových ručiček vektoru. Pomocí této konvence je vektor s 30 ° směrem vektorem, který byl otočen o 30 ° proti směru hodinových ručiček vzhledem k východu..
Vektor se směrem 160 ° je vektor, který byl otočen o 160 ° proti směru hodinových ručiček vzhledem k východu. Vektor s 270 ° směrem je vektor, který byl otočen o 270 ° proti směru hodinových ručiček vzhledem k východu.
Velikost vektoru
Velikost vektoru v měřítku vektorového diagramu je reprezentována délkou šipky. Šipka je nakreslena přesnou délkou podle zvoleného měřítka.
Chcete-li například kreslit vektor, který má velikost 20 metrů, můžete zvolit měřítko 1 cm = 5 metrů a nakreslit šipku o délce 4 cm..
Ve stejném měřítku (1 cm = 5 m) bude vektor posunutí o 15 metrů reprezentován 3 cm dlouhým vektorovým šípem.
Stejným způsobem je vektor posunutí 25 metrů reprezentován šipkou o délce 5 cm. A konečně, vektor posunutí 18 metrů je reprezentován šipkou o délce 3,6 cm.
Další charakteristiky vektorů
RovnostŘíká se, že dva vektory jsou stejné, pokud mají stejnou velikost a směr. Rovněž budou stejné, pokud budou jejich souřadnice stejné.
Opozice: dva vektory jsou opačné, pokud mají stejnou velikost, ale opačný směr.
Paralely: dva vektory jsou paralelní, pokud mají stejný směr, ale ne nutně stejnou velikost, nebo antiparalelní, pokud mají opačný směr, ale ne nutně stejnou velikost.
Vektorové jednotky: jednotkový vektor je jakýkoliv vektor s délkou jednoho.
Vektor nula: nulový vektor je vektor s nulovou délkou. Na rozdíl od jiných vektorů má libovolný nebo neurčitý směr a nemůže být normalizován
Odkazy
- Jong IC, Rogers BG. Inženýrská mechanika: statika (1991). Saunders College Publishing.
- Ito K. Encyklopedický slovník matematiky (1993). MIT Stiskněte.
- Ivanov AB. Encyklopedie matematiky (2001). Springer.
- Kane T, Levinson D. Dynamics Online (1996). Sunnyvale: OnLine Dynamics.
- Lang S. Úvod do lineární algebry (1986). Springer.
- Niku S. Inženýrské principy v každodenním životě pro non-inženýry (2016). Morgan & Claypool.
- Pedoe D. Geometrie: komplexní kurz (1988). Dover.