Jaké typy integrálů existují?

typy integrálů , které nacházíme ve výpočtu jsou: Neomezené integrály a definované integrály. Ačkoliv definitivní integrály mají mnohem více aplikací než neurčité integrály, je třeba se nejprve naučit řešit neurčité integrály..

Jednou z nejatraktivnějších aplikací určitých integrálů je výpočet objemu rotačního tělesa.

Oba typy integrálů mají stejné vlastnosti linearity a také integrační techniky nezávisí na typu integrálu.

Ale navzdory tomu, že je velmi podobný, existuje hlavní rozdíl; v prvním typu integrálu je výsledkem funkce (která není specifická), zatímco ve druhém typu je výsledkem číslo.

Dva základní typy integrálů

Svět integrálů je velmi široký, ale v tomto rámci můžeme rozlišovat dva základní typy integrálů, které mají v každodenním životě velkou použitelnost..

1 - Neomezené integrály

Jestliže F '(x) = f (x) pro všechny x v doméně f, říkáme, že F (x) je antiderivát, primitiv nebo integrál f (x).

Na druhé straně pozorujeme, že (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), což znamená, že integrál funkce není jedinečný, protože dávat různé hodnoty konstantě C získáme různé antideriváty.

Z tohoto důvodu se F (x) + C nazývá neurčitá integrál f (x) a C se nazývá integrační konstanta a my ji zapisujeme následujícím způsobem

Jak je vidět, neurčitý integrál funkce f (x) je rodina funkcí.

Pokud například chcete vypočítat neurčitý integrál funkce f (x) = 3x², musíte nejprve najít antiderivaci f (x).

Je snadné si všimnout, že F (x) = x³ je antiderivativní, protože F '(x) = 3x². Proto lze konstatovat, že

∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.

2- Definované integrály

Nechť y = f (x) je skutečná funkce, spojitá v uzavřeném intervalu [a, b] a nechť F (x) je antiderivát f (x). Jmenuje se konečný integrál f (x) mezi limity a a b k číslu F (b) -F (a) a označuje se následovně

Výše uvedený vzorec je lépe známý jako "Základní věta o počtu". Tady “a” je volán dolní limit a “b” je volán horní limit. Jak vidíte, určitým integrálem funkce je číslo.

V tomto případě, pokud se vypočte určitý integrál f (x) = 3x² v intervalu [0,3], získá se číslo.

Pro určení tohoto čísla zvolíme F (x) = x³ jako antiderivativní f (x) = 3x². Pak vypočítáme F (3) -F (0), což nám dává výsledek 27-0 = 27. Závěrem lze říci, že konečný integrál f (x) v intervalu [0,3] je 27.

Lze zdůraznit, že pokud je vybráno G (x) = x³ + 3, pak G (x) je antiderivát f (x) jiný než F (x), ale to nemá vliv na výsledek, protože G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. Z tohoto důvodu se v definovaných integrálech integrační konstanta neobjeví.

Jedna z nejužitečnějších aplikací, kterou tento typ integrálu má, je, že umožňuje vypočítat plochu (objem) plochého obrázku (rotačního tělesa) a stanovit vhodné funkce a integrační limity (a osu otáčení)..

V rámci definovaných integrálů můžeme najít různá rozšíření, jako například lineární integrály, povrchové integrály, nevhodné integrály, mnohočetné integrály, mimo jiné všechny s velmi užitečnými aplikacemi ve vědě a technice.

Odkazy

1. Casteleiro, J. M. (2012). Snadno se integruje? Manuální výuka. Madrid: ESIC.
2. Casteleiro, J. M., & Gómez-Álvarez, R. P. (2002). Komplexní výpočet (Ilustrovaná ed.). Madrid: ESIC Editorial.
3. Fleming, W., & Varberg, D.E. (1989). Matematika precalculus. Prentice Hall PTR.
4. Fleming, W., & Varberg, D.E. (1989). Precalculus matematika: přístup k řešení problémů (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
5. Kishan, H. (2005). Integrální počet. Atlantik vydavatelé a distributoři.
6. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Výpočet (Devátý ed.). Prentice Hall.