Jaké jsou šikmé trojúhelníky? (s řešenými cvičeními)



šikmé trojúhelníky jsou trojúhelníky, které nejsou obdélníky. To znamená, že trojúhelníky takové, že žádný z jeho úhlů není pravý úhel (jeho měření je 90 °).

S žádným pravým úhlem, pak Pythagorean teorém nemůže být aplikován na tyto trojúhelníky.

Aby bylo možné znát data v šikmém trojúhelníku, je nutné použít jiné vzorce.

Vzorce potřebné k řešení šikmého trojúhelníku jsou tzv. Zákony sinusů a kosinusů, které budou popsány později..

Kromě těchto zákonů lze vždy použít skutečnost, že součet vnitřních úhlů trojúhelníku je roven 180 °..

Šikmé trojúhelníky

Jak bylo řečeno na začátku, šikmý trojúhelník je trojúhelník, takže žádný z jeho úhlů měří 90 °.

Problém nalezení délek stran šikmého úhlu trojúhelníku, stejně jako nalezení rozměrů jeho úhlů, se nazývá "rozlišení šikmých trojúhelníků".

Důležitým faktem při práci s trojúhelníky je, že součet tří vnitřních úhlů trojúhelníku je roven 180 °. To je obecný výsledek, proto může být pro šikmé trojúhelníky také použito.

Zákony prsou a kosinusů

Vzhledem k trojúhelníku ABC se stranami délky "a", "b" a "c":

- Zákon prsou uvádí, že a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C), kde A, B a C jsou opačné úhly k "a", "b" a "c" resp.

- Zákon kosinusů uvádí, že: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). Rovněž lze použít následující vzorce:

b² = a² + c² - 2ac * cos (B) nebo a² = b² + c² - 2bc * cos (A).

Pomocí těchto vzorců můžete vypočítat data šikmého úhlu trojúhelníku.

Cvičení

Zde jsou některá cvičení, ve kterých byste měli najít chybějící údaje o zadaných trojúhelnících z určitých dodaných dat.

První cvičení

Vzhledem k trojúhelníku ABC tak, že A = 45º, B = 60 ° a a = 12cm, vypočítejte ostatní údaje trojúhelníku.

Řešení

Použitím toho, že součet vnitřních úhlů trojúhelníku je roven 180 °, musíte

C = 180 ° - 45 ° - 60 ° = 75 °.

Tyto tři úhly jsou již známy. Pak pokračujte v používání zákonů prsou k výpočtu dvou stran, které chybí.

Rovnice, které jsou představovány, jsou 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

Z první rovnosti můžete vymazat "b" a dostat to

b = 12 * sin (60 °) / sin (45 °) = 6√6 ≈ 14,696cm.

Můžete také vymazat "c" a dostat to

c = 12 * sin (75 °) / sin (45 °) = 6 (1 + 3) ≈ 16,392cm.

Druhé cvičení

Vzhledem k trojúhelníku ABC, že A = 60 °, C = 75 ° a b = 10cm, vypočítejte ostatní údaje trojúhelníku.

Řešení

Stejně jako v předchozím cvičení, B = 180º-60º-75º = 45º. Navíc, používat právo prsou to je nutné to a / sin (60º) = 10 / sin (45º) = c / sin (75º), od kterého to je získáno to a = 10 * sin (60º) / sin (45º) \ t = 5 × 6 × 12,247 cm a c = 10 x sin (75 °) / sin (45 °) = 5 (1 + 3) ≈ 13,660 cm.

Třetí cvičení

Vzhledem k tomu, že trojúhelník ABC takový, že a = 10 cm, b = 15 cm a C = 80 °, vypočítejte ostatní údaje trojúhelníku.

Řešení

V tomto cvičení je znám pouze jeden úhel, proto nemůžete začít tak, jak jste to dělali ve dvou předchozích cvičeních. Také právo prsou nelze použít, protože žádná rovnice nemůže být vyřešena.

Proto aplikujeme právo kosinů. Pak je to tak

c² = 10² + 15² - 2 (10) (15) cos (80 °) = 325 - 300 * 0,173 ≈ 272,905 cm,

tak, aby c ≈ 16,51 cm. S vědomím 3 stran se používá zákon prsou a dostanete

10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16,51 cm / sin (80 °).

Odtud, na clearing B to vyplývá bez (B) = 15 * sin (80º) / 16.51 ≈ 0.894, což znamená, že B ≈ 63.38º.

Nyní lze získat, že A = 180º - 80º - 63.38º ≈ 36.62º.

Čtvrté cvičení

Strany šikmého trojúhelníku jsou a = 5 cm, b = 3 cm a c = 7 cm. Vypočítejte úhly trojúhelníku.

Řešení

Opět platí, že právo prsou nelze použít přímo, protože žádná rovnice by sloužila k získání hodnoty úhlů.

Použijeme-li zákon kosinus, máme to c² = a² + b² - 2ab cos (C), kde když zjistíme, že máme cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2 a proto C = 120 °.

Pokud nyní můžete aplikovat zákon prsou a dostat 5 / sin (A) = 3 / sin (B) = 7 / sin (120), kde můžete vymazat B a dostat to bez (B) = 3 * sin (120º) / 7 = 0,371, takže B = 21,79 °.

Nakonec se vypočte poslední úhel pomocí A = 180º-120º-21.79º = 38,21º.

Odkazy

  1. Landaverde, F. d. (1997). Geometrie (Reprint ed.). Pokrok.
  2. Leake, D. (2006). Trojúhelníky (znázorněno na obr.). Heinemann-Raintree.
  3. Pérez, C. D. (2006). Precalculus. Pearson Education.
  4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrie. Technologie ČR.
  5. Sullivan, M. (1997). Precalculus. Pearson Education.
  6. Sullivan, M. (1997). Trigonometrie a analytická geometrie. Pearson Education.