Co jsou trigonometrické hranice? (s vyřešenými cvičeními)

goniometrické limity jsou limity funkcí tak, že tyto funkce jsou tvořeny trigonometrickými funkcemi.

Existují dvě definice, které musí být známy, aby bylo možné pochopit, jak se provádí výpočet trigonometrického limitu.

Tyto definice jsou:

- Limit funkce "f", když "x" inklinuje k "b": spočívá ve výpočtu hodnoty, ke které f (x) přistupuje jako "x", přiblížení "b", bez dosažení "b".

- Trigonometrické funkce: goniometrické funkce jsou sinusové, kosinové a tangentní funkce, označené sin (x), cos (x) a tan (x) resp..

Ostatní goniometrické funkce jsou získány ze tří výše uvedených funkcí.

Omezení funkcí

Pro objasnění pojmu limitu funkce bude ukázáno několik příkladů s jednoduchými funkcemi.

- Limit f (x) = 3, když "x" inklinuje k "8", se rovná "3", protože funkce je vždy konstantní. Bez ohledu na to, kolik stojí "x", hodnota f (x) bude vždy "3".

- Limit f (x) = x-2 když "x" inklinuje k "6" je "4". Protože když "x" se blíží "6", pak "x-2" se blíží "6-2 = 4".

- Limit g (x) = x² když “x” inklinuje k “3” je roven 9, protože když “x” se blíží “3” pak “x?” Se blíží “3? = 9” \ t.

Jak lze vidět v předchozích příkladech, výpočet limitu spočívá v vyhodnocení hodnoty, na kterou má funkce „x“ tendenci, a výsledkem bude hodnota limitu, i když to platí pouze pro spojité funkce.

Existují složitější limity?

Odpověď zní ano. Výše uvedené příklady jsou nejjednodušší příklady limitů. V kalkulačních knihách jsou hlavními limity cvičení ty, které generují neurčitost typu 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 a (∞) ^ 0.

Tyto výrazy se nazývají indeterminace, protože jsou výrazy, které matematicky nedávají smysl.

Kromě toho může být výsledek dosažený při řešení indeterminace v každém případě odlišný v závislosti na funkcích zahrnutých v původním limitu..

Příklady jednoduchých goniometrických limitů

K řešení limitů je vždy velmi užitečné znát grafy příslušných funkcí. Níže jsou uvedeny grafy funkcí sinus, cosine a tangenta.

Některé příklady jednoduchých goniometrických limitů jsou:

- Vypočítejte limit sin (x), když "x" inklinuje k "0".

Při prohlížení grafu vidíte, že pokud se "x" blíží "0" (obě vlevo i vpravo), blíží se sinusový graf také "0". Proto je limit sin (x), když "x" inklinuje k "0", "0".

- Vypočítejte limit cos (x), když "x" inklinuje k "0".

Při pozorování kosinusového grafu je vidět, že když se "x" blíží "0", pak se kosinový graf blíží "1". To znamená, že limit cos (x), když "x" inklinuje k "0", se rovná "1".

Limit může existovat (může být číslo), jako v předchozích příkladech, ale může se také stát, že neexistuje, jak je uvedeno v následujícím příkladu.

- Limit opálení (x), když "x" má sklon k "left / 2" vlevo, se rovná "+ ∞", jak je vidět v grafu. Na druhé straně, limit tan (x) když “x” inklinuje k “-Π / 2” napravo je rovný “-∞” \ t.

Identity trigonometrických hranic

Dvě velmi užitečné identity při výpočtu trigonometrických limitů jsou:

- Limit "sin (x) / x", když "x" inklinuje k "0", se rovná "1".

- Limit "(1-cos (x)) / x" když "x" má tendenci k "0", je roven "0".

Tyto identity se používají velmi často, když máte nějaký druh neurčitosti.

Vyřešená cvičení

Pomocí výše popsaných identit vyřešte následující limity.

- Vypočítejte limit "f (x) = sin (3x) / x", když "x" inklinuje k "0".

Pokud je funkce "f" vyhodnocena v "0", získá se indikace typu 0/0. Proto se musíme pokusit vyřešit tuto neurčitost pomocí popsaných identit.

Jediný rozdíl mezi tímto limitem a identitou je číslo 3, které se objeví ve funkci sinus. Aby bylo možné použít identitu, musí být funkce "f (x)" přepsána následujícím způsobem "3 * (sin (3x) / 3x)". Teď, jak argument sine, tak jmenovatel jsou si rovni.

Takže když "x" inklinuje k "0", použitím identity dojde k "3 * 1 = 3". Proto limit f (x), když "x" inklinuje k "0", se rovná "3".

- Vypočítejte mez "g (x) = 1 / x - cos (x) / x", když "x" má tendenci na "0".

Je-li "x = 0" substituováno v g (x), získá se indikace neurčitého typu ∞-∞. Aby se to vyřešilo, zlomky se odečítají, což dává výsledek "(1-cos (x)) / x".

Nyní, když aplikujeme druhou trigonometrickou identitu, máme limit g (x), když "x" inklinuje k "0" se rovná 0.

- Vypočítejte limit "h (x) = 4tan (5x) / 5x", když "x" má tendenci "0".

Opět platí, že pokud hodnotíte hodnotu h (x) na hodnotu „0“, získáte indikaci typu 0/0.

Přepisování tan (5x) jako sin (5x) / cos (5x) má za následek, že h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Pomocí limitu 4 / cos (x), když "x" inklinuje k "0", se rovná "4/1 = 4" a získá se první goniometrická identita, že limit h (x), když "x" inklinuje "0" se rovná "1 * 4 = 4".

Pozorování

Trigonometrické limity nejsou vždy snadné vyřešit. V tomto článku byly uvedeny pouze základní příklady.

Odkazy

1. Fleming, W., & Varberg, D.E. (1989). Matematika precalculus. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, D.E. (1989). Precalculus matematika: přístup k řešení problémů (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra a trigonometrie s analytickou geometrií. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 ed.). Cengage učení.
5. Leal, J. M., & Viloria, N. G. (2005). Plochá analytická geometrie. Mérida - Venezuela: Redakční Venezolana C. A.
6. Pérez, C. D. (2006). Precalculus. Pearson Education.
7. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Výpočet (Devátý ed.). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Diferenciální počet s časnými transcendentními funkcemi pro vědu a inženýrství (Druhé vydání ed.). Hypotenuse.
9. Scott, C. A. (2009). Kartézská geometrie roviny, část: Analytické kužely (1907) (dotisk ed.). Zdroj blesku.
10. Sullivan, M. (1997). Precalculus. Pearson Education.