Co je Gravicentro? (s příklady)

gravicentro je definice, která je široce používána v geometrii při práci s trojúhelníky.

Abychom pochopili definici gravicentra, je třeba nejprve znát definici "mediánů" trojúhelníku.

Medián trojúhelníku jsou úsečky, které začínají na každém vrcholu a dosahují středu strany naproti tomuto vrcholu..

Průsečík tří mediánů trojúhelníku se nazývá barycenter nebo je také známý jako gravicentro.

Nestačí jen znát definici, je zajímavé vědět, jak se tento bod vypočítá.

Výpočet Barycentra

Daný trojúhelník ABC s vrcholy A = (x1, y1), B = (x2, y2) a C = (x3, y3), my máme to gravicentro je průsečík tří mediánů trojúhelníku.

Rychlý vzorec, který dovolí výpočet gravicentro trojúhelníku, být známý souřadnicemi jeho vrcholů je: \ t

G = ((x1 + x2 + x3) / 3, (y1 + y2 + y3) / 3).

S tímto vzorcem můžete znát polohu gravicentra v karteziánské rovině.

Charakteristika zařízení Gravicentro

Není nutné kreslit tři mediány trojúhelníku, protože při kreslení dvou z nich bude zřejmé, kde je gravicentro.

Gravicentro rozděluje každý medián do dvou částí, jejichž poměr je 2: 1, to znamená, že dva segmenty každého mediánu jsou rozděleny na úseky délky 2/3 a 1/3 celkové délky, větší vzdálenost je ta, která je mezi vrcholem a gravicentrem.

Tuto vlastnost nejlépe ilustruje následující obrázek.

Vzorec pro výpočet gravicentra je velmi snadné aplikovat. Způsob, jak získat tento vzorec, spočívá ve výpočtu rovnic, které definují každý medián, a pak najít bod řezu těchto čar.

Cvičení

Níže je uveden malý seznam problémů týkajících se výpočtu barycentra.

1.- Vzhledem k trojúhelníku vrcholů A = (0,0), B = (1,0) a C = (1,1) vypočítáme gravicentrum uvedeného trojúhelníku.

Pomocí daného vzorce lze rychle dojít k závěru, že gravicentro trojúhelníku ABC je:

G = ((0 + 1 + 1) / 3, (0 + 0 + 1) / 3) = (2/3, 1/3).

2.- Pokud má trojúhelník vrcholy A = (0,0), B = (1,0) a C = (1 / 2,1), jaké jsou souřadnice gravicentra?

Jelikož jsou známé vrcholy trojúhelníku, použije se vzorec pro výpočet gravicentra. Gravicentro má proto souřadnice:

G = ((0 + 1 + 1/2) / 3, (0 + 0 + 1) / 3) = (1/2, 1/3).

3.- Vypočítat možné gravicenters pro rovnostranný trojúhelník takový že dva jeho vrcholů být A = (0,0) a B = (2,0) \ t.

V tomto cvičení jsou specifikovány pouze dva vrcholy trojúhelníku. Abychom našli možné gravicentros, musíme nejprve spočítat třetí vrchol trojúhelníku.

Protože trojúhelník je rovnostranný a vzdálenost mezi A a B je 2, máme třetí vrchol C, musí být ve vzdálenosti 2 od A a B.

Použitím skutečnosti, že v rovnostranném trojúhelníku se výška shoduje s mediánem a také s použitím Pytagorova věty, můžeme konstatovat, že možnosti pro souřadnice třetího vrcholu jsou C1 = (1, √3) nebo C2 = (1, - √3).

Souřadnice dvou možných gravicentros jsou:

G1 = ((0 + 2 + 1) / 3, (0 + 0 + √3) / 3) = (3/3, √3 / 3) = (1, √3 / 3),

G2 = ((0 + 2 + 1) / 3, (0 + 0-√3) / 3) = (3/3, -√3 / 3) = (1, -3 / 3).

Díky předchozím účtům lze také konstatovat, že medián byl rozdělen do dvou částí, jejichž poměr je 2: 1.

Odkazy

1. Landaverde, F. d. (1997). Geometrie (Reprint ed.). Pokrok.
2. Leake, D. (2006). Trojúhelníky (znázorněno na obr.). Heinemann-Raintree.
3. Pérez, C. D. (2006). Precalculus. Pearson Education.
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrie. Technologie ČR.
5. Sullivan, M. (1997). Precalculus. Pearson Education.
6. Sullivan, M. (1997). Trigonometrie a analytická geometrie. Pearson Education.