Významné vysvětlení produktů a cvičení řešena



pozoruhodné produkty jedná se o algebraické operace, kde jsou vyjádřeny násobky polynomů, které není třeba řešit tradičně, ale pomocí určitých pravidel můžete najít jejich výsledky..

Polynomy jsou násobeny samy o sobě, proto mohou mít velký počet termínů a proměnných. Aby byl proces kratší, používají se pravidla pozoruhodných produktů, která umožňují provádět násobení, aniž by museli jít po termínu..

Index

  • 1 Významné produkty a příklady
    • 1.1 Binomiální kvadrát
    • 1.2 Produkt konjugovaných binomií
    • 1.3 Produkt dvou binomií se společným výrazem
    • 1.4 Polynomiální kvadrát
    • 1.5 Binomiální ke kostce
    • 1.6 Kbelík trojzubce
  • 2 Cvičení řešená pro pozoruhodné produkty
    • 2.1 Cvičení 1
    • 2.2 Cvičení 2
  • 3 Odkazy

Významné produkty a příklady

Každý pozoruhodný produkt je vzorec, který vyplývá z factorization, složený z polynomials různých termínů takový jako binomials nebo trinomials, volal faktory \ t.

Faktory jsou základem moci a mají exponenta. Když se faktory násobí, musí být přidány exponenty.

Tam je několik pozoruhodných produktových vzorců, někteří jsou více použití než jiní, se spoléhat na polynomials, a oni jsou následující: \ t

Binomiální kvadrát

To je násobení binomial sám, vyjádřený ve formě síly, kde termíny jsou přidány nebo odečteny: \ t

a. Binomický součet na náměstí: je roven čtverci prvního výrazu plus dvojnásobku součinu termínů plus čtverec druhého výrazu. Je vyjádřena následovně:

(a + b)2 = (a + b) * (a + b).

Následující obrázek ukazuje, jak je výrobek vyvíjen podle výše uvedeného pravidla. Výsledek se nazývá trojice dokonalého čtverce.

Příklad 1

(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²

(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25

(x + 5) ² = x² + 10x + 25.

Příklad 2

(4a + 2b) = (4a)2 + 2 (4a) * 2b) + (2b)2

(4a + 2b) = 8a2 + 2 (8ab) + 4b2

(4a + 2b) = 8a2 + 16 ab + 4b2.

b. Binomické odčítání na druhou mocninu: stejné pravidlo platí i pro binomický součet, pouze v tomto případě je druhý termín negativní. Jeho vzorec je následující:

(a - b)2 = [(a) + (- b)]2

(a - b)2 = a2 +2a * (-b) + (-b)2

(a - b)2  = a2 - 2ab + b2.

Příklad 1

(2x - 6)2 = (2x)2 - 2 (2x * 6) + 62

(2x - 6)2  = 4x2 - 2 (12x) + 36

(2x - 6)2 = 4x2 - 24x + 36.

Produkt konjugovaných binomialů

Dva binomials jsou konjugovány když druhé termíny každého jsou různých znamení, to je to první to je pozitivní a to druhého záporného nebo naopak. Vyřešte každý monomický čtverec a odečtěte. Jeho vzorec je následující:

(a + b) * (a - b)

V následujícím obrázku je vyvinut produkt dvou konjugovaných binomialů, kde je pozorováno, že výsledkem je rozdíl čtverců.

Příklad 1

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b)2)

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a2 - 9b2.

Produkt dvou binomií se společným termínem

Je to jeden z nejsložitějších a málo používaných pozoruhodných produktů, protože se jedná o násobení dvou binomií, které mají společný termín. Pravidlo označuje následující:

  • Náměstí společného výrazu.
  • Plus přidejte termíny, které nejsou běžné a pak je vynásobte společným termínem.
  • Navíc součet násobení termínů, které nejsou běžné.

Je reprezentován vzorcem: (x + a) * (x + b) a je vyvíjen tak, jak je znázorněno na obrázku. Výsledkem je čtvercový trinomial, který není dokonalý.

(x + 6) * (x + 9) = x2 + (6 + 9) * x + (6) * 9)

(x + 6) * (x + 9) = x2 + 15x + 54.

Existuje možnost, že druhý termín (odlišný termín) je negativní a jeho vzorec je následující: (x + a) * (x - b).

Příklad 2

(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2)* 7x + (4 * -2)

(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + (2)* 7x - 8

(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + 14x - 8.

Může se také stát, že oba různé termíny jsou negativní. Jeho vzorec bude: (x - a) * (x - b).

Příklad 3

(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6 - 5)* (3b) + (-6 * -5)

(3b - 6) * (3b - 5) = 9b2 + (-11) * (3b) + (30)

(3b - 6) * (3b - 5) = 9b2 - 33b + 30.

Čtvercový polynom

V tomto případě existuje více než dva termíny a rozvíjet je, každý z nich je čtvercový a sčítán dvojnásobkem násobení jednoho výrazu s druhým; jeho vzorec je: (a + b + c)2 Výsledkem operace je trojice.

Příklad 1

(3x + 2y + 4z)2 = (3x)2 + (2y)2 + (4z)2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3x + 2y + 4z)2 = 9x2 + 4y2 + 16z2 + 12xy + 24xz + 16yz.

Binomiální ke kostce

Je to pozoruhodný komplexní produkt. Pro jeho rozvinutí vynásobte binomii svým čtvercem následujícím způsobem:

a. Pro binomii do krychle součtu:

  • Kostka prvního výrazu plus trojnásobek čtverce prvního výrazu druhým.
  • Plus trojnásobek prvního termínu, pro druhý čtverec.
  • Plus kostka druhého termínu.

(a + b)3 = (a + b) * (a + b)2

(a + b)3 = (a + b) * (a2 + 2ab + b2)

(a + b)3 = a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

Příklad 1

(a + 3)3 = a3 + 3 (a)2*(3) + 3 (a)*(3)2 + (3)3

(a + 3)3 = a3 + 3 (a)2*(3) + 3 (a)*(9) + 27

(a + 3)3 = a3 + 9a2 + 27a + 27.

b. Pro binomii do krychle odčítání:

  • Kostka prvního výrazu, mínus trojnásobek čtverce prvního termínu druhým.
  • Plus trojnásobek prvního termínu, pro druhý čtverec.
  • Méně krychle druhého termínu.

(a - b)3 = (a - b) * (a - b)2

(a - b)3 = (a - b) * (a2 - 2ab + b2)

(a - b)3 = a3 - 2a2b + ab2 - ba2 + 2ab2 - b3

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3.

Příklad 2

(b - 5)3 = b3 + 3 (b)2*(-5) + 3 (b)*(-5)2 + (-5)3

(b - 5)3 = b3 + 3 (b)2*(-5) + 3 (b)*(25) -125

(b - 5)3 = b3 - 15b2 +75b - 125.

Kbelík trojzubce

Rozvíjí se tak, že ji znásobuje svým čtvercem. To je pozoruhodný produkt velmi rozsáhlý protože tam jsou 3 termíny zvednuté ke kostce, plus třikrát každý termín čtvercový, násobený každým termínů, plus šestkrát produkt tří termínů. Viděno lépe:

(a + b + c)3 = (a + b + c) * (a + b + c)2

(a + b + c)3 = (a + b + c) * (a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc)

(a + b + c)3 = A3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2 + 3a2c + 3ac2 + 3b2c + 3bc2 + 6abc.

Příklad 1

Řešené cvičení pozoruhodných produktů

Cvičení 1

Rozvinete následující binomii ke kostce: (4x - 6)3.

Řešení

Připomeňme si, že binomický ke kostce je roven prvnímu termínu vznesenému ke kostce, méně trojnásobku čtverce prvního výrazu druhým; plus trojnásobek prvního termínu, druhým čtvercem, mínus kostka druhého termínu.

(4x - 6)3 = (4x)3 - 3 (4x)2(6) + 3 (4x) * (6)2 - (6)2

(4x - 6)3 = 64x3 - 3 (16x)2) (6) + 3 (4x)* (36) - 36

(4x - 6)3 = 64x3 - 288x2 + 432x - 36.

Cvičení 2

Vyvinete následující binomii: (x + 3) (x + 8).

Řešení

Tam je binomial kde tam je obyčejný termín, který je x a druhý termín je pozitivní. K jejímu rozvinutí musíte pouze zařadit společný termín, plus součet termínů, které nejsou společné (3 a 8), a pak je vynásobit společným výrazem plus součet násobků termínů, které nejsou běžné..

(x + 3) (x + 8) = x2 + (3 + 8) x + (3*8)

(x + 3) (x + 8) = x2 + 11x + 24.

Odkazy

  1. Anděl, A. R. (2007). Základní algebra. Pearson Education,.
  2. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra a trigonometrie s analytickou geometrií. Pearson Education.
  3. Das, S. (s.f.). Matematika Plus 8. Spojené království: Ratna Sagar.
  4. Jerome E. Kaufmann, K. L. (2011). Základní a středně pokročilá algebra: kombinovaný přístup. Florida: Cengage učení.
  5. Pérez, C. D. (2010). Pearson Education.