Techniky počítání multiplikativních principů a příklady



multiplikativní princip je technika používaná k řešení problémů s počítáním, aby se našlo řešení, aniž by bylo nutné uvádět její prvky. Je také znám jako základní princip kombinatorické analýzy; je založen na postupném násobení k určení, jak může událost nastat.

Tato zásada stanoví, že v případě rozhodnutí (d1) mohou být přijata n způsoby a jiným rozhodnutím (d2) mohou být přijata m způsobem, celkový počet způsobů, jakými lze rozhodovat1 ad2 bude rovna násobku n * m. Podle principu je každé rozhodnutí učiněno jeden po druhém: počet způsobů = N1 * N2... * Nx způsoby.

Index

  • 1 Příklady
    • 1.1 Příklad 1
    • 1.2 Příklad 2
  • 2 Počítání technik
    • 2.1 Princip přidávání
    • 2.2 Princip permutace
    • 2.3 Princip kombinace
  • 3 Řešené úlohy
    • 3.1 Cvičení 1
    • 3.2 Cvičení 2
  • 4 Odkazy

Příklady

Příklad 1

Paula plánuje jít do kina se svými přáteli, a vybrat si oblečení, které bude nosit, jsem oddělit 3 halenky a 2 sukně. Kolik způsobů, jak se Paula obléká??

Řešení

V tomto případě musí Paula učinit dvě rozhodnutí:

d1 = Vyberte si mezi 3 bloky = n

d2 = Vyberte si mezi 2 sukněmi = m

Paula má tak n * m rozhodování nebo různé způsoby oblékání.

n * m = 3* 2 = 6 rozhodnutí.

Multiplikativní princip vychází z techniky stromového diagramu, což je diagram, který spojuje všechny možné výsledky, takže každý může nastat konečný počet časů..

Příklad 2

Mario byl velmi žíznivý, takže šel do pekárny koupit džus. Luis mu odpoví a řekne mu, že má dvě velikosti: velkou a malou; a čtyři příchutě: jablko, pomeranč, citron a hrozen. Kolik způsobů si Mario může vybrat šťávu?

Řešení

V diagramu lze pozorovat, že Mario má 8 různých způsobů, jak si vybrat šťávu a že stejně jako v multiplikativním principu je tento výsledek získán násobením n*m. Jediný rozdíl je v tom, že prostřednictvím tohoto diagramu můžete vědět, jak jsou způsoby, kterými si Mario vybírá šťávu.

Na druhou stranu, když je počet možných výsledků velmi velký, je praktičtější použít multiplikativní princip.

Techniky počítání

Techniky počítání jsou metody, které se používají k přímému počítání, a tedy znají počet možných uspořádání, které mohou prvky dané množiny mít. Tyto techniky jsou založeny na několika principech:

Princip přidávání

Tento princip uvádí, že pokud se dvě události m a n nemohou vyskytnout současně, počet způsobů, jakými se může první nebo druhá událost vyskytnout, bude součtem m + n:

Počet formulářů = m + n ... + x různých formulářů.

Příklad

Antonio chce jet na výlet, ale nerozhodne, do které destinace; v agentuře South Tourism vám nabídnou povýšení na cestu do New Yorku nebo Las Vegas, zatímco agentura East Tourism Agency doporučuje cestovat do Francie, Itálie nebo Španělska. Kolik různých cestovních možností nabízí Antonio?

Řešení

S agenturou South Tourism má Antonio 2 alternativy (New York nebo Las Vegas), zatímco agentura East Tourism Agency má 3 možnosti (Francie, Itálie nebo Španělsko). Počet různých alternativ je:

Počet alternativ = m + n = 2 + 3 = 5 alternativ.

Princip permutace

Jedná se o objednání specificky všech nebo některých prvků, které tvoří množinu, aby se usnadnilo počítání všech možných uspořádání, která mohou být provedena s prvky..

Počet permutací n různých prvků, které jsou vzaty najednou, je reprezentován jako:

nPn = n!

Příklad

Čtyři přátelé chtějí pořídit obrázek a chtějí vědět, kolik různých forem lze objednat.

Řešení

Chcete znát soubor všech možných způsobů, kterými mohou být 4 osoby umístěny tak, aby se nafotily. Takže musíte:

4P4 = 4! = 4*3*2*1 = 24 různých způsobů.

Je-li počet permutací n dostupných prvků převzat částmi množiny, která je tvořena r elementy, je reprezentován jako:

nPr = n! ÷ (n - r)!

Příklad

V učebně je 10 míst. Pokud 4 studenti navštěvují třídu, kolik různých způsobů mohou studenti obsadit pozice?

Řešení

Celkový počet sad židlí je 10, z čehož bude použito pouze 4. Daný vzorec se použije k určení počtu permutací:

nPr = n! ÷ (n - r)!

10P4 = 10! ÷ (10 - 4)!

10P4 = 10! ÷ 6!

10P4= 10* 9*8*7*6*5*4*3*2*1 ÷ 6*5*4*3*2*1 = 5040 způsobů, jak vyplnit příspěvky.

Existují případy, kdy se některé z dostupných prvků sady opakují (jsou stejné). Pro výpočet počtu opatření zohledňujících všechny prvky najednou se použije tento vzorec:

nPr = n! ÷ n1!* n2!... nr!

Příklad

Kolik různých slov čtyř písmen může být tvořeno slovem "vlk"?

Řešení

V tomto případě máme 4 prvky (písmena), z nichž dva jsou přesně stejné. Použitím daného vzorce víme, kolik různých slov je:

nPr = n! ÷ n1!* n2!... nr!

4P2, 1.1 = 4! ÷ 2!*1!*1!

4P2, 1, 1 = (4)*3*2*1) ÷ (2*1)*1*1

4P2, 1, 1 = 24 ÷ 2 = 12 různých slov.

Princip kombinace

Jde o upevnění všech nebo některých prvků, které tvoří množinu bez specifického pořadí. Pokud máte například pole XYZ, bude totožné s řadami ZXY, YZX, ZYX; to proto, že i když nejsou ve stejném pořadí, prvky každého uspořádání jsou stejné.

Když se vezmou některé prvky (r) množiny (n), je princip kombinace dán následujícím vzorcem:

nCr = n! ÷ (n - r)! R!

Příklad

V obchodě prodávají 5 různých druhů čokolády. Kolik různých způsobů si můžete vybrat 4 čokolády?

Řešení

V tomto případě musíte vybrat 4 čokolády z 5 typů prodávaných v obchodě. Nezáleží na pořadí, ve kterém jsou vybrány, a navíc může být druh čokolády zvolen více než dvakrát. Při použití vzorce musíte:

nCr = n! ÷ (n - r)! R!

5C4 = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

5C4 = 5! ÷ (1)!!

5C4 = 5*4*3*2*1 ÷ 4*3*2*1

5C4 = 120 ÷ 24 = 5 různých způsobů výběru 4 čokolád.

Když se vezmou všechny prvky (r) množiny (n), je princip kombinace dán následujícím vzorcem:

nCn = n!

Vyřešená cvičení

Cvičení 1

Máte baseballový tým se 14 členy. V kolika ohledech můžete přiřadit 5 pozic pro hru?

Řešení

Sada se skládá ze 14 prvků a chcete přiřadit 5 konkrétních pozic; to znamená, že na tom záleží. Aplikuje se permutační vzorec, kde n dostupných prvků jsou převzaty částmi sady, která je tvořena r.

nPr = n! ÷ (n - r)!

Kde n = 14 a r = 5. Je nahrazen vzorcem:

14P5 = 14! 14 (14 - 5)!

14P5 = 14! 9 (9)!

14P5 = 240 240 způsobů, jak přiřadit 9 herních pozic.

Cvičení 2

Pokud rodina s 9 členy cestuje na výlet a kupuje si jízdenky s po sobě jdoucími sedadly, kolik různých způsobů mohou sedět?

Řešení

Je to asi 9 prvků, které zabírají 9 míst za sebou.

P9 = 9!

P9 = 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 362 880 různých způsobů sezení.

Odkazy

  1. Hopkins, B. (2009). Prostředky pro výuku diskrétní matematiky: Projekty ve třídě, moduly historie a články.
  2. Johnsonbaugh, R. (2005). Diskrétní matematika Pearson Education,.
  3. Lutfiyya, L. A. (2012). Řešení konečných a diskrétních matematických úloh. Editoři asociace pro výzkum a vzdělávání.
  4. Padró, F. C. (2001). Diskrétní matematika Politčc. Catalunya.
  5. Steiner, E. (2005). Matematika pro aplikované vědy. Reverte.