Minimální čtvercová metoda, vyřešená cvičení a co to slouží



Metoda nejméně čtverců je jednou z nejdůležitějších aplikací v aproximaci funkcí. Záměrem je najít křivku tak, aby při dané sadě uspořádaných párů tato funkce lépe aproximovala data. Funkcí může být čára, kvadratická křivka, kubická křivka atd..

Myšlenkou metody je minimalizovat součet čtverců rozdílů v souřadnicích (složka Y), mezi body generovanými vybranou funkcí a body, které patří do sady dat.

Index

  • 1 metoda nejmenších čtverců
  • 2 Řešené úlohy
    • 2.1 Cvičení 1
    • 2.2 Cvičení 2
  • 3 Na co to je??
  • 4 Odkazy

Metoda nejmenších čtverců

Než uděláme metodu, musíme si nejprve ujasnit, co znamená „lepší přístup“. Předpokládejme, že hledáme přímku y = b + mx, která nejlépe představuje množinu n bodů, a to (x1, y1), (x2, y2) ..., (xn, yn).

Jak je ukázáno na předchozím obrázku, pokud proměnné x a y souvisely s přímkou ​​y = b + mx, pak pro x = x1 by odpovídající hodnota y byla b + mx1. Tato hodnota se však liší od skutečné hodnoty y, která je y = y1.

Připomeňme, že v rovině je vzdálenost mezi dvěma body dána následujícím vzorcem:

S ohledem na tuto skutečnost, aby bylo možné určit, jak vybrat řádek y = b + mx, který nejlépe odpovídá daným datům, má smysl použít výběr čáry, která minimalizuje součet čtverců vzdáleností mezi body jako kritéria. a rovný.

Vzhledem k tomu, že vzdálenost mezi body (x1, y1) a (x1, b + mx1) je y1- (b + mx1), náš problém je omezen na nalezení čísel m a b tak, že následující součet je minimální:

Řádek, který splňuje tuto podmínku, je znám jako "aproximace nejmenších čtverců do bodů (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)".

Jakmile je problém vyřešen, musíme zvolit metodu, jak najít aproximaci nejmenších čtverců. Pokud jsou body (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) všechny na řádku y = mx + b, museli bychom být kolineární a:

V tomto výrazu:

Nakonec, pokud body nejsou kolineární, pak y-Au = 0 a problém může být přeložen do hledání vektoru nebo takového, že euklidovská norma je minimální.

Nalezení minimalizačního vektoru není tak složité, jak byste si mohli myslet. Protože A je matice nx2 a u je matice 2 × 1, máme, že vektor Au je vektor v Rn a patří do obrazu A, což je podprostor Rn s rozměrem ne větším než dva.

Předpokládáme, že n = 3 ukazuje, který postup je třeba dodržovat. Pokud n = 3, bude obraz A rovinou nebo přímkou, která prochází původem.

Nechť v je minimalizační vektor. Na obrázku vidíme, že y-Au je minimalizováno, když je ortogonální k obrazu A. To je, jestliže v je minimalizující vektor, pak se stane, že:

Poté můžeme výše uvedeným způsobem vyjádřit:

K tomu může dojít pouze tehdy, když:

Nakonec, zúčtování v, musíme:

To lze provést od AtA je invertibilní, pokud n bodů daných jako data nejsou kolineární.

Teď, když místo hledání čáry chceme najít parabolu (jejíž výraz by byl tvaru y = a + bx + cx2), která byla lepší aproximací k n datovým bodům, postup by byl jak je popsáno níže.

Pokud by n datových bodů bylo v uvedené parabole, musel by:

Pak:

Podobným způsobem můžeme napsat y = Au. Pokud všechny body nejsou v parabola, máme, že y-Au se liší od nuly pro jakýkoliv vektor u a náš problém je opět: najít vektor u v R3 tak, že jeho norma || y-Au || být co nejmenší.

Opakováním předchozího postupu můžeme dospět k vektoru, který je hledán:

Vyřešená cvičení

Cvičení 1

Najděte řádek, který nejlépe odpovídá bodům (1,4), (-2,5), (3, -1) a (4,1).

Řešení

Musíme:

Pak:

Proto jsme dospěli k závěru, že řádek, který nejlépe odpovídá bodům, je dán:

Cvičení 2

Předpokládejme, že objekt spadne z výšky 200 m. Při pádu se provádějí následující opatření:

Víme, že výška zmíněného objektu po uplynutí času t je dána vztahem:

Pokud chceme získat hodnotu g, můžeme najít parabolu, která je lepší aproximací k pěti bodům uvedeným v tabulce, a tak bychom měli koeficient, který doprovází \ t2 to bude rozumná aproximace k (-1/2) g jestliže měření jsou přesné.

Musíme:

A pak:

Datové body jsou tedy upraveny následujícím kvadratickým výrazem:

Pak musíte:

To je hodnota, která je přiměřeně blízká hodnotě správné hodnoty, která je g = 9,81 m / s2. Aby bylo možné získat přesnější aproximaci g, bylo by nutné začít z přesnějších pozorování.

Na co to je??

V problémech, které se vyskytují v přírodních nebo společenských vědách, je vhodné napsat vztahy, které se vyskytují mezi různými proměnnými pomocí nějakého matematického výrazu.

Můžeme například spojit náklady (C), příjmy (I) a zisky (U) v ekonomice pomocí jednoduchého vzorce:

Ve fyzice můžeme zrychlení způsobené gravitací, časem, kdy objekt spadl, a výškou předmětu podle zákona:

V předchozím výrazu so je počáteční výška tohoto objektu a vo je vaše počáteční rychlost.

Nalezení podobných vzorců však není jednoduchý úkol; obvykle záleží na profesionálu, aby pracoval s mnoha daty a opakovaně provedl několik experimentů (aby ověřil, že získané výsledky jsou konstantní), aby nalezly vztahy mezi různými daty.

Běžným způsobem, jak toho dosáhnout, je reprezentovat data získaná v rovině jako body a hledat spojitou funkci, která k těmto bodům optimálně přistupuje.

Jedním ze způsobů, jak najít funkci, která "nejlépe přibližuje" dané údaje, je metoda nejmenších čtverců.

Navíc, jak jsme viděli i ve cvičení, díky této metodě můžeme získat aproximace, které jsou velmi blízké fyzikálním konstantám.

Odkazy

  1. Charles W Curtis Lineární algebra. Springer-Velarg
  2. Kai Lai Chung Elementární teorie pravděpodobnosti se stochastickými procesy. Springer-Verlag New York Inc
  3. Richar L Burden & J.Douglas Faires. Numerická analýza (7ed). Thompson učení.
  4. Stanley I. Grossman. Aplikace lineární algebry. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO
  5. Stanley I. Grossman. Lineární algebra MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO