Vlastnosti Homothety, Typy a Příklady

homotecia je geometrická změna v rovině, kde z pevného bodu zvaného střed (O) jsou vzdálenosti násobeny společným faktorem. Tímto způsobem každý bod P odpovídá jinému bodu P 'produktu transformace a tyto jsou zarovnány s bodem O.

Potom je homoteka korespondence mezi dvěma geometrickými obrazci, kde jsou transformované body nazývány homotetickými a tyto jsou zarovnány s pevným bodem a se segmenty navzájem paralelními.

Index

• 1 Homotecia
• 2 Vlastnosti
• 3 Typy
  • 3.1 Přímá homothety
  • 3.2 Reverzní homote
• 4 Složení
• 5 Příklady
  • 5.1 První příklad
  • 5.2 Druhý příklad
• 6 Odkazy

Homothety

Homothety je transformace, která nemá shodný obraz, protože z obrázku bude získána jedna nebo více postav větší nebo menší než původní číslo; to znamená, že homote transformuje mnohoúhelník do jiného podobného.

Aby byla homotnost splněna, musí odpovídat bodu od bodu a rovně k rovině, takže páry homologních bodů jsou zarovnány s třetím pevným bodem, který je středem homote..

Podobně musí být dvojice řádků, které je spojují, paralelní. Vztah mezi těmito segmenty je konstanta nazývaná poměr homothety (k); takovým způsobem, že homote lze definovat jako:

Chcete-li provést tento typ transformace začnete výběrem libovolného bodu, který bude středem homoteety.

Od tohoto bodu jsou úsečky čáry nakresleny pro každý vrchol obrázku, který má být transformován. Stupnice, ve které se provádí reprodukce nové postavy, je dána důvodem homoteety (k).

Vlastnosti

Jednou z hlavních vlastností homothety je, že z důvodu homothety (k) jsou všechny homothetické údaje podobné. Mezi další vynikající vlastnosti patří: \ t

- Střed homoteety (O) je jediný dvojitý bod a transformuje se do sebe; to znamená, že se nemění.

- Linky, které procházejí středem, se transformují (jsou dvojité), ale body, které ho tvoří, nejsou dvojité.

- Rovnice, které neprocházejí středem, jsou transformovány do paralelních linií; tímto způsobem zůstávají úhly homotety stejné.

- Obraz segmentu homotelou středu O a poměru k je segment rovnoběžný s tímto úsekem a má k násobek své délky. Například, jak je vidět na následujícím obrázku, segment AB homothetic bude mít za následek další segment A'B ', takže AB bude rovnoběžná s A'B' a k bude:

- Homotetické úhly jsou shodné; to znamená, že mají stejné měřítko. Proto je obraz úhlu úhlem, který má stejnou amplitudu.

Na druhé straně, homoteety se liší v závislosti na hodnotě jeho poměru (k), a následující případy mohou nastat:

- Pokud je konstanta k = 1, všechny body jsou pevné, protože se transformují. Homotetické číslo se tedy shoduje s původním a transformace se nazývá identitní funkce.

- Pokud k ≠ 1, bude jediným pevným bodem střed homoteety (O).

- Jestliže k = -1, homothety se stane centrální symetrií (C); to znamená, že rotace kolem C nastane v úhlu 180 °^o.

- Pokud k> 1, bude velikost transformovaného obrázku větší než velikost originálu.

- Ano 0 < k < 1, el tamaño de la figura transformada será menor que el de la original.

- Ano -1 < k < 0, el tamaño de la figura transformada será menor y estará girada con respecto a la original.

- Pokud k < -1, el tamaño de la figura transformada será mayor y estará girada con respecto a la original.

Typy

Homoteť může být také rozdělena do dvou typů, v závislosti na hodnotě jejího poměru (k):

Přímá homothety

Stává se, pokud konstanta k> 0; to znamená, že homothetické body jsou na stejné straně vzhledem ke středu:

Faktor proporcionality nebo poměr podobnosti mezi přímými homothetickými čísly bude vždy pozitivní.

Reverzní homothetic

Stává se, pokud konstanta k < 0; es decir, los puntos iniciales y sus homotéticos se ubican en los extremos opuestos con respecto al centro de la homotecia pero alineados a esta. El centro se encontrará entre las dos figuras:

Faktor proporcionality nebo poměr podobnosti mezi homothetickými inverzními údaji bude vždy negativní.

Složení

Když se postupně provede několik pohybů, dokud se nedosáhne hodnoty rovné originálu, nastane složení pohybů. Složení několika pohybů je také pohybem.

Složení mezi dvěma homotheciemi vede k nové homotécii; tj. máme homotetický produkt, ve kterém bude střed zarovnán se středem dvou původních transformací a poměr (k) je součinem dvou důvodů.

Tak, ve složení dvou homotheces H₁(Or₁, k₁) a H₂(Or₂, k₂), vynásobte své důvody: k₁ x k₂ = 1 bude mít za následek homotnost poměru k₃ = K₁ x k₂. Středem této nové homote (O₃) se bude nacházet na O rovné₁ O₂.

Homoteita odpovídá ploché a nevratné změně; pokud se použijí dva homotheces, které mají stejný střed a poměr, ale s jiným znaménkem, získá se původní číslo.

Příklady

První příklad

Použijte homothety na daný středový polygon (O), který se nachází 5 cm od bodu A a jehož poměr je k = 0,7.

Řešení

Jakýkoli bod je vybrán jako střed homotety a z tohoto paprsku jsou kresleny vrcholy obrázku:

Vzdálenost od středu (O) k bodu A je OA = 5; s tímto můžete určit vzdálenost jednoho z homotetických bodů (OA ') s vědomím, že k = 0,7:

OA '= k x OA.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

Tento proces lze provést pro každý vrchol, nebo můžete také nakreslit homotetický polygon, který si pamatuje, že dva polygony mají rovnoběžné strany:

Transformace vypadá takto:

Druhý příklad

Použijte homothety na daný středový polygon (O), umístěný na 8,5 cm od bodu C a jehož poměr y k = -2.

Řešení

Vzdálenost od středu (O) k bodu C je OC = 8,5; s těmito údaji je možné určit vzdálenost jednoho z homotetických bodů (OC), s vědomím, že k = -2:

OC '= k x OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

Po nakreslení segmentů vrcholů transformovaného polygonu máme počáteční body a jejich homotetiku umístěnou na opačných koncích vzhledem ke středu:

Odkazy

1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Technický výkres: aktivity poznámkového bloku.
2. Antonio Álvarez de la Rosa, J. L. (2002). Afinita, homologie a homothety.
3. Baer, ​​R. (2012). Lineární algebra a projektivní geometrie. Courier Corporation.
4. Hebert, Y. (1980). Obecná matematika, pravděpodobnosti a statistiky.
5. Meserve, B.E. (2014). Základní pojmy geometrie. Courier Corporation.
6. Nachbin, L. (1980). Úvod do algebry. Reverte.