Faktorizační metody a příklady

faktorizace je metoda, pomocí které je polynom vyjádřen ve formě násobení faktorů, kterými mohou být čísla, písmena nebo obojí. Faktorizovat faktory, které jsou společné pro termíny, jsou seskupeny a tímto způsobem je polynom rozložen do několika polynomů.

Když se tedy faktory násobí, výsledkem je původní polynom. Faktoring je velmi užitečná metoda, když máte algebraické výrazy, protože může být převedena na násobení několika jednoduchých termínů; Například: 2a² + 2ab = 2a _* (a + b).

Existují případy, kdy polynom nemůže být zohledněn, protože mezi jeho termíny není společný faktor; tyto algebraické výrazy jsou tedy dělitelné pouze mezi sebou a 1. Například: x + y + z.

V algebraickém výrazu je společným faktorem největší společný dělitel termínů, které ho tvoří.

Index

• 1 Metody faktoringu
  • 1.1 Faktoring podle společného faktoru
  • 1.2 Příklad 1
  • 1.3 Příklad 2
  • 1.4 Faktoring podle seskupení
  • 1.5 Příklad 1
  • 1.6 Faktoring inspekcí
  • 1.7 Příklad 1
  • 1.8 Příklad 2
  • 1.9 Faktoring s pozoruhodnými produkty
  • 1.10 Příklad 1
  • 1.11 Příklad 2
  • 1.12 Příklad 3
  • 1.13 Factoring s Ruffiniho pravidlem
  • 1.14 Příklad 1
• 2 Odkazy

Metody faktoringu

Existuje několik faktoringových metod, které jsou aplikovány v závislosti na případu. Některé z nich jsou následující:

Faktoring podle společného faktoru

V této metodě jsou identifikovány ty faktory, které jsou společné; to znamená ty, které se opakují ve smyslu výrazu. Pak je použita distribuční vlastnost, maximální společný dělitel je odstraněn a faktorizace je dokončena.

Jinými slovy, společný výrazový faktor je identifikován a každý termín je rozdělen mezi něj; výsledné termíny budou vynásobeny největším společným faktorem pro vyjádření faktorizace.

Příklad 1

Faktor (b²x) + (b²y).

Řešení

První je společný faktor každého termínu, který je v tomto případě b², a pak jsou pojmy rozděleny mezi společný faktor takto:

(b²x) / b² = x

(b²y) / b² = y.

Faktorizace je vyjádřena násobením společného faktoru výslednými termíny:

(b²x) + (b²y) = b² (x + y).

Příklad 2

Faktorizace (2a)²b³) + (3ab)²).

Řešení

V tomto případě máme dva faktory, které se opakují v každém termínu, které jsou "a" a "b", a které jsou povýšeny na moc. Abychom je mohli přepočítat, oba pojmy jsou rozděleny do jejich dlouhé podoby:

2_*a_*a_*b_*b_*b + 3a_*b_*b

Lze pozorovat, že faktor "a" se opakuje pouze jednou ve druhém termínu a faktor "b" se v něm opakuje dvakrát; tak v prvním termínu je jen 2, faktor “a” a “b”; zatímco ve druhém termínu jsou pouze 3.

Proto píšeme časy, které jsou "a" a "b" opakovány a násobeny faktory, které zůstaly z každého termínu, jak je vidět na obrázku:

Faktorizace seskupením

Protože ne ve všech případech je jednoznačně vyjádřen maximální společný dělitel polynomu, je nutné učinit další kroky, aby bylo možné přepsat polynom a tím i faktor.

Jedním z těchto kroků je seskupit termíny polynomu do několika skupin a pak použít metodu společného faktoru.

Příklad 1

Faktor ac + bc + ad + bd.

Řešení

Tam jsou 4 faktory kde dva být obyčejný: v prvním termínu to je “c” a ve druhém to je “d”. Tímto způsobem jsou oba termíny seskupeny a odděleny:

(ac + bc) + (reklama + bd).

Nyní je možné aplikovat metodu společného faktoru, rozdělit každý termín společným faktorem a pak násobit tento společný faktor výslednými termíny, jako je tento:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Nyní získáte binomii, která je společná pro oba termíny. Faktor je násoben zbývajícími faktory; takto musíte:

ac + bc + ad + bd =  (c + d) _* (a + b).

Faktorizace inspekcí

Tato metoda je používána k faktorům kvadratických polynomů, také volal trinomials; to znamená ty, které jsou strukturovány jako ax² ± bx + c, kde hodnota „a“ je odlišná od 1. Tato metoda se také používá, když má trojice formu x² ± bx + c a hodnota "a" = 1.

Příklad 1

Faktor x² + 5x + 6.

Řešení

Máte kvadratický trinomiální tvar x² ± bx + c. Chcete-li jej nejprve spočítat, musíte najít dvě čísla, která při násobení dávají jako výsledek hodnotu "c" (tj. 6) a její součet se rovná koeficientu "b", což je 5. Tato čísla jsou 2 a 3 :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Tímto způsobem je výraz takto zjednodušen:

(x² + 2x) + (3x + 6)

Každý termín je započítán:

- Pro (x² + 2x) společný termín je extrahován: x (x + 2)

- Pro (3x + 6) = 3 (x + 2)

Výraz tedy zůstává:

x (x +2) + 3 (x +2).

Pokud máte společný binomický výraz, snižte tento výraz násobením nadbytečných podmínek a musíte:

x² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Příklad 2

Faktor 4a² + 12a + 9 = 0.

Řešení

Máte kvadratický třířadový tvar sekery² ± bx + c a pro jeho vyjádření se celý výraz násobí koeficientem x²; v tomto případě 4.

4a² + 12a +9 = 0

4a² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16a² + 12a (4) + 36 = 0

4² a² + 12a (4) + 36 = 0

Nyní musíme najít dvě čísla, která při násobení dohromady dávají jako výsledek hodnotu "c" (což je 36) a že když se sčítají společně, výsledkem je koeficient termínu "a", který je 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

Tímto způsobem je výraz přepsán s ohledem na to² a² = 4a _* 4a. Vlastnost distribuce je proto použita pro každý termín:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Konečně, výraz je dělen koeficientem²; tj. 4:

(4a + 6) _* (4a + 6) / 4 = ((4a + 6) / 2) _* ((4a + 6) / 2).

Výraz je následující:

4a² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Faktoring s pozoruhodnými produkty

Tam jsou případy ve kterém, plně faktorovat polynomials s předchozími metodami, to stane se velmi dlouhý proces.

Proto může být vyvinut výraz pomocí vzorců pozoruhodných produktů, a tak se proces stává jednodušším. Mezi nejpoužívanější produkty patří:

- Rozdíl dvou čtverců: (a² - b²) = (a - b) _* (a + b)

- Perfektní čtverec součtu: a² + 2ab + b² = (a + b)²

- Perfektní čtverec rozdílu: a² - 2ab + b² = (a - b)²

- Rozdíl dvou kostek: a³ - b³ = (a-b)_*(a² + ab + b²)

- Součet dvou kostek: a³ - b³ = (a + b) _* (a² - ab + b²)

Příklad 1

Faktor (5)² - x²)

Řešení

V tomto případě je rozdíl dvou čtverců; proto platí vzorec pozoruhodného produktu:

(a² - b²) = (a - b) _* (a + b)

(5)² - x²) = (5 - x) _* (5 + x)

Příklad 2

Faktor 16x² + 40x + 25²

Řešení

V tomto případě máme dokonalý čtverec součtu, protože můžeme identifikovat dva termíny kvadratické a zbývající termín je výsledkem vynásobení dvou odmocninami prvního výrazu druhou odmocninou druhého termínu.

a² + 2ab + b² = (a + b)²

K faktoru se počítají pouze odmocniny prvního a třetího výrazu:

√ (16x²) = 4x

25 (25. \ T²) = 5.

Pak jsou dva výsledné výrazy odděleny znaménkem operace a celý polynom je kvadrát:

16x² + 40x + 25² = (4x + 5)².

Příklad 3

Faktor 27a³ - b³

Řešení

Exprese představuje odčítání, při kterém jsou ke kostce zvýšeny dva faktory. Pro jejich výpočet se použije vzorec pozoruhodného produktu rozdílu krychle, který je:

a³ - b³ = (a-b)_*(a² + ab + b²)

Tak, aby factorize, kubický kořen každého termínu binomial je extrahován a násobený čtvercem prvního termínu, plus produkt prvního druhého termínu, plus druhý termín čtvercem..

27a³ - b³

³√ (27a³) = 3a

√ (-b³) = -b

27a³ - b³ = (3a - b) _* [(3a)² + 3ab + b²)]

27a³ - b³ = (3a - b) _* (9a² + 3ab + b²)

Faktoring s Ruffiniho pravidlem

Tato metoda se používá, pokud máte polynom stupně větší než dva, aby se zjednodušilo vyjádření několika polynomů nižšího stupně..

Příklad 1

Faktor Q (x) = x⁴ - 9x² + 4x + 12

Řešení

Nejprve se podívejte na čísla, která jsou děliteli 12, což je nezávislý pojem; tyto hodnoty jsou ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 a ± 12.

Pak je x nahrazeno těmito hodnotami, od nejnižší po nejvyšší, a je tedy určeno, s jakou z hodnot bude rozdělení přesné; zbytek musí být 0:

x = -1

Q (-1) = (-1)⁴ - 9 (-1)² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1⁴ - 9 (1)² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2⁴ - 9 odst. 2² + 4 (2) + 12 = 0.

A tak dále pro každý dělič. V tomto případě jsou zjištěné faktory pro x = -1 a x = 2.

Nyní je použita metoda Ruffini, podle které budou koeficienty výrazu rozděleny mezi faktory, které byly pro divizi považovány za přesné. Polynomiální termíny jsou uspořádány od nejvyššího po nejnižší exponent; v případě, že chybí termín s následným stupněm v pořadí, je na jeho místo umístěna hodnota 0.

Koeficienty jsou umístěny v schématu, jak je vidět na následujícím obrázku.

První koeficient se snižuje a násobí dělitelem. V tomto případě je první dělitel -1 a výsledek je umístěn v následujícím sloupci. Potom se hodnota koeficientu přidá vertikálně s výsledkem, který byl získán a výsledek je umístěn níže. Tímto způsobem se proces opakuje až do posledního sloupce.

Pak se stejný postup opakuje znovu, ale s druhým dělitelem (což je 2), protože výraz lze ještě zjednodušit.

Pro každý získaný kořen bude tedy polynom mít termín (x - a), kde "a" je hodnota kořene:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

Na druhé straně musí být tyto termíny vynásobeny zbytkem Ruffiniho pravidla 1: 1 a -6, což jsou faktory, které představují stupeň. Takto vytvořený výraz je: (x² + x - 6).

Získání výsledku faktorizace polynomu metodou Ruffini je:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x² + x - 6)

Pro dokončení lze polynom stupně 2, který se objeví v předchozím výrazu, přepsat jako (x + 3) (x-2). Konečná faktorizace je proto:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2)_*(x + 3)_*(x-2).

Odkazy

1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra a trigonometrie s analytickou geometrií. Pearson Education.
2. J, V. (2014). Jak učit děti o faktoringu na polynomial.
3. Manuel Morillo, A. S. (s.f.). Základní matematika s aplikacemi.
4. Roelse, P. L. (1997). Lineární metody pro polynomiální faktorizaci nad konečnými poli: teorie a implementace. Universität Essen.
5. Sharpe, D. (1987). Prsteny a faktorizace.