Polynomiální rovnice (s řešenými cvičeními)

polynomiální rovnice jsou prohlášení, které zvyšuje rovnost dvou výrazů nebo členů, kde alespoň jeden z termínů tvořících každou stranu rovnosti jsou polynomy P (x). Tyto rovnice jsou pojmenovány podle stupně jejich proměnných.

Obecně, rovnice je prohlášení, které stanoví rovnost dvou výrazů, kde v přinejmenším jeden z nich tam jsou neznámá množství, který být volán proměnné nebo neznámé. Ačkoli tam je mnoho druhů rovnic, oni jsou obecně klasifikovaní do dvou typů: algebraické a transcendentní.

Polynomial rovnice obsahují jen algebraické výrazy, který může mít jeden nebo více neznámých zahrnutých v rovnici. Podle exponenta (stupně) mohou být klasifikovány do: prvního stupně (lineárního), druhého stupně (kvadratického), třetího stupně (kubického), čtvrtého stupně (kvartického), většího nebo rovného pěti a iracionálního.

Index

• 1 Charakteristika
• 2 Typy
  • 2.1 První stupeň
  • 2.2 Druhý stupeň
  • 2.3 Resolver
  • 2.4 Vyšší stupeň
• 3 Řešené úlohy
  • 3.1 První cvičení
  • 3.2 Druhé cvičení
• 4 Odkazy

Vlastnosti

Polynomial rovnice jsou výrazy, které jsou tvořeny rovností mezi dvěma polynomials; to je, konečnými součty násobení mezi hodnotami, které jsou neznámé (proměnné) a fixní čísla (koeficienty), kde proměnné mohou mít exponenty a jejich hodnota může být kladné celé číslo, včetně nula \ t.

Exponenty určují stupeň nebo typ rovnice. Tento výraz výrazu, který má exponent nejvyšší hodnoty, bude reprezentovat absolutní stupeň polynomu.

Polynomiální rovnice jsou také známé jako algebraické rovnice, jejich koeficienty mohou být reálná nebo komplexní čísla a proměnné jsou neznámá čísla reprezentovaná písmenem, například: "x".

Jestliže nahrazení hodnoty pro proměnnou "x" v P (x) je výsledek roven nule (0), pak je řečeno, že tato hodnota splňuje rovnici (je to řešení) a obecně se nazývá kořen polynomu.

Když se vytvoří polynomiální rovnice, chcete najít všechny kořeny nebo řešení.

Typy

Existuje několik typů polynomiálních rovnic, které se rozlišují podle počtu proměnných a také podle stupně exponentu.

Tak, polynomial rovnice-kde první termín je polynomial s jediný jeden neznámý, zvažovat to jeho stupeň může být nějaké přirozené číslo (n) a druhý termín je nula-, moci být vyjádřen takto: \ t

a_{n *} xⁿ + a_{n-1 *} x^n-1 +... + a_{1 *} x¹ + a_{0 *} x₀ = 0

Kde:

- a_n, a_n-1 a₀, jsou to skutečné koeficienty (čísla).

- a_n liší se od nuly.

- Exponent n je kladné celé číslo, které představuje stupeň rovnice.

- x je proměnná nebo neznámá, kterou je třeba hledat.

Absolutní nebo větší stupeň polynomial rovnice je ten exponent větší hodnoty mezi všechny ty to tvořit polynomial; tímto způsobem jsou rovnice klasifikovány jako:

První stupeň

První-polynomial rovnice, také známý jak lineární rovnice, být ti ve kterém stupni (největší exponent) je se rovnat k 1, polynomial je formy P (x) = 0; a skládá se z lineárního a nezávislého výrazu. Je napsán následovně:

ax + b = 0.

Kde:

- a a b jsou reálná čísla a ≠ 0.

- ax je lineární termín.

- b je nezávislý termín.

Například rovnice 13x - 18 = 4x.

K řešení lineárních rovnic musí být všechny termíny, které obsahují neznámé x, předány na jednu stranu rovnosti a ty, které nemají, jsou přesunuty na druhou stranu, aby bylo možné je vyčistit a získat řešení:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ° 9

x = 2.

Tímto způsobem má daná rovnice jediné řešení nebo kořen, což je x = 2.

Druhá třída

Druhé stupně polynomiálních rovnic, také známé jako kvadratické rovnice, jsou ty, ve kterých je stupeň (největší exponent) roven 2, polynom je tvaru P (x) = 0 a skládá se z kvadratického výrazu , jeden lineární a jeden nezávislý. Je vyjádřena následovně:

sekera² + bx + c = 0.

Kde:

- a, b a c jsou reálná čísla a a ≠ 0.

- sekera² je kvadratický termín, a “a” je koeficient kvadratického termínu.

- bx je lineární výraz a "b" je koeficient lineárního výrazu.

- c je nezávislý termín.

Rozpouštědlo

Obecně je řešení tohoto typu rovnic dáno zúčtováním x z rovnice a je ponecháno následovně, což se nazývá resolver:

Tam, (b² - 4ac) se nazývá diskriminační rovnice a tento výraz určuje počet řešení, která může mít rovnice:

- Ano (b² - 4ac) = 0, rovnice bude mít jedno řešení, které je dvojité; to znamená, že budete mít dvě stejná řešení.

- Ano (b² - 4ac)> 0, rovnice bude mít dvě různá reálná řešení.

- Ano (b² - 4ac) < 0, la ecuación no tiene solución (tendrá dos soluciones complejas distintas).

Například máte rovnici 4x² + 10x - 6 = 0, aby se to vyřešilo, nejprve identifikujte pojmy a, b a c a pak je nahraďte ve vzorci:

a = 4

b = 10

c = -6.

Existují případy, kdy polynomiální rovnice druhého stupně nemají tři termíny, a proto jsou řešeny odlišně:

- V případě, že kvadratické rovnice nemají lineární výraz (tj. B = 0), bude rovnice vyjádřena jako ax² + c = 0. Vyřeší se x² a čtvercové odmocniny jsou aplikovány v každém členovi, si pamatovat, že dva možné známky že neznámý může mít být zvažován: \ t

sekera² + c = 0.

x² = - c ÷ a

Například 5 x² - 20 = 0.

5 x² = 20

x² = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

x₁ = 2.

x₂ = -2.

- Když kvadratická rovnice nemá nezávislý termín (tj. C = 0), rovnice bude vyjádřena jako ax² + bx = 0. Abychom to vyřešili, musíme v prvním členu extrahovat společný faktor neznámého x; protože rovnice se rovná nule, je pravda, že alespoň jeden z faktorů bude roven 0:

sekera² + bx = 0.

x (ax + b) = 0.

Tímto způsobem musíte:

x = 0.

x = -b ÷ a.

Například: máte rovnici 5x² + 30x = 0. První faktor:

5x² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Jsou generovány dva faktory, které jsou x a (5x + 30). Má se za to, že jeden z nich bude roven nule a další řešení bude dáno:

x₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ° 5

x₂ = -6.

Hlavní stupeň

Polynomial rovnice většího stupně jsou ti to jít od třetího stupně kupředu směřující, to může být vyjádřeno nebo vyřešený s obecnou polynomial rovnicí pro nějakou míru: \ t

a_{n *} xⁿ + a_{n-1 *} x^n-1 +... + a_{1 *} x¹ + a_{0 *} x₀ = 0

Toto je používáno protože rovnice s mírou větší než dva je výsledek factorization polynomial; to je, to je vyjádřeno jako násobení polynomials stupně jeden nebo větší, ale bez skutečných kořenů.

Řešení tohoto typu rovnic je přímé, protože násobení dvou faktorů se rovná nule, pokud je některý z faktorů null (0); proto musí být každá z nalezených polynomiálních rovnic vyřešena tak, aby každý z jejích faktorů odpovídal nule.

Například máte rovnici třetího stupně (krychlový) x³ + x² +4x + 4 = 0. Pro jeho vyřešení je nutné dodržet následující kroky:

- Termíny jsou seskupeny:

x³ + x² +4x + 4 = 0

(x³ + x² ) + (4x + 4) = 0.

- Končetiny jsou rozděleny tak, aby se dosáhlo společného faktoru neznámého:

x² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x² + 4)_*(x + 1) = 0.

- Tímto způsobem se získají dva faktory, které musí být rovny nule:

(x² + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- Je vidět, že faktor (x² + 4) = 0 nebude mít reálné řešení, zatímco faktor (x + 1) = 0 ano. Řešení je proto:

(x + 1) = 0

x = -1.

Vyřešená cvičení

Vyřešte následující rovnice:

První cvičení

(2x² + 5)_*(x - 3)_*(1 + x) = 0.

Řešení

V tomto případě je rovnice vyjádřena jako násobení polynomů; to je, to je faktorored. Pro jeho vyřešení musí být každý faktor roven nule:

- 2x² + 5 = 0, nemá žádné řešení.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + x = 0

- x = - 1.

Daná rovnice má tedy dvě řešení: x = 3 a x = -1.

Druhé cvičení

x⁴ - 36 = 0.

Řešení

To bylo dáno polynomial, který může být přepsán jako rozdíl čtverců dospět k rychlejšímu řešení. Rovnice tedy zůstává:

(x² + 6)_*(x² - 6) = 0.

Pro nalezení řešení rovnic jsou oba faktory rovny nule:

(x² + 6) = 0, nemá žádné řešení.

(x² - 6) = 0

x² = 6

x = ± √6.

Počáteční rovnice má tedy dvě řešení:

x = √6.

x = - √6.

Odkazy

1. Andres, T. (2010). Matematická olympiáda Tresure. Springer. New York.
2. Angel, A. R. (2007). Základní algebra Pearson Education,.
3. Baer, ​​R. (2012). Lineární algebra a projektivní geometrie. Courier Corporation.
4. Baldor, A. (1941). Algebra Havana: Kultura.
5. Castaño, H. F. (2005). Matematika před výpočtem. Univerzita Medellin.
6. Cristóbal Sánchez, M. R. (2000). Matematický manuál pro olympijskou přípravu. Universitat Jaume I.
7. Kreemly Pérez, M. L. (1984). Superior Algebra I.
8. Massara, N. C.-L. (1995). Matematika 3.