Jak vypočítat strany a úhly trojúhelníku?



Existují různé způsoby vypočítat strany a úhly trojúhelníku. Ty závisí na typu trojúhelníku, se kterým pracujete.

V této příležitosti ukážeme, jak vypočítat strany a úhly pravoúhlého trojúhelníku, za předpokladu, že některá data trojúhelníku se známými.

Prvky, které budou použity, jsou:

- Pythagoreanova věta

Daný pravý trojúhelník s nohama “a”, “b” a hypotenuse “c”, to je pravdivé to “c² = a? + B?” \ T.

- Prostor trojúhelníku

Vzorec pro výpočet plochy jakéhokoliv trojúhelníku je A = (b × h) / 2, kde "b" je délka základny a "h" délka výšky.

- Úhly trojúhelníku

Součet tří vnitřních úhlů trojúhelníku je 180 °.

- Funkce goniometrie:

Uvažujme pravý trojúhelník. Pak jsou sinusové, kosinové a tangentní trigonometrické funkce úhlu beta (β) definovány následovně:

sin (β) = CO / Hip, cos (β) = CA / Hip a tan (β) = CO / CA.

Jak vypočítat strany a úhly pravoúhlého trojúhelníku?

Vzhledem k pravostrannému trojúhelníku ABC mohou nastat následující situace:

1 - obě nohy jsou známé

Pokud katetus "a" měří 3 cm a katetus "b" měří 4 cm, pak se pro výpočet hodnoty "c" použije Pythagorova věta. Při nahrazení hodnot "a" a "b" se získá, že c² = 25 cm², což znamená, že c = 5 cm.

Pokud je úhel β naproti katétru "b", pak sin (β) = 4/5. Při použití inverzní sinusové funkce v této poslední rovině získáme, že β = 53,13º. Dva vnitřní úhly trojúhelníku jsou již známy.

Nechť θ je úhel, který zbývá znát, pak 90 ° + 53,13º + θ = 180º, ze kterého získáme, že θ = 36,87º.

V tomto případě není nutné, aby známé strany byly dvě nohy, důležité je znát hodnotu všech dvou stran.

2- Katetus a oblast je známa

Nechť a = 3 cm známou nohu a A = 9 cm² oblast trojúhelníku.

V pravém trojúhelníku lze jednu nohu považovat za základnu a druhou za výšku (protože jsou kolmé).

Předpokládejme, že "a" je základna, tedy 9 = (3 × h) / 2, ze které je získáno, že druhý katétr měří 6 cm. Pro výpočet hypotézy budeme postupovat stejně jako v předchozím případě a dostaneme, že c = √45 cm.

Pokud je úhel β naproti noze "a", pak sin (β) = 3 / √45. Při zúčtování β získáme, že jeho hodnota je 26,57º. Zbývá jen znát hodnotu třetího úhlu θ.

Je splněno, že 90º + 26,57º + θ = 180º, ze kterého se usuzuje, že θ = 63,43º.

3- Známý je úhel a noha

Nechť β = 45 ° je známý úhel a a = 3 cm známá noha, kde noha "a" je proti úhlu β. Pomocí vzorce tečny dostaneme tg (45º) = 3 / CA, ze kterého se ukazuje, že CA = 3 cm.

Použitím Pythagoreanovy věty získáme, že c² = 18 cm², tj. C = 3√2 cm.

Je známo, že úhel měří 90 ° a že β měří 45 °, z čehož vyplývá, že třetí úhel měří 45 °.

V tomto případě nemusí být známá strana nohou, může to být jakákoliv ze tří stran trojúhelníku.

Odkazy

  1. Landaverde, F. d. (1997). Geometrie (Reprint ed.). Pokrok.
  2. Leake, D. (2006). Trojúhelníky (znázorněno na obr.). Heinemann-Raintree.
  3. Pérez, C. D. (2006). Precalculus. Pearson Education.
  4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrie. Technologie ČR.
  5. Sullivan, M. (1997). Precalculus. Pearson Education.
  6. Sullivan, M. (1997). Trigonometrie a analytická geometrie. Pearson Education.