Sarrus pravidlo v čem se skládá a typy determinantů



Sarrusovo pravidlo používá se k výpočtu výsledku determinantů 3 × 3. Ty se používají k řešení lineárních rovnic a znají, zda jsou kompatibilní.

Kompatibilní systémy umožňují snadnější získání řešení. Používají se také k určení, zda jsou sady vektorů lineárně nezávislé a tvoří základ vektorového prostoru.

Tyto aplikace jsou založeny na invertovatelnosti matric. Je-li matice pravidelná, je její determinant odlišný od 0. Pokud je singulární, jeho determinantem je 0. Determinanty lze vypočítat pouze ve čtvercových maticích.

Pro výpočet matic libovolného řádu lze použít Laplaceův teorém. Tato věta nám umožňuje zjednodušit matice vysokých rozměrů v součtu malých determinantů, které se rozkládají z hlavní matice.

Potvrzuje, že determinant matice se rovná součtu produktů každého řádku nebo sloupce determinantem jeho připojené matice.

Toto je redukovat determinanty tak že determinant míry n, se stane n determinanty n-1. Pokud toto pravidlo aplikujeme postupně, můžeme získat determinanty dimenze 2 (2 × 2) nebo 3 (3 × 3), kde je mnohem snazší vypočítat.

Pravidlo Sarrus

Pierre Frederic Sarrus byl francouzský matematik 19. století. Většina jeho matematických pojednání je založena na metodách řešení rovnic a výpočtu variací v rámci numerických rovnic.

V jednom ze svých pojednání vyřešil jednu z nejsložitějších záhad mechaniky. Pro řešení problémů kloubových částí zavedl Sarrus transformaci alternativních přímočarých pohybů v jednotných kruhových pohybech. Tento nový systém je známý jako Sarrusův mechanismus.

Nejznámějším výzkumem, který dal tomuto matematikovi, byl nový způsob výpočtu determinantů v článku „Nouvelles méthodes pour la résolution des équations“ (Nový způsob řešení rovnic), který byl publikován v publikaci Tento způsob řešení lineárních rovnic je známý jako Sarrusovo pravidlo.

Pravidlo Sarrus umožňuje vypočítat determinant matice 3 × 3, aniž by bylo nutné použít Laplaceův teorém, který zavádí mnohem jednodušší a intuitivnější metodu. Abychom mohli zkontrolovat hodnotu Sarrusova pravidla, vezmeme libovolnou matici dimenze 3:

Výpočet jeho determinantu by byl dán součinem jeho hlavních úhlopříček, odečtením produktu od inverzních úhlopříček. To by bylo následující:

Pravidlo Sarrus nám umožňuje získat mnohem jednodušší vidění při výpočtu diagonál determinantu. To by bylo zjednodušeno přidáním prvních dvou sloupců na zadní stranu matice. Tímto způsobem můžete jasněji vidět, které jsou vaše hlavní úhlopříčky a které jsou inverzní, pro výpočet produktu..

Prostřednictvím tohoto obrazu můžeme vidět aplikaci Sarrusova pravidla, mezi grafickou reprezentaci počáteční matice patří řádek 1 a 2. Tímto způsobem jsou hlavní diagonály tři diagonály, které se objevují na prvním místě.

Tři obrácené úhlopříčky jsou zase ty, které se objevují jako první vzadu.

Tímto způsobem se diagonály objevují vizuálněji, aniž by to komplikovalo rozlišení determinantu a snažilo se zjistit, které prvky matice náležejí ke každé diagonále..

Jak je vidět na obrázku, volíme diagonály a vypočítáme výsledný produkt každé funkce. Diagonály, které se objevují modře, jsou ty, které se sčítají. K součtu těchto hodnot odečítáme hodnotu úhlopříček, které se zobrazují červeně.

Abychom usnadnili kompresi, můžeme použít numerický příklad namísto použití algebraických termínů a sub-podmínek.

Pokud vezmeme matici 3 × 3, například:

Abychom aplikovali Sarrusovo pravidlo a vyřešili ho vizuálněji, měli bychom zahrnout řádek 1 a 2 jako řádek 4 a 5. Je důležité držet řádek 1 ve 4. pozici a řádek 2 v 5. pozici. Protože když si je vyměníme, pravidlo Sarrus nebude účinné.

Pro výpočet determinantu by naše matice vypadala takto:

Abychom mohli pokračovat ve výpočtu, násobíme prvky hlavních úhlopříček. Sestupné ty, které začínají vlevo, budou mít pozitivní znamení; zatímco reverzní úhlopříčky, které začínají vpravo, nesou záporné znaménko.

V tomto příkladu by modré šly s kladným znaménkem a červené se záporným znaménkem. Konečný výpočet Sarrusova pravidla by vypadal takto:

Typy determinantů

Determinant rozměrů 1

Pokud je rozměr matice 1, je matice tohoto tvaru: A = (a)

Proto by jeho determinant byl následující: det (A) = | A | = a

Souhrnně řečeno, determinant matice A se rovná absolutní hodnotě matice A, která je v tomto případě a.

Determinant rozměrů 2

Jdeme-li k maticím dimenze 2, získáme matice typu:

Kde je jeho determinant definován jako:

Rozlišení tohoto determinantu je založeno na násobení jeho hlavní diagonály, odečtení produktu od jeho inverzní diagonály.

Jako pravidlo mnemotechniky můžeme použít následující diagram k zapamatování jeho determinant:

Determinant rozměrů 3

Pokud je rozměr matice 3, výsledná matice bude tohoto typu:

Determinant této matice by byl takto řešen pomocí Sarrusova pravidla takto:

Odkazy

  1. Jenny Olive (1998) Matematika: Studentův průvodce přežití. Cambridge University Press.
  2. Richard J. Brown (2012) 30-sekundová matematika: 50 nejrozšířenějších teorií mysli v matematice. Ivy Press Limited.
  3. Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
  4. Awol Assen (2013) Studie výpočtu determinantů matice 3 × 3. Akademické nakladatelství Lap Lambert.
  5. Anthony Nicolaides (1994) Determinants & Matrices. Pass Publikace.
  6. Jesse Russell (2012) Pravidlo Sarrus.
  7. M. Casteleiro Villalba (2004) Úvod do lineární algebry. Redakce ESIC.