3 Systémy lineárních rovnic a jejich řešení

lineární rovnice jsou to polynomiální rovnice s jedním nebo několika neznámými. V tomto případě nejsou neznámí povýšeni na síly, ani se mezi sebou násobí (v tomto případě se říká, že rovnice je stupně 1 nebo prvního stupně).

Rovnice je matematická rovnost, kde existuje jeden nebo více neznámých prvků, které budeme nazývat neznámými nebo neznámými v případě, že existuje více než jedna. K řešení této rovnice je nutné zjistit hodnotu neznámých.

Lineární rovnice má následující strukturu:

a₀· 1 + a₁X₁+ a₂X₂+... + a_nX_n= b

Kam₀, a₁, a₂,..., a_n jsou reálná čísla, o nichž víme, že jsou jejich hodnotou, a nazývají se koeficienty, b je také známé reálné číslo, které se nazývá nezávislý termín. A nakonec jsou to X₁, X_2,..., X_n které jsou známé jako neznámé. Jedná se o proměnné, jejichž hodnota není známa.

Systém lineárních rovnic je soubor lineárních rovnic kde hodnota neznámých je stejná v každé rovnici.

Logicky, způsob řešení soustavy lineárních rovnic přiřazuje hodnoty neznámým, takže lze rovnost ověřit. To znamená, že neznámé musí být vypočteny tak, aby všechny rovnice systému byly splněny současně. Reprezentujeme soustavu lineárních rovnic následovně

a₀· 1 + a₁X₁ + a₂X₂ +... + a_nX_n = a_{n + 1}

b₀1 + b₁X₁ + b₂X₂ +... + b_nX_n = b_{n + 1}

c₀1 + c₁X₁ + c₂X₂ +... + c_nX_n = c_{n + 1}

... .

d₀1 + d₁X₁ + d₂X₂ +... + d_nX_n = d_{n + 1}

 kde a_0, a₁,..., a_n,b₀,b₁,..., b_n ,c₀ ,c₁,..., c_n atd. nám reálná čísla a neznámé řešit jsou X₀,..., X_n ,X_{n + 1}.

Každá lineární rovnice představuje čáru, a proto systém rovnic N lineárních rovnic představuje N rovnou nakreslenou v prostoru.

V závislosti na počtu neznámých, které má každá lineární rovnice, čára, která představuje uvedenou rovnici, bude reprezentována v jiné dimenzi, tj. Rovnice se dvěma neznámými (například 2 · X₁ + X₂ = 0) představuje čáru ve dvourozměrném prostoru, rovnici se třemi neznámými (například 2 · X₁ + X₂ - 5 · X₃ = 10) by byl reprezentován v trojrozměrném prostoru a tak dále.

Při řešení soustavy rovnic, hodnoty X₀,..., X_n ,X_{n + 1} jsou to řezné body mezi čarami.

Řešením soustavy rovnic můžeme dosáhnout různých závěrů. V závislosti na typu výsledku, který získáme, můžeme rozlišit mezi 3 typy soustav lineárních rovnic:

1 - Neurčitá kompatibilita

Ačkoli to může znít jako vtip, je možné, že když se pokusíme vyřešit systém rovnic, dospějeme k zjevnosti stylu 0 = 0.

Tento typ situace nastává, když existují nekonečná řešení pro systém rovnic, a to nastane, když se ukáže, že v našem systému rovnic představují rovnice stejnou linii. Můžeme to vidět graficky:

Jako systém rovnic vezmeme:

Tím, že máme 2 rovnice s 2 neznámými řešeními, můžeme reprezentovat čáry v dvourozměrné rovině

Jak vidíme čáry se stejným, tak všechny body první rovnice se shodují s body druhé rovnice, proto má tolik bodů řezu, kolik bodů má čára, tj. Nekonečno.

2- Nekompatibilní

Při čtení jména si můžeme představit, že náš další systém rovnic nebude mít řešení.

Pokusíme-li se například vyřešit tento systém rovnic

Graficky by to bylo:

Pokud vynásobíme všechny podmínky druhé rovnice, zjistíme, že X + Y = 1 se rovná 2 · X + 2 · Y = 2. A pokud se tento poslední výraz odečte od první rovnice, dostaneme

2-X-2 X + 2 · Y-2 = Y = 3-2

Nebo co je stejné

0 = 1

Když jsme v této situaci, znamená to, že čáry, které jsou reprezentovány v soustavě rovnic, jsou rovnoběžné, což znamená, že podle definice nejsou nikdy řezány a neexistuje žádný bod řezu. Když je systém prezentován tímto způsobem, říká se, že je nekonzistentní nezávislý.

3- Stanovená podpora

Nakonec se dostaneme do případu, ve kterém má náš systém rovnic jediné řešení, případ, ve kterém máme čáry, které se protínají a vytvářejí průsečík. Podívejme se na příklad:

Abychom to vyřešili, můžeme přidat dvě rovnice, abychom získali

(3 X-4 Y) + (2 X + 4 Y) = -6 + 16

Pokud to zjednodušíme, opustili jsme

5 X + 0 Y = 5 X = 10

Z toho snadno odvodíme, že X = 2 a nahrazení nebo X = 2 v kterékoli z původních rovnic získáme Y = 3.

Vizuálně by to bylo:

Metody řešení soustav lineárních rovnic

Jak jsme viděli v předchozí části, pro systémy s 2 neznámými a 2 rovnicemi, založené na jednoduchých operacích, jako je sčítání, odčítání, násobení, dělení a substituce, je můžeme vyřešit během několika minut. Pokud se však pokusíme aplikovat tuto metodiku na systémy s více rovnicemi a více neznámými, výpočty se stanou únavnými a my se můžeme snadno mýlit..

Pro zjednodušení výpočtů existuje několik způsobů řešení, ale bezpochyby nejrozšířenějšími metodami jsou Cramerovo pravidlo a Elussinova eliminace Gauss-Jordán..

Cramerova metoda

Abychom vysvětlili, jak je tato metoda aplikována, je nezbytné vědět, co je její matice a vědět, jak najít její determinantu..

Jeden matice není to nic víc než sada čísel nebo algebraických symbolů umístěných ve vodorovných a svislých čarách a uspořádaných ve tvaru obdélníku. Pro naše téma použijeme matici jako jednodušší způsob vyjádření našeho systému rovnic.

Podívejme se na příklad:

Bude to systém lineárních rovnic

Tento jednoduchý systém rovnic, který můžeme shrnout, je operace dvou matic 2 × 2, které mají za následek matici 2 × 1.

První matice odpovídá všem koeficientům, druhá matice je neznámá řešit a matice umístěná po rovnosti je identifikována s nezávislými termíny rovnic

determinant je operace, která je aplikována na matici, jejíž výsledkem je reálné číslo.

V případě matice, kterou jsme našli v našem předchozím příkladu, by její determinantem bylo:

Jakmile jsou definovány pojmy matice a determinant, můžeme vysvětlit, z čeho se Cramerova metoda skládá.

Tímto způsobem můžeme snadno vyřešit systém lineárních rovnic, pokud systém nepřekročí tři rovnice se třemi neznámými, protože výpočet determinant matice je velmi obtížný pro matice 4 × 4 nebo vyšší. V případě systému s více než třemi lineárními rovnicemi se doporučuje metoda eliminace Gauss-Jordan.

Pokračujeme-li s předchozím příkladem, pomocí Cramera prostě musíme spočítat dva determinanty as ním zjistíme hodnotu našich dvou neznámých.

Máme náš systém:

A máme systém reprezentovaný maticemi:

Hodnota X je nalezena:

Jednoduše ve výpočtu determinantu umístěného ve jmenovateli divize jsme nahradili první obec maticí nezávislých termínů. A ve jmenovateli rozdělení máme determinant naší původní matice.

Provedeme stejné výpočty a zjistíme, že Y získáme:

Eliminace Gauss-Jordánsko

Definujeme rozšířená matice k matici, která vyplývá ze systému rovnic, kde na konci matice přidáme nezávislé výrazy.

Metoda eliminace Gauss-Jordán spočívá v operacích mezi řadami matice k transformaci naší rozšířené matice na mnohem jednodušší matici, kde mám nuly ve všech polích kromě diagonály, kde musím získat některé. Takto:

Kde X a Y jsou reálná čísla, která odpovídají našim neznámým.

Vyřešte tento systém odstraněním Gauss-Jordán:

Již se nám podařilo získat nulu v levé dolní části naší matice, dalším krokem je získání 0 v pravém horním rohu..

V levém horním rohu matice jsme dosáhli nuly, nyní musíme pouze přeměnit diagonálu na ty a my jsme náš systém vyřešili Gauss-Jordan.

Proto dospěli k závěru, že:

Odkazy

1. vitutor.com.
2. algebra.us.es.
3. Systémy lineárních rovnic (bez data). Získané z uco.es.
4. Systémy lineárních rovnic. Kapitola 7. (nedatováno). Získáno z sauce.pntic.mec.es.
5. Lineární algebra a geometrie (2010/2011). Systémy lineárních rovnic. Kapitola 1. Oddělení algebry. Univerzita v Seville. Španělsko Obnoveno z algebra.us.es.